人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.3 二次函数与一元二次方程、不等式第二课时学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.3 二次函数与一元二次方程、不等式第二课时学案，共9页。
第2课时　一元二次不等式的简单应用[课程目标] 1.借助二次函数的图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；2.掌握简单的分式不等式的解法，掌握与一元二次不等式有关的不等式恒成立问题的解法；3.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式模型，并加以解决． 知识点一　可转化为一元二次不等式的简单分式不等式设f(x)，g(x)均为一元一次代数式，则可将分式不等式转化为一元二次不等式：>0⇔__f(x)g(x)>0__；<0⇔__f(x)g(x)<0__；≥0⇔____；≤0⇔____．[研读]分式不等式求解集能够转化为一元二次不等式求解集． 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).(1)若不等式>0，则有x>0且x－1>0.(　×　)(2)不等式<0⇔(x－1)(2x＋3)<0.(　√　)(3)>1⇔2x＋1>1－x.(　×　)(4)≤⇔4x＋10≤x＋2.(　×　)【解析】 (1)>0⇔x(x－1)>0，即或(3) 由>1，得－1＝>0⇔x(1－x)>0.(4)由≤，得－＝≤0⇔ 知识点二　高次不等式的解法如果将分式不等式转化为整式不等式后，未知数的次数大于2，一般使用“穿针引线法”，具体思路如下：(1)标准化．通过移项、通分等方法将不等式左侧化为关于未知数的整式，右侧化为0的形式．(2)分解因式．将标准化的不等式的左侧化为若干个因式(一次因式或高次不可约因式)的乘积，如(x－x1)(x－x2)…(x－xn)>0的形式，其中各因式中未知数的系数为正．(3)求根．求(x－x1)(x－x2)…(x－xn)＝0的根，并在数轴上表示出来(按从小到大的顺序标出).(4)穿线．从右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，但是要注意经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧．(5)得解集．若不等式(未知数系数均为正)是“>0”，则找线在数轴上方的区间；若不等式(未知数系数均为正)是“<0”，则找线在数轴下方的区间． 知识点三　不等式恒成立问题1．一元二次不等式恒成立的情况：ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔____；ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔____．2．若关于x的函数y在D上既存在最大值，也存在最小值，则：(1)a>y，x∈D恒成立⇔__a>ymax__；(2)a<y，x∈D恒成立⇔__a<ymin__．[研读]一元二次不等式恒成立问题实质上是二次函数图象在x轴上方还是在x轴下方的问题，这样，解决一元二次不等式恒成立问题就能够转化为二次函数问题加以解决． 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).(1)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的正根，则(　√　)(2)若a，b，c满足则方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的正根．(　×　)(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正一负两个根，则ac<0.(　√　)(4)若不等式x2－x＋a≥0对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是a≥.(　√　)【解析】 (1)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的正根，则必有所以正确．(2)在所给条件下，方程ax2＋bx＋c＝0不一定有两个不相等的正根，还可以是两个负根，如x2＋6x＋8＝0的两个根分别是－2和－4.(3)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正一负两个根，则由韦达定理知，两根之积为<0，从而ac<0.(4)a≥－x2＋x＝－＋恒成立，－x2＋x的最大值为，所以a≥. 教材拓展不等式>0的解集是____.【解析】 由>0，得<0，等价于(x－3)(2x＋5)<0，解得－<x<3，所以不等式>0的解集是. 教材应用不等式≤3的解集是____.【解析】 由≤3，得－3≤0，即≤0，即≥0，等价于(x－2)(2x－7)≥0且x－2≠0，解得x<2或x≥.所以不等式≤3的解集是.[规律方法]1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项，再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的不等式，然后用上述方法求解． 活学活用≥－2的解集是__{x|x<5，或x≥11}__．【解析】 不等式≥－2可化为＋2≥0，即≥0，则原不等式等价于(x－11)(x－5)≥0且x－5≠0，解得x<5或x≥11.所以≥－2的解集是{x|x<5，或x≥11}. 解下列不等式：(1) (x＋1)>0；(2) x≥0.【答案】(1)不等式的解集为.(2)不等式的解集为.[规律方法]高次不等式求解原理：(1)因式分解(分式化整)；(2)数轴标根(依序排列)；(3)穿针引线(奇穿偶回)；(4)写出解集． 活学活用求解下列分式不等式：(1) >0；(2) ≤0；(3) ≤x－1.解：(1)原不等式可化为x(x－1)>0，根据穿针引线可得解集为.(2)≤0⇔根据穿针引线可得解集为.(3)原不等式可化为－(x－1)≤0⇔≥0⇔根据穿针引线可得解集为. 已知y＝x2＋2ax＋4，若对一切x∈R，y＞0恒成立，则实数a的取值范围是__－2<a<2__．【解析】 由题意可知，只有当二次函数y＝x2＋2ax＋4的图象与x轴无交点时，才满足题意，则Δ＜0，即4a2－16<0，解得－2<a<2.【迁移探究1】 已知y＝x2＋2ax＋4，如果对任意x∈{x|1≤x≤2}，y＜0恒成立，则实数a的取值范围是__a<－__．【解析】 若对任意x∈{x|1≤x≤2}，y＜0恒成立，根据函数y＝x2＋2ax＋4的图象性质，可知当x＝1时，y<0；当x＝2时，y<0.即解得a<－.【迁移探究2】 已知y＝x2＋(2－a)x＋1，当x>0时，y≥0恒成立，则实数a的取值范围是__a≤4__．【解析】 由y＝x2＋(2－a)x＋1≥0对任意x>0恒成立，得x2＋2x＋1≥ax对任意x>0恒成立，所以a≤x＋＋2对任意x>0恒成立，所以a≤.因为x＋≥2，当且仅当x＝1时，等号成立，所以a≤＝4. 活学活用关于x的不等式(1＋m)x2＋mx＋m<x2＋1对x∈R恒成立，求实数m的取值范围．解：原不等式等价于mx2＋mx＋m－1<0对x∈R恒成立．当m＝0时，显然不等式对x∈R恒成立．当m≠0时，由题意，得即即解得m<0.综上，m的取值范围为m≤0. 某小微企业为新能源汽车生产厂家提供配件，其中一种配件的投入成本为100元/件，出厂价为120元/件，年销售量为10 000件．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本．若每件配件投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应提高的比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.设年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y(元)与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？解：(1)依题意，得y＝[120(1＋0.75x)－100(1＋x)]×10 000×(1＋0.6x)＝10 000(－6x2＋2x＋20)，所以，所求关系式为y＝10 000(－6x2＋2x＋20)(0<x<1).(2)依题意，得10 000(－6x2＋2x＋20)>(120－100)×10 000，化简，得3x2－x<0，解得0<x<.所以投入成本增加的比例x的范围是0<x<.[规律方法]解不等式应用题，一般可按以下四步进行：(1)阅读理解、认真审题、把握问题中的关键量、找准不等关系；(2)引进数学符号，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)；(3)解不等式或求函数最值；(4)检验求解结果是否符合实际问题． 活学活用某物流公司购买了一块长AM＝30米，宽AN＝20米的矩形地块，计划建设如图所示的矩形ABCD仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C在地块对角线MN上，B，D分别在边AM，AN上，设AB的长度为x米．(1)求矩形ABCD的面积S关于x的函数解析式；(2)要使仓库ABCD的占地面积不少于144平方米，AB的长度应在什么范围内？解：(1)依题意得，△NDC与△NAM相似，所以＝，即＝，解得AD＝20－x.所以矩形ABCD的面积S关于x的函数解析式为S＝20x－x2(0<x<30).(2)要使仓库ABCD的占地面积不少于144平方米，则20x－x2≥144，化简得x2－30x＋216≤0，解得12≤x≤18.所以AB的长度应不小于12米且不大于18米．1．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝，则A∩B＝(　B　)　　　　　　　　　　　　　　 A．{x|－1≤x<0}    B．{x|0<x≤1}C．{x|0≤x≤2}    D．{x|0≤x≤1}【解析】 因为A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0<x≤2}，所以A∩B＝{x|0<x≤1}.2．已知不等式x2＋ax＋4<0的解集为空集，则a的取值范围是(　A　)A．－4≤a≤4    B．－4<a<4C．a≤－4或a≥4    D．a<－4或a>4【解析】 依题意，应有Δ＝a2－16≤0，解得－4≤a≤4，故选A.3．某商品在最近30天内的价格y1(元/件)与时间t(天)的函数关系是y1＝t＋10 (0<t≤20，t∈N)；销售量y2与时间t(天)的函数关系是y2＝－t＋35(0<t≤30，t∈N)，则使这种商品日销售金额不少于500元的t的范围为(　B　)A．15≤t≤20    B．10≤t≤15C．10<t<15    D．0<t≤10【解析】 由题意得，(t＋10)(－t＋35)≥500，解得10≤t≤15.4．不等式≤1的解集为__{x|x≤－2或x≥1}__．【解析】 因为x2>0，所以原不等式等价于x2≥2－x，即x2＋x－2≥0，解得x≤－2或x≥1.5．若不等式x2＋mx＋1≤0在x∈R上有解，则实数m的取值范围是__m≥2或m≤－2__．【解析】 依题意得Δ＝m2－4≥0，解得m≥2或m≤－2.