2022年福建省厦门市湖里中学中考数学适应性试卷（含解析）

2022年福建省厦门市湖里中学中考数学适应性试卷

一．选择题（本题共10小题，共40分）

1. 的绝对值是

A.  B.  C.  D.

2. 如图，是一次函数的示意图，则的值可以是

A.
B.
C.
D.

3. 如图，沿方向平移得到，已知，，那么平移的距离为

A.
B.
C.
D.

4. 一元二次方程的求根公式是

A.  B.
C.  D.

5. 如图，内接于，于，，则的度数是

A.
B.
C.
D.

6. 下列等式正确的是

A.  B.
C.  D.

7. 如图，正五边形，平分正五边形的外角，连接，则

A.
B.
C.
D.

8. 已知五个数、、、、满足，则下列四组数据中方差最大的一组是

A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、

9. 周末早上小敏和朋友相约开车去离市中心的郊外玩，玩到了傍晚准备开车回家，回家的路上小敏开了有一会车抛锚了，于是朋友就把小敏的车用工具固定在自己的车后，拖着走了一段，路上遇到一家修车店，小敏就把车放在店里维修，然后坐朋友的车回到了市中心，下面是小敏从郊外返回路上所用的时间分钟和离市中心距离之间的对应关系表：

根据表格中的数据判断下列哪种说法是错误的

A. 差不多开了分钟，小敏的车抛锚了
B. 从抛锚点到修车店，花了差不多分钟
C. 修车店在离市中心处
D. 离市中心处可能开始堵车

10. 如图，曲线是双曲线：绕原点逆时针旋转得到的图形，是曲线上任意一点，点在直线：上，且，则的面积等于

1. 
   B.
   C.
   D.

二．填空题（本题共6小题，共24分）

11. 若有意义，则的取值范围是______ ．
12. 抛物线的对称轴是直线______．
13. 如图，中，，于，若，则______．
    
     

14. 已知，则代数式的值为______．
15. 如图，中，，是边中线，分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交点分别为点、，直线与相交于点，若，则外接圆的面积为______．
16. 如图，点是斜边的中点，过点作，交于点，若，，则 ______ ．

三．解答题（本题共11小题，共86分）

17. 计算：．
18. 已知：如图，在▱中，点、分别是边、的中点．求证：．

19. 解不等式组：．
20. 九章算术是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中方程术是九章算术最高的数学成就．九章算术中记载：“今有人共买鸡，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、鸡价各几何？”译文：“今天有几个人共同买鸡，每人出钱，多余钱，每人出钱，还缺钱．问人数和鸡的价钱各是多少？”
    请列方程组解决此问题．
21. 解方程：．
22. 如图，在矩形中，是的中点，，垂足为．
    求证：∽；
    若，，求的长．
    
    
     

23. 如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，号指挥机看成点始终以的速度在离地面高的上空匀速向右飞行，号试飞机看成点一直保持在号机的正下方号机从原点处沿仰角爬升，到高的处便立刻转为水平飞行，再过到达处开始沿直线降落，要求后到达处．
    求的关于的函数解析式，并直接写出号机的爬升速度；
    求的关于的函数解析式，并预计号机着陆点的坐标；
    通过计算说明两机距离不超过的时长是多少．
    注：及中不必写的取值范围

24. 如图，在正方形中，以为直径作半圆，以点为圆心、为半径做圆弧交半圆于点连接并延长交于点．
    若，则扇形的面积______；
    求证：为半圆的切线；
    求的值．
25. 某乡镇为了打赢脱贫攻坚战，决定因地制宜开展种植某种经济作物，该类经济作物的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为，其质量指标的等级划分如表：

为了解该类经济作物在当地的种植效益，当地引种了甲、乙两个品种，并随机抽取了甲、乙两个品种各件产品，测量了每件产品的质量指标值，整理如下表：

求“从乙品种产品抽取一件为不合格品”的概率；
若甲、乙两个品种的销售利润率与质量指标值满足下表：

其中，试分析，从长期来看，种植甲、乙哪个品种的平均利润率较大？

26. 在中，，是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转至的位置，使得．
    如图，当时，连接，交于点若平分，，求的长；
    如图，连接，取的中点，连接猜想与存在的数量关系，并证明你的猜想；
    如图，在的条件下，连接，若，当，时，请直接写出的值．

27. 如图是某同学正在设计的一动画示意图，轴上依次有，，三个点，且，在上方有五个台阶各拐角均为，每个台阶的高、宽分别是和，台阶到轴距离从点处向右上方沿抛物线：发出一个带光的点．
    求点的横坐标，且在图中补画出轴，并直接指出点会落在哪个台阶上；
    当点落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与形状相同的抛物线，且最大高度为，求的解析式，并说明其对称轴是否与台阶有交点；
    在轴上从左到右有两点，，且，从点向上作轴，且在沿轴左右平移时，必须保证中沿抛物线下落的点能落在边包括端点上，则点横坐标的最大值比最小值大多少？
    注：中不必写的取值范围

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：的绝对值为．
故选：．
根据绝对值的意义求解．
本题考查了实数的性质：在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
 

2.【答案】

【解析】解：由图象可得，
该一次函数的，，
选项A符合题意，选项B，，不符合题意，
故选：．
根据一次函数的图象与，的关系进行辨别即可．
此题考查了一次函数图象与性质问题的解决能力，关键是能运用图象理解、运用函数的性质．
 

3.【答案】

【解析】解：由题意，平移的距离为，
故选：．
观察图象，发现平移前后，、对应，、对应，根据平移的性质，易得平移的距离，进而可得答案．
本题考查平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行或在同一直线上且相等，对应线段平行或在同一直线上且相等，对应角相等．本题关键要找到平移的对应点．任何一对对应点所连线段的长度都等于平移的距离．
 

4.【答案】

【解析】解：一元二次方程的求根公式为，
故选：．
根据求根公式即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
 

5.【答案】

【解析】解：如图，连接；
，，
；
，且，
，
故选B．
如图，作辅助线；首先证明，其次证明，得到，即可解决问题．
该题主要考查了垂径定理、圆周角定理等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，构造圆心角；解题的关键是灵活运用垂径定理、圆周角定理等几何知识点来分析、解答．
 

6.【答案】

【解析】解：、，故A错误，不符合题意；
B、，故B正确，符合题意；
C、，故C错误，不符合题意；
D、，故D错误，不符合题意；
故选：．
根据去括号、单项式除法、积的乘方和幂的乘方法则及平方差公式逐项判断．
本题考查整式的运算，解题的关键时掌握去括号、单项式除法、积的乘方和幂的乘方法则及平方差公式等．
 

7.【答案】

【解析】解：五边形是正五边形，
，，，
，
，
平分正五边形的外角，
，
，
故选：．
根据正五边形的外角公式可得，易得每个内角的度数为，再结合等腰三角形和邻补角的定义即可解答．
本题考查了正五边形．解题的关键是掌握正五边形的性质：各边相等，各角相等，内角和为熟记定义是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：五个数、、、、满足，
由方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大、数据越不稳定可知，、、方差最大，
故选：．
根据方差的性质判断即可．
本题考查的是方差的概念和性质，掌握方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：距离市中心距离一直为，
此时车抛锚，
可推测抛锚时间在之间，
故选项A正确；
距离市中心距离一直为，
此时在修车店，
可推测到达修车店的时间在之间，
故选项B正确；
由表格可知，修车店距离市中心的距离为，
故选项C错误；
距离市中心的距离由变为，
平均速度为：，
距离市中心的距离由变为，
平均速度为：，
平均速度在减小，
可能是因为堵车导致速度减小，
故选项D正确；
故选：．
从表格可得距离市中心距离为，此时车抛锚，可推测抛锚时间在之间，可判断选项，距离市中心距离为，此时在修车店，由此可判断选项，由表格可得出修车店离市中心的距离，即可判断选项，由表格可计算出和的平均速度，即可判断选项．
本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是能根据表格正确提取信息．
 

10.【答案】

【解析】【试题解析】

解：如图，将及直线绕点逆时针旋转，则得到双曲线，直线与轴重合．
双曲线，的解析式为
过点作轴于点

为中点．

由反比例函数比例系数的性质，
的面积是

故选：．
将双曲线逆时针旋转使得与轴重合，等腰三角形的底边在轴上，应用反比例函数比例系数的性质解答问题．
本题为反比例函数综合题，考查了反比例函数的轴对称性以及反比例函数比例系数的几何意义．

11.【答案】

【解析】解：的取值范围是．
根据二次根式的性质，被开方数大于等于可知：时，二次根式有意义．
要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 

12.【答案】

【解析】解：，
抛物线对称轴为直线，
故答案为：．
由抛物线对称轴为直线求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 

13.【答案】

【解析】解：，
．
，
．
，
．
．
故答案为：．
利用三角形的内角和定理，在中求出，在中求出，利用特殊角的三角函数值得结论．
本题考查了解直角三角形，利用三角形的内角和定理求出的值是解决本题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：，
，
原式．
故答案为：．
等式两边都除以，得到，从而得到原式．
本题考查了等式的性质，代数式求值，掌握等式两边加同一个数或式子结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式是解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：，是边中线，
垂直平分，
分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交点分别为点、，
垂直平分，
直线与相交于点，
点即为外接圆圆心，
为外接圆半径，
外接圆的面积为：．
故答案为：．
利用等腰三角形的性质结合三角形外接圆的作法得出点即为外接圆的圆心，进而求出其面积．
此题主要考查了三角形的外心，得出点即为外接圆圆心是解题关键．
 

16.【答案】

【解析】解：延长，使，连接，

点是斜边的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，，
．
故答案为：．
延长，使，连接，证明≌，由全等三角形的性质得出，，由勾股定理求出由中垂线的性质得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，中垂线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式
．

【解析】利用二次根式的性质，特殊角的三角函数值，负整数指数幂的意义和零指数幂的意义解答即可．
本题主要考查了实数的运算，二次根式的性质，特殊角的三角函数值，负整数指数幂的意义和零指数幂的意义，正确使用上述法则进行运算是解题的关键．
 

18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
点、分别是▱边、的中点，
，，
，
四边形是平行四边形，
．

【解析】由四边形是平行四边形，可得，，又由点、分别是▱边、的中点，可得，继而证得四边形是平行四边形，即可证得结论．
此题考查了平行四边形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
 

19.【答案】解：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
该不等式组的解集是．

【解析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
 

20.【答案】解：设人数为人，鸡的价钱为钱，
根据题意，列方程组，得
解方程组，得．
答：人数为人，鸡的价钱为钱．

【解析】根据题意可以找出题目中的等量关系，列出相应的方程组，从而可以解答本题．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
 

21.【答案】解：，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是增根，
即原方程无实数根．

【解析】方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
 

22.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
，
，
，
∽；
解：是的中点，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
∽，
，
．

【解析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键是证明三角形相似．
由矩形性质得，进而由平行线的性质得，由于，再根据两角对应相等的两个三角形相似证明；
由是的中点，求得，再由勾股定理求得，最后根据相似三角形的性质求得．
 

23.【答案】解：号飞机爬升角度为，
上的点的横纵坐标相同．
．
设的解析式为：，
．
．
的解析式为：．
号试飞机一直保持在号机的正下方，
它们的飞行的时间和飞行的水平距离相同．
号机的爬升到处时水平方向上移动了，飞机的距离为，
又号机的飞行速度为，
号机的爬升速度为：．
设的解析式为，
由题意：，
，
解得：．
的解析式为．
令，则．
预计号机着陆点的坐标为．
不超过，
．

解得：．
两机距离不超过的时长为：．

【解析】由爬升角度为，可知上的点的横纵坐标相同，由此得到点坐标，用待定系数法解析式可求；利用号试飞机一直保持在号机的正下方，可知它们的飞行的时间和飞行的水平距离相同，由此可求爬升速度；
设的解析式为，由题意将，坐标代入即可求得；令求得，即可得到结论；
不超过，得到，利用中的解析式得出关于的不等式组，确定的取值范围，得出了两机距离不超过的飞行的水平距离，再除以号飞机的飞行速度，结论可得．
本题主要考查了解直角三角形的仰角问题，待定系数法求函数的解析式，解不等式组，一次函数的应用．待定系数法是确定解析式的重要方法，也是解题的关键．
 

24.【答案】

【解析】解：四边形是正方形，
，，
又，
，
，
，
扇形的面积，
故答案为：；
证明：如图，连接，，

四边形是正方形，
，
在与中，
，
≌，
，
又是的半径，
为半圆的切线；
解：四边形是正方形，
，
，
又是的半径，
是的切线，
为半圆的切线，
，
设正方形的边长为，，
，，
，
，
解得，
，
，
．
由正方形和圆的性质可知，又，即，再根据扇形面积公式求解即可；
通过证明≌，得即可证明；
根据切线定理和勾股定理得到，即可证得，从而求得．
本题是圆的综合题，考查了正方形的性质，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质、勾股定理，熟练掌握正方形的性质，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质、勾股定理并作出合理的辅助线是解题的关键．
 

25.【答案】解：“从乙品种产品抽取一件为不合格品”的概率为，
答：“从乙品种产品抽取一件为不合格品”的概率为；
由题意得甲品种的利润率的分布为：

乙品种的利润率的分布为：

，
，
，
，
，
，
种植乙品种的平均利润大．

【解析】根据频率频数总数，然后用频率估计概率即可；
根据甲、乙各自频数分布表求出甲、乙的利润率分布，然后分别求出各自的平均利润率，然后进行比较即可．
本额主要考查了频数分布表，加权平均数，用频率估计概率，二次函数的性质等等，正确理解题意是解题的关键．
 

26.【答案】解：连接，过点作于，
平分，，
，
，
，
，
，
，
，
由旋转知，，
≌，
，，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
；

，
理由：延长至点，使，连接，
是的中点，
，
，
，
，
，，
，
，
≌，
，
；

如图，连接，与的交点记作点，
，，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
在中，，，
，
，
，
点，，，四点共圆，
，
，
，
，
，
是的垂直平分线，
，，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
由知，，
，
，
，
，
过点作于，
在中，，，
，
根据勾股定理得，，
在中，根据勾股定理得，，
，
，
．

【解析】连接，过点作于，判断出，再判断出，进而得出≌，得出，，再判断出，即可得出结论；
延长至点，使，连接，得出，再判断出≌，得出，即可得出结论；
如图，连接，与的交点记作点，先判断出是等边三角形，得出，，，进而判断出点，，，四点共圆，得出，再判断出是的垂直平分线，也是的角平分线，设，则，进而得出，，，再构造直角三角形求出，即可得出结论．
此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，判断出点，，，四点共圆是解本题的关键．
 

27.【答案】解：图形如图所示，由题意台级左边的端点坐标，右边的端点，
对于抛物线，
令，，解得或，
，
点的横坐标为，
当时，，
当时，，
当时，，
解得或，
抛物线与台级有交点，设交点为，
点会落在哪个台阶上．

由题意抛物线：，经过，最高点的纵坐标为，
，
解得或舍弃，
抛物线的解析式为，
对称轴，
台阶的左边的端点，右边的端点为，
抛物线的对称轴与台阶有交点．

对于抛物线：，
令，得到，解得，
抛物线交轴的正半轴于，
当时，，解得或，
抛物线经过，
中，，，，
当点与重合时，点的横坐标的值最大，最大值为，
当点与重合时，点的横坐标最小，最小值为，
点横坐标的最大值比最小值大．

【解析】由题意台阶的左边端点，右边端点的坐标，求出，时的的值，即可判断．
由题意抛物线：，经过，最高点的纵坐标为，构建方程组求出，，可得结论．
求出抛物线与轴的交点，以及时，点的坐标，判断出两种特殊位置点的横坐标的值，可得结论．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题．