专题03 直线与椭圆的位置关系练习-2021-2022学年高二数学重难点手册

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专题03 直线与椭圆的位置关系

要点　直线与椭圆的位置关系
直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：联立消去y得一个关于x的一元二次方程
位置关系
解的个数
Δ的取值
相交
两解
Δ>0
相切
一解
Δ=0
相离
无解
Δb>0)相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则线段AB叫做直线l被椭圆截得的弦，线段AB的长度叫做弦长，此时有以下弦长公式成立：
|AB|＝·，或|AB|＝·.
推导如下：
由两点间的距离公式，得|AB|＝，将y1＝kx1＋b，y2＝kx2＋b代入上式，得|AB|＝＝＝|x1－x2|，而|x1－x2|＝，所以|AB|＝·，
同理可得|AB|＝|y1－y2|＝·
【基础自测】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)直线y＝x＋1与椭圆＋＝1的位置关系是相交．(　　)
(2)椭圆上一动点与焦点的距离最大值为a＋c，最小值为a－c.(　　)
(3)过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为.(　　)
(4)直线与椭圆的位置关系有相交、相切、相离三种情况．(　　)
【答案】（1）√（2）√（3）√（4）√
2．直线y＝x＋1与椭圆x2＋＝1的位置关系是(　　)
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【答案】C
【解析】联立消去y，得3x2＋2x－1＝0，
Δ＝22＋12＝16>0，∴直线与椭圆相交．故选C
3．直线x＋2y＝m与椭圆＋y2＝1只有一个交点，则m的值为(　　)
A．2 B．± C．±2 D．±2
【答案】C
【解析】由消去y并整理得2x2－2mx＋m2－4＝0.
由Δ＝4m2－8(m2－4)＝0，得m2＝8.∴m＝±2.故选C.
4．若点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是________．
【答案】(－，)
【解析】∵点A在椭圆内部，∴＋0)的离心率为，且椭圆与直线x＋2y＋8＝0相交于P，Q，且|PQ|＝，求椭圆方程．
【解析】∵e＝，∴b2＝a2.∴椭圆方程为x2＋4y2＝a2.
与x＋2y＋8＝0联立消去y，得2x2＋16x＋64－a2＝0，
由Δ>0得a2>32，由弦长公式得10＝×[64－2(64－a2)]．
∴a2＝36，b2＝9.∴椭圆方程为＋＝1.

题型三　中点弦问题
【例3】过椭圆＋＝1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分，求此弦所在的直线方程．
【分析】法一：联立方程，消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求解．
法二：点差法，设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用弦长公式求解．
【解析】法一：由题意，易知直线的斜率必存在．
设所求直线方程为y－1＝k(x－2)．代入椭圆
方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.
又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1，x2是方程的两个根，于是x1＋x2＝.
又M为AB的中点，∴＝＝2，解得k＝－.
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
法二：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．又M(2,1)为AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
又A，B两点在椭圆上，则x＋4y＝16，x＋4y＝16.两式相减得(x－x)＋4(y－y)＝0.
于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.∴＝－＝－，即kAB＝－.又直线AB过点M(2,1)，故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
【方法技巧】
解决椭圆中点弦问题的两种方法
1．根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
2．点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，则由①—②，得(x－x)＋(y－y)＝0，变形得＝－·＝－·，即kAB＝－
【变式训练】
1.已知椭圆＋＝1的弦AB的中点为(－1，－1)，则弦AB的长为(　　)
A. B. C. D.
【答案】A　
【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为点A，B在椭圆上，所以　②—①，得＝－·，又∵弦AB的中点为(－1，－1)，所以直线AB的斜率为－，所以直线方程为y＝－(x＋1)－1，联立椭圆方程消去y得到3x2＋6x＋1＝0，根据弦长公式得|AB|＝.故选A.
2.已知点P(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，求直线l的方程．
【解析】解法一　由题意易知直线l的斜率必存在，设直线l的方程为y－2＝k(x－4)，
而椭圆的方程可以化为x2＋4y2－36＝0.将直线方程代入椭圆的方程有
(4k2＋1)x2－8k(4k－2)x＋4(4k－2)2－36＝0.∴x1＋x2＝＝8，∴k＝－.
∴直线l的方程为y－2＝－(x－4)，即x＋2y－8＝0.
解法二　设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴
两式相减，有(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，∴＝－，
即k＝－.∴直线l的方程为x＋2y－8＝0.
易错辨析　忽略直线与椭圆相交时Δ>0这一条件致误
【例4】　已知椭圆C的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，若右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，是否存在实数m，使直线l与椭圆C有两个不同的交点M，N，且|AM|＝|AN|，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）依题意，设椭圆的方程为＋y2＝1(a>1)，右焦点为(c,0)，则由点到直线的距离公式得＝3，
∴c＝，∴a2＝b2＋c2＝3.
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由消去y并整理得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，
∴x1＋x2＝－m，x1x2＝，
∴y1＋y2＝x1＋m＋x2＋m＝－m＋2m＝.
由题意知Δ>0，即(6m)2－4×4×(3m2－3)>0，解得－2