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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用(二)导学案
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函数的零点与方程的解[课程目标] 1.了解函数的零点、方程的解、函数图象与x轴的公共点三者之间的关系;2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间,能借助函数的单调性及图象判断零点的个数. 知识点一 函数的零点函数y=f(x)的零点的定义:对于一般函数y=f(x),把使__f(x)=0__的实数x叫做函数y=f(x)的__零点__. 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).(1)函数的零点是一个点.( × )(2)函数y=x2-1有零点.( √ )(3)有些函数没有零点.( √ )(4)函数y=的零点是2或(2,0).( × )【解析】 (1)函数的零点是一个实数,不是一个点.(2)函数y=x2-1的零点是1和-1.(3)如函数y=x2+1没有零点.(4)函数y=的零点是2. 知识点二 函数的零点、方程的解、函数图象与x轴的公共点函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的__实数解__,也就是函数y=f(x)的图象与x轴的__公共点的横坐标__,即方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)__有零点__⇔函数y=f(x)的图象与__x轴有公共点__. 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).(1)方程ln x-1=0的解是x=e,则函数y=ln x-1的零点是e.( √ )(2)函数y=x2-x的图象与x轴有2个交点,所以函数y=x2-x有2个零点.( √ )(3)函数y=2x-1有1个零点.( √ )(4)函数y=2+lg x的图象与x轴有一个交点.( √ )【解析】 根据函数的零点、方程的解、函数图象与x轴的公共点之间的关系知,这四个结论都正确. 知识点三 函数零点存在的判定方法如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是__一条连续不断__的曲线,且有__f(a)f(b)<0__,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得__f(c)=0__,这个c也就是方程__f(x)=0__的解. 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).(1)若函数y=f(x)在(a,b)内有零点,则f(a)·f(b)<0.( × )(2)若f(a)f(b)>0,则函数y=f(x)在(a,b)内没有零点.( × )(3)若f(a)f(b)<0,则函数y=f(x)在(a,b)内一定有零点.( × )(4)函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的,且f(a)f(b)<0,则函数y=f(x)在(a,b)内有两个零点.( × )【解析】 (1)若函数y=f(x)在(a,b)内有零点,则f(a)f(b)<0不一定成立.如y=(x-1)2在(0,2)内有零点,但f(0)·f(2)>0.(2)若f(a)f(b)>0,则函数y=f(x)在(a,b)内零点的个数不能判定.如f(x)=x2满足f(-1)f(1)>0,但零点为0.(3)若f(a)f(b)<0,则函数y=f(x)在(a,b)内不一定有零点.如f(x)=满足f(-1)f(1)<0,但在(-1,1)内没有零点.(4)依据函数零点存在定理,只能判定函数在(a,b)内有零点,但不能判定有几个零点. 若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,则a=__5__,b=__-6__.【解析】 由于函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,所以2和3是方程x2-ax-b=0的两个根,所以2+3=-(-a),2×3=-b,所以a=5,b=-6. 活学活用已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为( D ) A.,0 B.-2,0C.D.0【解析】 当x≤1时,由f(x)=0,得2x-1=0,所以x=0;当x>1时,由f(x)=0,得1+log2x=0,所以x=,不成立,所以函数的零点为0,故选D.函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是( C )A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2)【解析】 因为函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线,又f(-2)=e-2-4<0,f(-1)=e-1-3<0,f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,所以f(0)f(1)<0.故函数f(x)的零点在(0,1)内. 活学活用若函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是( C )A.(1,3) B.(1,2)C.(0,3) D.(0,2)【解析】 易知函数f(x)=2x--a在区间(1,2)内单调递增,又函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,所以f(1)<0,且f(2)>0,即解得0<a<3.在区间(3,5)上一定有零点的函数是( A )A.f(x)=2x ln(x-2)-3B.f(x)=-x3-3x+5C.f(x)=2x-4D.f(x)=-+2【解析】 对于选项A,f(x)的图象在(3,5)上连续不断,且f(3)=-3<0,f(5)=10ln 3-3>10ln e-3=10-3>0,所以f(x)=2x ln(x-2)-3在区间(3,5)上有零点;而对于选项B,C,D,在(3,5)上都为单调函数,且都有f(3)f(5)>0,所以函数在区间(3,5)上没有零点. 活学活用二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的部分对应值如下表: x-3-2-101234f(x)6m-4-6-6-4n6不求a,b,c的值,判断方程ax2+bx+c=0的两根所在的区间是( A )A.(-3,-1),(2,4) B.(-3,-1),(-1,1) C.(-1,1),(1,2) D.(-∞,-3),(4,+∞)【解析】 因为f(-3)=6>0,f(-1)=-4<0,所以f(x)在区间(-3,-1)内必有实数根;又f(2)=-4<0,f(4)=6>0,所以f(x)在区间(2,4)内必有实数根.[规律方法]判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数值,进行符号判断即可得出结论(函数图象必须是一条连续不断的曲线).此类问题的难点往往是函数值符号的判断,对此可运用函数的有关性质进行判断.函数f(x)=x2+x-b2的零点的个数是__2__.【解析】 令x2+x-b2=0.因为Δ=1+4b2>0,所以方程有两个实数根,即函数f(x)有两个零点. 活学活用已知函数f(x)=若方程f(x)=2有两个解,则实数a的取值范围是__(-∞,5)__.【解析】 对于函数f(x)=当x≥1时,由方程f(x)=2,可得ln x+1=2,解得x=e,函数有一个零点;当x<1时,则函数f(x)=2只有一个零点,即x2-4x+a=2在x<1时只有一个解.因为y=x2-4x+a-2的图象开口向上,对称轴为x=2,函数在(-∞,1)上单调递减,所以f(1)<2,可得-3+a<2,解得a<5.故答案为(-∞,5).函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数是__2__.【解析】 求函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点,即求2x|log0.5x|-1=0的解,即|log0.5x|=的解.作出函数g(x)=|log0.5x|和函数h(x)=的图象,如图所示.由图知两函数的图象共有2个交点,故函数f(x)的零点个数是2. 活学活用函数f(x)=2x+lg(x+1)-2的零点个数是__1__.【解析】 方法一:因为函数f(x)的图象在(-1,+∞)上是连续不断的,且f(0)=1+0-2=-1<0,f(1)=2+lg 2-2=lg 2>0,所以f(x)在区间(0,1)上必定存在零点.又f(x)在(0,+∞)上单调递增,故f(x)有且只有1个零点.方法二:在同一平面直角坐标系中作出h(x)=2-2x和g(x)=lg(x+1)的图象如图所示.由图象知这两个函数的图象有且只有1个交点,即f(x)有且只有1个零点.[规律方法]确定函数零点个数的方法:(1)分解因式法:可转化为一元n次方程根的个数问题,一般采用分解因式法来解决.(2)判别式法:可转化为一元二次方程根的问题,通常用判别式法来判断根的个数.(3)能够将函数的零点问题转化为两个函数图象的交点问题,可用图象法解决.(4)单调性法:如果能够确定函数在所给区间上有零点,且是单调函数,则零点只有1个.【迁移探究】已知关于x的二次方程ax2-2(a+1)x+a-1=0有两根,且一根大于2,另一根小于2,则实数a的取值范围是__(0,5)__.【解析】 令f(x)=ax2-2(a+1)x+a-1,依题意得,函数f(x)有两个零点,且一个零点大于2,另一个零点小于2.所以f(x)的图象大致如图所示.则a应满足或即或解得0<a<5,所以实数a的取值范围为(0,5).1.若函数y=x2-bx+1只有一个零点,则b的值为( C )A.2 B.-2 C.±2 D.3【解析】 因为函数只有一个零点,所以Δ=b2-4=0,所以b=±2.2.方程x3-x-1=0在[1,1.5]内的实数根( C )A.有3个 B.有2个C.至少有1个 D.有0个【解析】 令f(x)=x3-x-1,则f(1)=-1<0,f(1.5)=1.53-1.5-1=1.53-2.5>0.故选C.3.已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是( C )A.[-1,0) B.[0,+∞)C.[-1,+∞) D.[1,+∞)【解析】 函数g(x)=f(x)+x+a存在2个零点,即关于x的方程f(x)=-x-a有2个不同的实根,即函数f(x)的图象与直线y=-x-a有2个交点,作出直线y=-x-a与函数f(x)的图象,如图所示,由图可知,-a≤1,解得a≥-1,故选C.4.若函数f(x)=|x2-4x|-a的零点个数为3,则a=__4__.5.函数f(x)=ln x-x+2的零点个数是__2__.【解析】 作出函数g(x)=ln x和h(x)=x-2的图象如图所示.由图可知,两函数图象有2个交点,所以函数f(x)有2个零点.
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