新人教A版高中数学必修第一册第二章一元二次函数方程和不等式阶段小卷三2.1－2.2含解析

这是一份新人教A版高中数学必修第一册第二章一元二次函数方程和不等式阶段小卷三2.1－2.2含解析，共7页。
阶段小卷(三)[2.1－2.2][时间：40分钟　满分：100分] 一、选择题(本大题共7个小题，每小题5分，共35分)1．若m<n，则下列各式中正确的是(　C　)　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．m－2>n－2B．4m>4nC．－3m>－3nD．－1>－1【解析】 根据不等式的性质，不等式两边同乘负数，不等号改变方向，所以选项C正确．2．下列说法正确的是(　C　)A．如果ab＝ac，那么b＝cB．如果2x＝2a－b，那么x＝a－bC．如果a＝b，那么＝D．等式＝两边同除以a，可得b＝c【解析】 对于选项A，若a＝0，则b＝c不一定成立，所以选项A错误；对于选项B，两边同除以2，得x＝a－，所以选项B错误；对于选项C，等式两边同除以c2＋1，所得结果还是等式，所以选项C正确；对于选项D，等式＝两边同除以a，得＝，所以选项D错误．故选C.3．已知a，b，c，d都是实数，则下列不等式中恒成立的是(　D　)A． 若a>b，c>d，则ac>bdB． 若a>b，则ac2>bc2C． 若a>b>0，则(a－b)c>0D． 若a>b，则a－c>b－c【解析】 A选项，若a＝1，b＝0，c＝－1，d＝－2，则ac＝－1，bd＝0，此时ac<bd，可知A错误；B选项，若c＝0，则ac2＝bc2＝0，可知B错误；C选项，a>b，则a－b>0.若c≤0，则c≤0，可知C错误；D选项，若a>b，根据不等式性质可知a－c>b－c，D正确．4．如果a>1>b，那么下列不等式正确的个数是(　B　)①a－b>0；②a－1>1－b；③a－1>b－1；④>1.A．1    B．2    C．3    D．4【解析】 由a>1>b得a>b，即a－b>0，且a－1>b－1，所以①③正确；取a＝2，b＝－1，可验证知②④不正确．故选B.5．设0<x<，0≤y≤(a>0，a是常数)，则2x－的取值范围是(　D　)A．0<2x－<aB．－<2x－<aC．0<2x－<aD．－<2x－<a【解析】 0<2x<a，0≤≤，所以－≤－≤0，由同向不等式相加得到－<2x－<a.故选D.6．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车并将其投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位：万元)与营运年数x的函数关系为y＝－(x－6)2＋11(x∈N*)，则营运的年平均利润最大时，每辆客车的营运年数x为(　C　)A．3    B．4    C．5    D．6【解析】 由题意可知，＝－＋12≤－2＋12＝2，当且仅当x＝，即x＝5时，等号成立，即营运的年平均利润最大．故选C.7． 已知a，b均为正实数，则下列不等式不一定成立的是(　AD　)A．a＋b＋≥3B．＋≥a＋bC．≥a＋bD．≥【解析】 对于A，a＋b＋≥2＋≥2，当且仅当a＝b＝时等号同时成立，∴a＋b＋≥3不一定成立；对于B，＋－(a＋b)＝＋＝≥0，故B项正确；对于C，≥≥＝a＋b，当且仅当a＝b时取等号，故C项正确；当a＝，b＝时，＝＝，＝，因为＞，所以＜.故选AD.二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分)8．已知x－y＝3，则(x－1)(1－y)的最大值为____．【解析】 由ab≤(a，b∈R)得(x－1)(1－y)≤＝＝.当且仅当x－1＝1－y且x－y＝3，即x＝，y＝－时，等号成立．9．已知x≥－1，则x3＋1__≥__x2＋x(填“≥”或“≤”). 【解析】 因为x3＋1－(x2＋x)＝x3＋1－x2－x＝x3－x2－x＋1＝x2(x－1)－(x－1)＝(x－1)2(x＋1)，因为x≥－1，所以x＋1≥0，所以x3＋1－(x2＋x)≥0，即x3＋1≥x2＋x.10．若a>b，则2(a－b)＋的最小值为__8__．【解析】 因为a>b，所以2(a－b)＋≥2＝8，当且仅当a－b＝2时取等号，即2(a－b)＋的最小值为8.11．若正数a，b满足a＋b＝1，则＋的最小值为____. 【解析】 由a＋b＝1可得(3a＋2)＋(3b＋2)＝7，故＋＝·＝≥.当且仅当a＝b＝时取等号．12．为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底面宽为2 m 的无盖长方体沉淀箱(如图所示)，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，A，B孔的面积忽略不计，设箱的底面长为a m，高度为b m．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积成反比，现有制箱材料60 m2.则当a＝__6__，b＝__3__时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．【解析】 由题设，知4b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0)，即a＋2b＋ab＝30(a>0，b>0).因为a＋2b≥2，所以2·＋ab≤30，当且仅当a＝2b时取等号．由a>0，b>0，解得0<ab≤18，即当a＝2b时，ab取得最大值，其最大值为18.所以2b2＝18，解得b＝3，进而求得a＝6.故当a＝6，b＝3时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．三、解答题(本大题共3个小题，共40分)13．(12分)已知x，y都是正数．(1)若3x＋2y＝12，求xy的最大值；(2)若x＋2y＝3，求＋的最小值．解：(1)∵3x＋2y＝12，x，y都是正数，∴xy＝·3x·2y≤＝6，当且仅当3x＝2y，即x＝2，y＝3时，等号成立．∴xy的最大值为6.(2)∵x＋2y＝3，x，y都是正数，∴1＝＋，∴＋＝＝＋＋＋≥1＋2＝1＋，当且仅当＝，即x＝3－3，y＝3－时取等号，∴＋的最小值为1＋.14．(14分)已知a，b，c为不全相等的正数，且abc＝1.求证：＋＋<＋＋.证明：因为 a，b，c都是正数，且abc＝1，所以＋≥2＝2，＋≥2＝2，＋≥2＝2，以上三个不等式相加，得2≥2(＋＋).又因为a，b，c为不全相等的正数，所以取不到等号，所以＋＋<＋＋.15．(14分)某种商品原来每件售价为25元，年销售量为8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．解：(1)设每件定价为x元，依题意得x≥25×8，整理得x2－65x＋1 000≤0，解得25≤x≤40.所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．(2)依题意得不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋x有解，等价于x＞25时，a≥＋x＋有解，因为＋x≥2＝10(当且仅当x＝30时，等号成立)，所以a≥10.2.此时该商品的每件定价为30元．∴当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．