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    新人教A版高中数学必修第一册第四章指数函数与对数函数5.1函数的零点与方程的解学案

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    高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用(二)导学案

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    这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用(二)导学案,共9页。
    函数的零点与方程的解[课程目标] 1.了解函数的零点、方程的解、函数图象与x轴的公共点三者之间的关系;2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间能借助函数的单调性及图象判断零点的个数.   知识点一  函数的零点函数y=f(x)的零点的定义:对于一般函数y=f(x)把使__f(x)=0__的实数x叫做函数y=f(x)的__零点__ 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).(1)函数的零点是一个点.( × )(2)函数y=x2-1有零点.(  )(3)有些函数没有零点.(  )(4)函数y=的零点是2或(20).( × )【解析】 (1)函数的零点是一个实数不是一个点.(2)函数y=x2-1的零点是1和-1.(3)如函数y=x2+1没有零点.(4)函数y=的零点是2. 知识点二 函数的零点、方程的解、函数图象与x轴的公共点函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的__实数解__也就是函数y=f(x)的图象与x轴的__公共点的横坐标__即方程f(x)=0有实数解函数y=f(x)__有零点__函数y=f(x)的图象与__x轴有公共点__. 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).(1)方程ln x-1=0的解是x=e则函数y=ln x-1的零点是e.(  )(2)函数y=x2-x的图象与x轴有2个交点所以函数y=x2-x有2个零点.(  )(3)函数y=2x-1有1个零点.( √ )(4)函数y=2+lg x的图象与x轴有一个交点.(  )【解析】 根据函数的零点、方程的解、函数图象与x轴的公共点之间的关系知这四个结论都正确. 知识点三 函数零点存在的判定方法如果函数y=f(x)在区间[ab]上的图象是__一条连续不断__的曲线且有__f(a)f(b)<0__那么函数y=f(x)在区间(ab)内至少有一个零点即存在c∈(ab)使得__f(c)=0__这个c也就是方程__f(x)=0__的解. 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).(1)若函数y=f(x)在(ab)内有零点则f(a)·f(b)<0.( × )(2)若f(a)f(b)>0则函数y=f(x)在(ab)内没有零点.( × )(3)若f(a)f(b)<0则函数y=f(x)在(ab)内一定有零点.( × )(4)函数y=f(x)在区间[ab]上的图象是连续不断的且f(a)f(b)<0则函数y=f(x)在(ab)内有两个零点.( × )【解析】 (1)若函数y=f(x)在(ab)内有零点则f(a)f(b)<0不一定成立.如y=(x-1)2在(02)内有零点但f(0)·f(2)>0.(2)若f(a)f(b)>0则函数y=f(x)在(ab)内零点的个数不能判定.如f(x)=x2满足f(-1)f(1)>0但零点为0.(3)若f(a)f(b)<0则函数y=f(x)在(ab)内不一定有零点.如f(x)=满足f(-1)f(1)<0但在(-11)内没有零点.(4)依据函数零点存在定理只能判定函数在(ab)内有零点但不能判定有几个零点.   若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3则a=__5__b=__-6__.【解析】 由于函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3所以2和3是方程x2-ax-b=0的两个根所以2+3=-(-a)2×3=-b所以a=5b=-6. 活学活用已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为( D )               A.0    B.-20C.D.0【解析】 当x≤1时由f(x)=0得2x-1=0x=0;当x>1时由f(x)=0得1+log2x=0所以x=不成立所以函数的零点为0故选D.函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是( C )A.(-2-1)   B.(-10) C.(01)    D.(12)【解析】 因为函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线f(-2)=e-2-4<0f(-1)=e-1-3<0f(0)=-1<0f(1)=e-1>0所以f(0)f(1)<0.故函数f(x)的零点在(01)内. 活学活用若函数f(x)=2x-a的一个零点在区间(12)内则实数a的取值范围是( C )A.(13)    B.(12)C(03)    D.(02)【解析】 易知函数f(x)=2x-a在区间(12)内单调递增又函数f(x)=2x-a的一个零点在区间(12)内所以f(1)<0f(2)>0解得0<a<3.在区间(35)上一定有零点的函数是( A )A.f(x)=2x ln(x-2)-3B.f(x)=-x3-3x+5C.f(x)=2x-4D.f(x)=+2【解析】 对于选项Af(x)的图象在(35)上连续不断且f(3)=-3<0f(5)=10ln 3-3>10ln e-3=10-3>0所以f(x)=2x ln(x-2)-3在区间(35)上有零点;而对于选项BCD在(35)上都为单调函数且都有f(3)f(5)>0所以函数在区间(35)上没有零点. 活学活用二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的部分对应值如下表: x-3-2-101234f(x)6m-4-6-6-4n6不求abc的值判断方程ax2+bx+c=0的两根所在的区间是( A )A.(-3-1)(24)       B.(-3-1)(-11)  C.(-11)(12)   D.(-∞-3)(4+∞)【解析】 因为f(-3)=6>0f(-1)=-4<0所以f(x)在区间(-3-1)内必有实数根;又f(2)=-4<0f(4)=6>0所以f(x)在区间(24)内必有实数根.[规律方法]判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数值进行符号判断即可得出结论(函数图象必须是一条连续不断的曲线).此类问题的难点往往是函数值符号的判断对此可运用函数的有关性质进行判断.函数f(x)=x2+x-b2的零点的个数是__2__【解析】 令x2+x-b2=0.因为Δ=1+4b2>0所以方程有两个实数根即函数f(x)有两个零点. 活学活用已知函数f(x)=若方程f(x)=2有两个解则实数a的取值范围是__(-∞5)__.【解析】 对于函数f(x)=当x≥1时由方程f(x)=2可得ln x+1=2解得x=e函数有一个零点;当x<1时则函数f(x)=2只有一个零点即x2-4x+a=2在x<1时只有一个解.因为y=x24x+a-2的图象开口向上对称轴为x=2函数在(-∞1)上单调递减所以f(1)<2可得-3+a<2解得a<5.故答案为(-∞5).函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数是__2__【解析】 求函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点即求2x|log0.5x|-1=0的解即|log0.5x|的解.作出函数g(x)=|log0.5x|和函数h(x)=的图象如图所示.由图知两函数的图象共有2个交点故函数f(x)的零点个数是2. 活学活用函数f(x)=2xlg(x+1)-2的零点个数是__1__.【解析】 方法一:因为函数f(x)的图象在(-1+∞)上是连续不断的f(0)=1+0-2=-1<0f(1)=2+lg 2-2=lg 2>0所以f(x)在区间(01)上必定存在零点.又f(x)在(0+∞)上单调递增故f(x)有且只有1个零点.方法二:在同一平面直角坐标系中作出h(x)=2-2x和g(x)=lg(x+1)的图象如图所示.由图象知这两个函数的图象有且只有1个交点即f(x)有且只有1个零点.[规律方法]确定函数零点个数的方法:(1)分解因式法:可转化为一元n次方程根的个数问题一般采用分解因式法来解决.(2)判别式法:可转化为一元二次方程根的问题通常用判别式法来判断根的个数.(3)能够将函数的零点问题转化为两个函数图象的交点问题可用图象法解决.(4)单调性法:如果能够确定函数在所给区间上有零点且是单调函数则零点只有1个.【迁移探究】已知关于x的二次方程ax2-2(a+1)x+a-1=0有两根且一根大于2另一根小于2则实数a的取值范围是__(05)__.【解析】 令f(x)=ax2-2(a+1)x+a-1依题意得函数f(x)有两个零点且一个零点大于2另一个零点小于2.所以f(x)的图象大致如图所示.则a应满足解得0<a<5所以实数a的取值范围为(05).1.若函数y=x2-bx+1只有一个零点则b的值为( C )A.2   B.-2   C.±2    D.3【解析】 因为函数只有一个零点所以Δ=b2-4=0所以b=±2.2.方程x3-x-1=0在[11.5]内的实数根( C )A.有3个    B.有2个C.至少1个    D.有0个【解析】 令f(x)=x3-x-1则f(1)=-1<0f(1.5)=1.53-1.5-1=1.53-2.5>0.故选C.3.已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点则a的取值范围是( C )A.[-10)    B.[0+∞)C.[-1+∞)    D.[1+∞)【解析】 函数g(x)=f(x)+x+a存在2个零点即关于x的方程f(x)=-x-a有2个不同的实根即函数f(x)的图象与直线y=-x-a有2个交点作出直线y=-x-a与函数f(x)的图象如图所示由图可知-a≤1解得a≥-1故选C.4.若函数f(x)=|x2-4x|-a的零点个数为3则a=__4__.5.函数f(x)=ln x-x+2的零点个数是__2__.【解析】 作出函数g(x)=ln xh(x)=x-2的图象如图所示.由图可知两函数图象有2个交点所以函数f(x)有2个零点.  

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