新人教B版高中数学必修第二册第六章平面向量初步章末检测含解析

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平面向量初步考试时间：120分钟　满分：150分一、单项选择题(本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．如图，在⊙O中，向量eq \o(OB,\s\up6(→))，eq \o(OC,\s\up6(→))，eq \o(AO,\s\up6(→))是(　　)A.有相同起点的向量B．共线向量C．模相等的向量D．相等的向量2．若A(2，－1)，B(4，2)，C(1，5)，则eq \o(AB,\s\up6(→))＋2eq \o(BC,\s\up6(→))等于(　　)A．5　　　　B．(－1，5)C．(6，1) D．(－4，9)3．若A(x，－1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为(　　)A．－3B．－1C．1D．34．已知向量a，b满足a＋b＝(1，3)，a－b＝(3，－3)，则a，b的坐标分别为(　　)A．(4，0)，(－2，6) B．(－2，6)，(4，0)C．(2，0)，(－1，3) D．(－1，3)，(2，0)5．若a＝(5，x)，|a|＝13，则x＝(　　)A．±5B．±10C．±12D．±136．如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，eq \o(OP,\s\up6(→))＝xeq \o(OA,\s\up6(→))＋yeq \o(OB,\s\up6(→))，且eq \o(BP,\s\up6(→))＝2eq \o(PA,\s\up6(→))，则(　　)A.x＝eq \f(2,3)，y＝eq \f(1,3)B．x＝eq \f(1,3)，y＝eq \f(2,3)C．x＝eq \f(1,4)，y＝eq \f(3,4)D．x＝eq \f(3,4)，y＝eq \f(1,4)7．设向量a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－λ，\f(1,2)λ))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)λ＋1，－\f(1,6)λ))，则a＋3b＝(　　)A．(λ＋3，－λ) B．(－λ＋3，λ)C．(1，0) D．(3，0)8．若向量a＝(2，1)，b＝(－1，2)，c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))，则c可用向量a，b表示为(　　)A．eq \f(1,2)a＋bB．－eq \f(1,2)a－bC．eq \f(3,2)a＋eq \f(1,2)bD．eq \f(3,2)a－eq \f(1,2)b二、多项选择题(本题共4小题，毎小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．下列命题不正确的是(　　)A．单位向量都相等B．若a与b是共线向量，b与c是共线向量，则a与c是共线向量C．|a＋b|＝|a－b|，则a⊥bD．若a与b是单位向量，则|a|＝|b|10．已知a＝(1，2)，b＝(3，4)，若a＋kb与a－kb互相垂直，则实数k＝(　　)A．eq \r(5)B．eq \f(\r(5),5)C．－eq \r(5)D．－eq \f(\r(5),5)11．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是AB，CD的中点，AC与BD交于M，设eq \o(AB,\s\up6(→))＝a，eq \o(AD,\s\up6(→))＝b，则下列结论正确的是(　　)A．eq \o(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a＋bB．eq \o(BC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)a＋bC．eq \o(BM,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)bD．eq \o(EF,\s\up6(→))＝－eq \f(1,4)a＋b12．如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是(　　)A．λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量B．对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)D．若实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0三、填空题(本题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为________.14．已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．15．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10N，则每根绳子的拉力大小为________N．16．如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，G，Q三点共线．设eq \o(OP,\s\up6(→))＝xeq \o(OA,\s\up6(→))，eq \o(OQ,\s\up6(→))＝yeq \o(OB,\s\up6(→))，则eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝________．四、解答题(本题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)如图所示，已知eq \o(OA,\s\up6(→))＝a，eq \o(OB,\s\up6(→))＝b，eq \o(OC,\s\up6(→))＝c，eq \o(OD,\s\up6(→))＝d，eq \o(OE,\s\up6(→))＝e，eq \o(OF,\s\up6(→))＝f，试用a，b，c，d，e，f表示：(1)eq \o(AD,\s\up6(→))－eq \o(AB,\s\up6(→))；(2)eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(CF,\s\up6(→))；(3)eq \o(EF,\s\up6(→))－eq \o(CF,\s\up6(→)).18.(12分)已知点A(－1，2)，B(2，8)以及eq \o(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \o(AB,\s\up6(→))，eq \o(DA,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \o(BA,\s\up6(→))，求点C，D的坐标和eq \o(CD,\s\up6(→))的坐标．19．(12分)已知A(1，1)，B(3，－1)，C(a，b).(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；(2)若eq \o(AC,\s\up6(→))＝2eq \o(AB,\s\up6(→))，求点C的坐标．20．(12分)长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如图所示，一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为15km/h，同时江水的速度为向东6km/h.(1)用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；(2)求船实际航行的速度的大小(结果保留小数点后一位)与方向(用与江水速度间的夹角表示，精确到1°).21．(12分)平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1).(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.22．(12分)已知O，A，B是平面上不共线的三点，直线AB上有一点C，满足2eq \o(AC,\s\up6(→))＋eq \o(CB,\s\up6(→))＝0，(1)用eq \o(OA,\s\up6(→))，eq \o(OB,\s\up6(→))表示eq \o(OC,\s\up6(→))；(2)若点D是OB的中点，证明四边形OCAD是梯形．章末质量检测(六)　平面向量初步1．解析：由图可知eq \o(OB,\s\up6(→))，eq \o(OC,\s\up6(→))，eq \o(AO,\s\up6(→))是模相等的向量，其模均等于圆的半径，故选C.答案：C2．解析：eq \o(AB,\s\up6(→))＝(2，3)，eq \o(BC,\s\up6(→))＝(－3，3)，∴eq \o(AB,\s\up6(→))＋2eq \o(BC,\s\up6(→))＝(2，3)＋2(－3，3)＝(－4，9).答案：D3．解析：eq \o(AB,\s\up6(→))∥eq \o(BC,\s\up6(→))，(1－x，4)∥(1，2)，2(1－x)＝4，x＝－1，故选B.答案：B4．解析：由题意知，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝（1，3），,a－b＝（3，－3），))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝（2，0），,b＝（－1，3）.))答案：C5．解析：由题意得|a|＝eq \r(52＋x2)＝13，所以52＋x2＝132，解得x＝±12.答案：C6．解析：由题意知eq \o(OP,\s\up6(→))＝eq \o(OB,\s\up6(→))＋eq \o(BP,\s\up6(→))，又eq \o(BP,\s\up6(→))＝2eq \o(PA,\s\up6(→))，所以eq \o(OP,\s\up6(→))＝eq \o(OB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \o(BA,\s\up6(→))＝eq \o(OB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \o(OA,\s\up6(→))－eq \o(OB,\s\up6(→)))＝eq \f(2,3)eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \o(OB,\s\up6(→))，所以x＝eq \f(2,3)，y＝eq \f(1,3).答案：A7．解析：因为a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－λ，\f(1,2)λ))b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)λ＋1，－\f(1,6)λ))所以a＋3b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－λ，\f(1,2)λ))＋3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)λ＋1，－\f(1,6)λ))＝(3，0).答案：D8．解析：设c＝xa＋yb，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))＝(2x－y，x＋2y)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y＝0,x＋2y＝\f(5,2)))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝1))则c＝eq \f(1,2)a＋b.答案：A9．解析：单位向量仅仅长度相等而已，方向也许不同；当b＝0时，a与c可以为任意向量；|a＋b|＝|a－b|，即对角线相等，此时为矩形，邻边垂直．故选AB.答案：AB10．解析：a2＝5，b2＝25，且a＋kb与a－kb垂直，∴(a＋kb)(a－kb)＝a2－k2b2＝5－25k2＝0，解得k＝±eq \f(\r(5),5).故选BD.答案：BD11．解析：由题意可得，eq \o(AC,\s\up6(→))＝eq \o(AD,\s\up6(→))＋eq \o(DC,\s\up6(→))＝b＋eq \f(1,2)a，故A正确；eq \o(BC,\s\up6(→))＝eq \o(BA,\s\up6(→))＋eq \o(AC,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq \f(1,2)a＝b－eq \f(1,2)a，故B正确；eq \o(BM,\s\up6(→))＝eq \o(BA,\s\up6(→))＋eq \o(AM,\s\up6(→))＝－a＋eq \f(2,3)eq \o(AC,\s\up6(→))＝－a＋eq \f(2,3)b＋a×eq \f(1,3)＝eq \f(2,3)b－eq \f(2,3)a，故C错误；eq \o(EF,\s\up6(→))＝eq \o(EA,\s\up6(→))＋eq \o(AD,\s\up6(→))＋eq \o(DF,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)a＋b＋eq \f(1,4)a＝b－eq \f(1,4)a，故D正确．答案：ABD12．解析：由平面向量基本定理可知，A，D是正确的．对于B，由平面向量基本定理可知，若一个平面的基底确定，那么该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于C，当两个向量均为零向量时，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个，或当λ1e1＋μ1e2为非零向量，而λ2e1＋μ2e2为零向量(λ2＝μ2＝0)，此时λ不存在．故选B，C.答案：BC13．解析：若a，b能作为平面内的一组基底，则a与b不共线，则a≠kb(k∈R)，又a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，∴λ≠4.答案：(－∞，4)∪(4，＋∞)14．解析：∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m＋n＝9，,m－2n＝－8，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝5，))∴m－n＝2－5＝－3答案：－315．解析：如图，由题意得，∠AOC＝∠COB＝60°，|eq \o(OC,\s\up6(→))|＝10，则|eq \o(OA,\s\up6(→))|＝|eq \o(OB,\s\up6(→))|＝10，即每根绳子的拉力大小为10N.答案：1016．解析：eq \o(OG,\s\up6(→))＝eq \o(OP,\s\up6(→))＋eq \o(PG,\s\up6(→))＝eq \o(OP,\s\up6(→))＋λeq \o(PQ,\s\up6(→))＝eq \o(OP,\s\up6(→))＋λ(eq \o(OQ,\s\up6(→))－eq \o(OP,\s\up6(→)))＝(1－λ)eq \o(OP,\s\up6(→))＋λeq \o(OQ,\s\up6(→))＝(1－λ)xeq \o(OA,\s\up6(→))＋λyeq \o(OB,\s\up6(→))，①又∵G是△OAB的重心，∴eq \o(OG,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \o(OM,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(OB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \o(OB,\s\up6(→)).②而eq \o(OA,\s\up6(→))，eq \o(OB,\s\up6(→))不共线．∴由①②，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（1－λ）x＝\f(1,3)，,λy＝\f(1,3)．))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＝3－3λ，,\f(1,y)＝3λ.))∴eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝3.答案：317．解析：(1)因为eq \o(OB,\s\up6(→))＝b，eq \o(OD,\s\up6(→))＝d，所以eq \o(AD,\s\up6(→))－eq \o(AB,\s\up6(→))＝eq \o(BD,\s\up6(→))＝eq \o(OD,\s\up6(→))－eq \o(OB,\s\up6(→))＝d－b.(2)因为eq \o(OA,\s\up6(→))＝a，eq \o(OB,\s\up6(→))＝b，eq \o(OC,\s\up6(→))＝c，eq \o(OF,\s\up6(→))＝f，所以eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(CF,\s\up6(→))＝(eq \o(OB,\s\up6(→))－eq \o(OA,\s\up6(→)))＋(eq \o(OF,\s\up6(→))－eq \o(OC,\s\up6(→)))＝b＋f－a－c.(3)eq \o(EF,\s\up6(→))－eq \o(CF,\s\up6(→))＝eq \o(EF,\s\up6(→))＋eq \o(FC,\s\up6(→))＝eq \o(EC,\s\up6(→))＝eq \o(OC,\s\up6(→))－eq \o(OE,\s\up6(→))＝c－e.18．解析：设点C，D的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，得eq \o(AC,\s\up6(→))＝(x1＋1，y1－2)，eq \o(AB,\s\up6(→))＝(3，6)，eq \o(DA,\s\up6(→))＝(－1－x2，2－y2)，eq \o(BA,\s\up6(→))＝(－3，－6).因为eq \o(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \o(AB,\s\up6(→))，eq \o(DA,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \o(BA,\s\up6(→))，所以有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋1＝1，,y1－2＝2))和eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1－x2＝1，,2－y2＝2.))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝0，,y1＝4))和eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝－2，,y2＝0，))所以点C，D的坐标分别是(0，4)，(－2，0)，从而eq \o(CD,\s\up6(→))＝(－2，－4).19．解析：(1)由已知eq \o(AB,\s\up6(→))＝(2，－2)，eq \o(AC,\s\up6(→))＝(a－1，b－1)，∵A，B，C三点共线，∴eq \o(AB,\s\up6(→))∥eq \o(AC,\s\up6(→)).∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.(2)∵eq \o(AC,\s\up6(→))＝2eq \o(AB,\s\up6(→))，∴(a－1，b－1)＝2(2，－2).∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－1＝4，,b－1＝－4，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝－3.))∴点C的坐标为(5，－3).20.解析：(1)如图所示，eq \o(AD,\s\up6(→))表示船速，eq \o(AB,\s\up6(→))表示江水速度，以AD，AB为邻边作▱ABCD，则eq \o(AC,\s\up6(→))表示船实际航行的速度．(2)在Rt△ABC中，|eq \o(AB,\s\up6(→))|＝6，|eq \o(BC,\s\up6(→))|＝15，于是|eq \o(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(|\o(AB,\s\up6(→))|2＋|\o(BC,\s\up6(→))|\o(2,\s\up6(　)))＝eq \r(62＋152)＝eq \r(261)≈16.2.因为tan∠CAB＝eq \f(|\o(BC,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))\o(|,\s\up6(　)))＝eq \f(5,2)，所以利用计算工具可得∠CAB≈68°.因此，船实际航行速度的大小约为16.2km/h，方向与江水速度间的夹角约为68°.21．解析：(1)由题意得(3，2)＝m(－1，2)＋n(4，1)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－m＋4n＝3，,2m＋n＝2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(5,9)，,n＝\f(8,9)．))(2)a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)，由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得k＝－eq \f(16,13).22．解析：(1)因为2eq \o(AC,\s\up6(→))＋eq \o(CB,\s\up6(→))＝0，所以2(eq \o(OC,\s\up6(→))－eq \o(OA,\s\up6(→)))＋(eq \o(OB,\s\up6(→))－eq \o(OC,\s\up6(→)))＝0，2eq \o(OC,\s\up6(→))－2eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(OB,\s\up6(→))－eq \o(OC,\s\up6(→))＝0，所以eq \o(OC,\s\up6(→))＝2eq \o(OA,\s\up6(→))－eq \o(OB,\s\up6(→)).(2)证明：如图，eq \o(DA,\s\up6(→))＝eq \o(DO,\s\up6(→))＋eq \o(OA,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \o(OB,\s\up6(→))＋eq \o(OA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(2eq \o(OA,\s\up6(→))－eq \o(OB,\s\up6(→))).故eq \o(DA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \o(OC,\s\up6(→)).故四边形OCAD为梯形．