新人教A版高中数学必修第一册第四章指数函数与对数函数阶段小卷十4.5含解析

阶段小卷(十)

[时间：40分钟　满分：100分]

一、选择题(本大题共7个小题，每小题5分，共35分)

1．若函数y＝f(x)在区间(－2，2)上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(－2，2)上仅有一个实数根，则f(－1)·f(1)的值(　C　)

A．大于0　　　　　　　　B．小于0

C．无法判断　　     D．等于零

【解析】  由题意不能判断该函数零点在区间(－1，1)的内部还是外部．

2．函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的大致区间是(　B　)

A．(0，1)    B．(1，2)

C．(2，e)    D．(3，4)

【解析】 因为f(x)的图象是连续不断的，且f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，所以f(x)只有一个零点，且f(1)＝ln 2－2<0，f(2)＝ln 3－1>0，所以f(x)的零点所在的区间是(1，2).

3．若函数f(x)＝ax＋1在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是(　C　)

A．a>1    B．a<1

C．a<－1或a>1    D．－1<a<1

【解析】 函数f(x)＝ax＋1在区间(－1，1)上存在一个零点，则f(－1)·f(1)<0，即(1－a)·(1＋a)<0，解得a<－1或a>1，故选C.

4．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(　C　)

A．1.5    B．1.2

C．0.8    D．0.6

【解析】 依题意4.9＝5＋lg V，所以lg V＝－0.1，则V＝10－0.1＝≈≈0.8，故选C.

5．用二分法求函数f(x)＝ln x＋2x－6在区间(2，3)内的零点近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1(　C　)

A．2    B．3

C．4    D．5

【解析】 开区间(2，3)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为，故有≤0.1，∴n≥4，∴至少需要操作4次．故选C.

6．衣柜里的樟脑丸随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为(　C　)

A．125　　　B．100    C．75　　　D．50

【解析】 由已知，得a＝a·e－50k，所以e－k＝.设经过t1天后，一个新丸体积变为a，则a＝a·e－kt1，所以＝(e－k)t1＝，所以＝，得t1＝75.

7． 某工厂生产某种产品的月产量 y 与月份 x 满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品的数量分别为1万件、1.5万件．下列结论正确的是(　ACD　)

A．a＝－2，b＝2

B．a＝2，b＝－2

C．该工厂3月份该产品的产量为1.75万件

D．该工厂前4个月该产品的总产量超过6万件

【解析】 由题意有解得所以y＝－2×0.5x＋2.所以3月份产量为y＝－2×0.53＋2＝1.75(万件)，4月份的产量为y＝－2×0.54＋2＝1.875(万件)，则前4个月该产品的总产量为1＋1.5＋1.75＋1.875＝6.125>6.故选ACD.

二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分)

8．方程＝ln x的根的个数为__1__．

【解析】 作出函数y＝与y＝ln x的大致图象(图略)，两图象有一个交点，故方程＝ln x的根的个数为1.

9．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上单调递增，则该函数有__3__个零点，这些零点的和等于__0__．

【解析】 因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，所以f(0)＝0.又因为f(－2)＝0，所以f(2)＝－f(－2)＝0，故该函数有3个零点，这3个零点之和等于0.

10．已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是__a>1__．

【解析】 因为函数y＝f(x)与y＝a－x的图象只有一个交点，作出两函数的图象(图略)，结合函数图象知，a>1.

11．若方程ax－x－a＝0有两个解，则a的取值范围是__(1，＋∞)__．

【解析】  由ax－x－a＝0得，ax＝x＋a，令y1＝ax，

y2＝x＋a，在同一坐标系中作出两函数图象如图1，2所示，由图象知a>1.

12．已知函数f(x)＝x＋ex，g(x)＝x－－1，h(x)＝x＋ln x 的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是__x1<x3<x2__．

【解析】 由题意得x1<0，g(x)＝x－－1的零点x2∈(2，3)，h(x)＝x＋ln x的零点x3∈(0，1)，所以x1<x3<x2.

三、解答题(本大题共3个小题，共40分)

13．(12分)已知一元二次方程7x2－(k＋13)x－k＋2＝0的两根x1，x2满足0<x1<1，1<x2<2，求k的取值范围．

解：令f(x)＝7x2－(k＋13)x－k＋2，

由题意得，此抛物线与x轴有两个交点，分别为(x1，0)，(x2，0)，且0<x1<1，1<x2<2，并且开口向上，根据题意，画出其大致图象如图所示．

则即

解得－2<k<，即k的取值范围为.

14．(14分)已知函数f(x)＝logx＋－.

(1)用定义法证明：f(x)在(0，＋∞)上单调递减；

(2)求证：函数f(x)有零点；

(3)设函数f(x)的零点x0位于区间内，求正整数n的值．

解：(1)证明：显然，f(x)的定义域为(0，＋∞).

任取x1，x2∈(0，＋∞)，不妨设x1<x2，则x2－x1>0，x1x2>0，则－＝>0，logx1>logx2，即logx1－logx2>0，所以f(x1)－f(x2)＝(logx1－logx2)＋>0，所以f(x1)>f(x2)，故f(x)在定义域(0，＋∞)上单调递减．

(2)证明：因为f(1)＝0＋－＝－8<0，f＝4＋8－＝>0，所以f(1)·f<0，又因为f(x)的图象在区间上是连续的，所以f(x)有零点．

(3)f＝log＋－＝log211－3>log28－3＝0，

f＝log＋5－＝log210－＝log25－＝log2－log2<0，所以ff<0，

所以f(x)的零点x0落在区间内．故n＝10.

15．(14分)牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化，如果物体的初始温度是T0，则经过一定时间t后，温度T将满足T－Ta＝(T0－Ta)，其中Ta是环境温度，h称为半衰期．现有一杯用热水冲的195°F的速溶咖啡，放置在75°F的房间中，如果咖啡降温到105°F需要20分钟，问欲降到95°F大约需要多少时间？(°F为华氏温度单位，结果保留整数，参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)

解：由题意，温度T是时间t的指数型函数关系，即

T＝ (T0－Ta)＋Ta，将有关数据代入，得T＝75＋(195－75)×＝75＋120×．再将t＝20，T＝105代入得105＝75＋120×，解得h＝10.

∴T＝75＋120×，

将T＝95代入上式解得t≈26.

故欲降到95大约需26分钟．