专题03 直线的点斜式方程练习-2021-2022学年高二数学重难点手册

这是一份专题03 直线的点斜式方程练习-2021-2022学年高二数学重难点手册，共10页。

专题03 直线的点斜式方程

【知识要点】
要点一　直线的点斜式方程

1．定义：如图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程__ __叫做直线l的点斜式方程，简称点斜式．
2．说明：如图所示，过定点P(x0，y0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x－x0＝0，或_ _．

【方法技巧】
关于点斜式的几点说明
①直线的点斜式方程的前提条件是：
已知一点P(x0，y0)和斜率k；斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．
②方程y －y0＝k(x －x0)与方程k＝不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P(x0，y0)的一条直线．
③当k取任意实数时，方程y －y0＝k(x －x0)表示恒过定点(x0，y0)的无数条直线．
④如果直线l过点P0(x0，y0)且平行于x轴(或与x轴重合)，这时倾斜角为0 °，tan 0 °＝0，即k＝0，由点斜式得y＝y0，如图甲所示．

如果直线过点P0(x0，y0)且与x轴垂直，此时它的倾斜角为90 °，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时直线方程表示为x＝x0，如图乙所示．
要点二　直线的斜截式方程

1．定义：如图所示，直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则方程 _叫做直线l的斜截式方程，简称斜截式．
2．说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距．倾斜角是直角的直线没有斜截式方程．
【方法技巧】
斜截式方程和截距的几点说明：
①方程y＝kx ＋b的特点——左端y的系数恒为1，右端x的系数k和常数项b均有明显的几何意义：k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距．
②直线方程的斜截式是由点斜式推导而来的．直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b称为此直线的纵截距，值得强调的是，截距是坐标，它可能是正数，也可能是负数，还可能为0，不能将其理解为“距离”就恒为正．同理，直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a称为此直线的横截距．不是每条直线都有横截距和纵截距，如直线x＝1没有纵截距，直线y＝2没有横截距．
③直线方程的斜截式y＝kx ＋b，当k≠0时就是一次函数的标准形式．
④由直线方程的斜截式反过来可得到直线的斜率和纵截距，如直线y＝2x －1的斜率为k＝2，纵截距为－1.
【基础自测】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)平面直角坐标系下，任何直线都有点斜式．(　　)
(2)当直线l的倾斜角为0°时，过点P0(x0，y0)的直线l的方程为y＝y0.(　　)
(3)直线在y轴上的截距就是直线与y轴交点到原点的距离．(　　)
(4)直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，若l1⊥l2则k1·k2＝－1.(　　)
【答案】（1）×（2）√（3）×（4）√
2．过点P(－2,0)，斜率为3的直线的方程是(　　)
A．y＝3x－2 B．y＝3x＋2 C．y＝3(x－2) D．y＝3(x＋2)
【答案】D
【解析】由直线的点斜式方程可知，该直线方程为y－0＝3(x＋2)，即y＝3(x＋2)，故选D.
3．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是(　　)
A．y＝x＋1 B．y＝x－1 C．y＝－x＋1 D．y＝－x－1
【答案】D
【解析】由题意知，直线的斜率k＝－1，又在y轴上截距为－1，故直线方程为y＝－x－1，故选D.
4．(多填题)已知直线l1：y＝ax，l2：y＝2x－1，若l1∥l2，则a＝________；若l1⊥l2，则a＝________.
【答案】2，－.
【解析】若l1∥l2，则a＝2；若l1⊥l2，则a×2＝－1，∴a＝－.

题型一　求直线的点斜式方程
【例1】求满足下列条件的直线的点斜式方程．
(1)过点P(－4,3)，斜率k＝－3；
(2)过点P(3，－4)，且与x轴平行；
(3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点．
【解析】
(1)∵直线过点P(－4,3)，斜率k＝－3，由直线方程的点斜式得直线方程为y－3＝－3(x＋4)．
(2)与x轴平行的直线，其斜率k＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y－(－4)＝0×(x－3)，即y＋4＝0.
(3)过点P(－2,3)，Q(5，－4)的直线的斜率kPQ＝＝＝－1.又∵直线过点P(－2,3)，∴直线的点斜式方程为y－3＝－(x＋2)．
【方法技巧】
求直线的点斜式方程的方法步骤
1．求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)．
2．点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．
【变式训练】
(1)过点(－1,2)，且倾斜角为135°的直线方程为________．
(2)已知直线l过点A(2,1)且与直线y－1＝4x－3垂直，则直线l的方程为________．
【答案】(1)x＋y－1＝0　(2)x＋4y－6＝0
【解析】(1)k＝tan 135°＝－1，由直线的点斜式方程得y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.
(2)方程y－1＝4x－3可化为y－1＝4(x－)，由点斜式方程知其斜率k＝4.又因为l与直线y－1＝4x－3垂直，所以直线l的斜率为－.又因为l过点A(2,1)，所以直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋4y－6＝0.
题型二　求直线的斜截式方程
1．根据条件写出下列直线的斜截式方程．
(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；
(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
【解析】(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y＝2x＋5.
(2)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan 150°＝－，由斜截式可得方程为y＝－x－2.
(3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k＝tan 60°＝，
∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.∴所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3.
2．斜率为2，在y轴上截距为m的直线方程，当m＝________时，直线过点(1,1)．
【答案】－1
【解析】由直线方程的斜截式，得直线方程为y＝2x＋m.∵直线过点(1,1)，将x＝1，y＝1代入方程y＝2x＋m,1＝2×1＋m，∴m＝－1即为所求．
【方法技巧】
直线的斜截式方程的求解策略
1．用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别．
2．直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断．
题型三　两直线平行与垂直的应用
【例2】(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？
(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？
【解析】(1)由题意可知：kl1＝－1，kl2＝a2－2.∵l1∥l2，∴解得a＝－1.故当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行．
(2)由题意可知，kl1＝2a－1，kl2＝4，∵l1⊥l2，∴4(2a－1)＝－1，解得a＝.故当a＝时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直．
【方法技巧】
1．两条直线平行和垂直的判定：
已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2，
(1)若l1∥l2，则k1＝k2，此时两直线与y轴的交点不同，即b1≠b2；反之k1＝k2，且b1≠b2时，l1∥l2.所以有l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2.
(2)若l1⊥l2，则k1·k2＝－1；反之k1·k2＝－1时，l1⊥l2.所以有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
2．若已知含参数的两条直线平行或垂直，求参数的值时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系注意考虑b1≠b2这个条件．
【变式训练】
1.判断下列两条直线平行还是垂直．
(1)l1：y－2＝3(x＋1)，l2：y＝3x；
(2)l1：y＝6x－1，l2：y＝－x－1；
(3)l1：x＋3＝0，l2：x－2＝0.
【解析】(1)直线l1的方程化为y＝3x＋5，则直线l1的斜率k1＝3，直线l1在y轴上的截距b1＝5，直线l2的方程为y＝3x，则直线l2的斜率k2＝3，直线l2在y轴上的截距b2＝0，于是k1＝k2，b1≠b2，故l1∥l2.
(2)直线l1的斜截式方程为y＝6x－1，则直线l1的斜率k1＝6，直线l2的斜截式方程为y＝－x－1，则直线l2的斜率k2＝－，于是k1k2＝6×(－)＝－1，故l1⊥l2.
(3)l1是过(－3,0)且垂直于x轴的直线，l2是过(2,0)且垂直于x轴的直线，故l1∥l2.
【易错辨析】　忽视倾斜角的范围出错
【例3】一条直线l过点(2,1)且与x轴的夹角为45°，则这条直线方程为____________________．
【答案】y＝x－1或y＝－x＋3
【解析】∵直线l与x轴的夹角为45°，∴直线l的倾斜角α＝45°或135°.∴直线l的斜率k＝1或－1.
∴直线l的方程为：y－1＝x－2或y－1＝－(x－2)即y＝x－1或y＝－x＋3.
【易错提醒】
易错原因
纠错心得
误认为夹角就是直线l的倾斜角，导致漏掉了倾斜角为135°的情形.
在处理直线问题时，一定要注意倾斜角的取值范围，否则很容易会出现只考虑锐角而丢掉钝角的情况，而漏解.

1．（2020·南昌市第十九中学高二月考）经过点(－1,1)，斜率是直线y＝x－2的斜率的2倍的直线方程是(　　)
A．x＝－1　　　　　　　 B．y＝1
C．y－1＝(x＋1) D．y－1＝2(x＋1)
【答案】C　
【解析】由方程知，已知直线的斜率为，所以所求直线的斜率是.由直线的点斜式方程可得方程为y－1＝(x＋1)．
2．(多选)（2020·北京清华附中高三开学考试）给出下列四个结论，正确的是(　　)
A．方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线
B．直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1
C．直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1
D．所有的直线都有点斜式和斜截式方程
【答案】BC　
【解析】A不正确，方程k＝不含点(－1,2)；B正确；C正确；D只有k存在时成立．
3．（多选）（2020·大埔县虎山中学高二期中）已知直线，，，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l恒过定点 B．当时，直线l的斜率不存在
C．当时，直线l的倾斜角为 D．当时，直线l与直线垂直
【答案】CD　
【解析】直线，故时，，故直线l恒过定点，选项A错误；
当时，直线，斜率，故选项B错误；
当时，直线，斜率，故倾斜角为，选项C正确；
当时，直线，斜率，，
故，故直线l与直线垂直，选项D正确.
故选：CD.
4．（2020·浙江效实中学高二期中）直线y＝ax＋的图象可能是(　　)

【答案】B　
【解析】根据点斜式方程，可得其斜率与在y轴上的截距同号，故选B.
5．（2020·天津一中高二期末）直线y－2m＝m(x－1)与y＝x－1垂直，则直线y－2m＝m(x－1)过点(　　)
A．(－1,2) B．(2,1)
C．(1，－2) D．(1,2)
【答案】C　
【解析】由两直线垂直得m＝－1，把m＝－1代入y－2m＝m(x－1)得过点为(1，－2)．故选C.

6．（2020·江西南昌二中高二月考）设a∈R，如果直线l1：y＝－x＋与直线l2：y＝－x－平行，那么a＝________.
【答案】－2或1
【解析】由l1∥l2得－＝－且≠－，解得a＝－2或a＝1.
7．（2020·湖南省沅陵县第一中学高三月考）已知直线l的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的2倍，且过定点P(3,3)，则直线l的方程为________．
【答案】x＝3　
【解析】直线y＝x＋1的斜率为1，所以倾斜角为45°，又所求直线的倾斜角是已知直线倾斜角的2倍，所以所求直线的倾斜角为90°，其斜率不存在．又直线过定点P(3,3)，所以直线l的方程为x＝3.
8．（2020·山东省郓城第一中学高二月考）直线y＝kx＋2(k∈R)不过第三象限，则斜率k的取值范围是________．
【答案】 (－∞，0]
【解析】当k＝0时，直线y＝2不过第三象限；
当k>0时，直线过第三象限；
当k<0时，直线不过第三象限．
9．（2020·五莲县教学研究室高二期中）求满足下列条件的m的值．
(1)直线l1：y＝－x＋1与直线l2：y＝(m2－2)x＋2m平行；
(2)直线l1：y＝－2x＋3与直线l2：y＝(2m－1)x－5垂直．
【解析】(1)∵l1∥l2，∴两直线斜率相等．
∴m2－2＝－1且2m≠1，∴m＝±1.
(2)∵l1⊥l2，∴2m－1＝.∴m＝.
10．（2020·江苏宿迁中学高二期中）直线l1过点P(－1,2)，斜率为－，把l1绕点P按顺时针方向旋转30°角得直线l2，求直线l1和l2的方程．
【解析】直线l1的方程是y－2＝－(x＋1)．

∵k1＝－＝tan α1，∴α1＝150°.如图，l1绕点P按顺时针方向旋转30°，得到直线l2的倾斜角为α2＝150°－30°＝120°，∴k2＝tan 120°＝－，∴l2的方程为y－2＝－(x＋1)．

11．（2020·重庆市万州沙河中学高二月考）直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是(　　)

【答案】D　
【解析】对于A选项，由l1得a>0，b<0，而由l2得a>0，b>0，矛盾；对于B选项，由l1得a<0，b>0，而由l2得a>0，b>0，矛盾；对于C选项，由l1得a>0，b<0，而由l2得a<0，b>0，矛盾；对于D选项，由l1得a>0，b>0，而由l2得a>0，b>0.故选D.
12．（2020·江苏省南通中学高二期中）已知过点A(－2，m)和点B(m,4)的直线为l1，l2：y＝－2x＋1，l3：y＝－x－.若l1∥l2，l2⊥l3，则m＋n的值为(　　)
A．－10 B．－2
C．0 D．8
【答案】A
【解析】∵l1∥l2，∴kAB＝＝－2，解得m＝－8.又∵l2⊥l3，∴×(－2)＝－1，解得n＝－2.∴m＋n＝－10.故选A.
13．（2020春•贵阳期末）若直线l过点（2，3）且倾斜角为45°，若直线l与y轴交于点P，则点P的坐标为（　　）
A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（0，﹣1）
【答案】C
【解析】解：∵直线l过点（2，3）且倾斜角为45°，∴直线l的方程为y﹣3＝tan45°（x﹣2），
整理得：x﹣y+1＝0．取x＝0，得y＝1．∴P（0，1），故选C．
14．（2020·安徽铜陵一中高二期中）(1)已知直线l过点(1,0)，且与直线y＝(x－1)的夹角为30°，求直线l的方程；
(2)已知在△ABC中，A(1，－4)，B(2,6)，C(－2,0)，AD⊥BC于点D，求直线AD的方程．
【解析】(1)∵直线y＝(x－1)的斜率为，

∴其倾斜角为60°，且过点(1,0)．
又直线l与直线y＝(x－1)的夹角为30°，且过点(1,0)，
如图所示，易知直线l的倾斜角为30°或90°.
故直线l的方程为
y＝(x－1)或x＝1.
(2)由题意知，kBC＝＝.
因为AD⊥BC，所以直线AD的斜率存在，
且kAD＝－.
故直线AD的方程为y＋4＝－(x－1)．

15.（2020•东海县月考）已知直线l：y＝k（x﹣2）+3，且l与x轴、y轴分别交于A、B两点．若使△AOB的面积为m的直线l共有四条，则正实数m的取值范围是　　．
【解析】∵直线y＝k（x﹣2）+3与x轴，y轴交点的坐标分别是，A（2﹣，0），B（0，3﹣2k）．
S△＝×|2﹣|×|3﹣2k|＝×．
当k＞0时，S△＝×＝×（4k+﹣12），
∵4k+≥2＝12，当且仅当k＝时取等号．
∴当S△＝m＞0时，在k＞0时，k有两值；
当k＜0时，S△＝×＝×＝×[（﹣4k+）+12]，
∵﹣4k+≥2＝12．当且仅当k＝﹣时取等号．
∴当m＝0时，仅有一条直线使△AOB的面积为m；
当0＜m＜12时，仅有两条直线使△AOB的面积为m；
当m＝12时，仅有三条直线使△AOB的面积为m；
当m＞12时，仅有四条直线使△AOB的面积为m．故答案是：m＞12．