2021北京市海淀区北京大学附属中学八下期中数学试卷及答案

2020-2021学年北京大学附中八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1. 下列二次根式中，最简二次根式是（　　）

A.  B.  C.  D.

2. 菱形面积为12cm2，一条对角线是6cm，那么菱形的另一条对角线长为（　　）

A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm

3. 中，点分别是的边，的中点，连接，若，则（  ）

A.  B.  C.  D.

4. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　）

A.  B.  C.  D.

5. 如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOB=60°，BD=8，则AD的长为（    ）．

A. 4 B. 5 C. 3 D.

6. 如果，则a的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 在某时段由50辆车通过一个雷达测速点，工作人员将测得的车速绘制成如图所示的条形统计图，则这50辆车的车速的众数（单位：km/h）为（     ）

A. 60 B. 50 C. 40 D. 15

8. 将一张平行四边形纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积．则这样的折纸方法共有（　　）

A. 1种 B. 2种 C. 4种 D. 无数种

9. 如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图，则下列判断错误的是(   ).

A. 甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定

B. 乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好

C. 丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高

D. 就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳

10. 一只小猫在距墙面4米，距地面2米的架子上，紧紧盯住了斜靠墙的梯子中点处的一只老鼠，聪明的小猫准备在梯了下滑时，在与老鼠距离最小时捕食．如图所示，把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，猫所处位置为点D，梯子视为线段MN，老鼠抽象为点E，已知梯子长为4米，在梯子滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为（　　）

A.  B. ﹣2 C. 2 D. 4

二、填空题（每小题2分，共20分）

11. 若有意义，则x 的取值范围是__________．

12. 在实数范围内分解因式a2﹣6＝_____．

13. 命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是_____________________．

14. 如图，在中，，D是AB的中点，若，则的度数为________．

15. 当x＝___时，代数式+1取最小值为___．

16. 平行四边形的一个内角平分线将对边分成3cm和5cm两个部分，则该平行四边形的周长是__cm.

17. 如果四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的大小之比是2：3：2：3，那么四边形ABCD是平行四边形，判定的依据是____．

18. 北大附中实验学校科技节作品得分包括三部分，专家评委给出的专业得分，宣传展示得分以及通过同学们投票得到的支持得分．已知某个作品各项得分如表所示（各项得分均按百分制计）：按专业得分占50%、展示得分占40%、支持得分占10%，计算该作品的综合成绩（百分制），则该作品的最后得分是______．

19. 如图所示，菱形ABCD，在边AB上有一动点E，过菱形对角线交点O作射线EO与CD边交于点F，线段EF的垂直平分线分别交BC、AD边于点G、H，得到四边形EGFH，点E在运动过程中，有如下结论：

①可以得到无数个平行四边形EGFH；

②可以得到无数个矩形EGFH；

③可以得到无数个菱形EGFH；

④至少得到一个正方形EGFH．

所有正确结论的序号是__．

20. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，A、B、C、D均落在格点上．

（1）S△BDC：S△BAC＝_____；

（2）点P为BD的中点，过点P作直线l∥BC，过点B作BM⊥l于点M，过点C作CN⊥l于点N，则矩形BCNM的面积为_____．

三、解答题（第21-23题每题5分，第24、25题每题6分，第26题7分，第27、28题每题8分，共50分）

21. 计算：．

22. 已知x＝﹣1，求代数式x2+2x﹣6的值．

23. 下面是小东设计的“作矩形”的尺规作图过程，已知：

求作：矩形

作法：如图，

①作线段的垂直平分线角交于点；

②连接并延长，在延长线上截取

③连接

所以四边形即为所求作的矩形

根据小东设计的尺规作图过程

（1）使用直尺和圆规，补全图形：（保留作图痕迹）

（2）完成下边的证明：

证明：         ，，

四边形是平行四边形（                 ）（填推理依据）

四边形是矩形（               ）（填推理的依据）

24. 如图，在平行四边形ABCD中，DE，BF分别是∠ADC，∠ABC的角平分线．

求证：四边形DEBF是平行四边形．

25. 我校小李同学对北大附中初中三个年级的学生年龄构成很感兴趣，整理数据并绘制如图所示不完整的统计图．依据信息解答下列问题．

（1）求样本容量；

（2）直接写出样本数据的众数、中位数和平均数；

（3）已知北大附中实验学校一共有1920名学生，请估计全校年龄在14岁及以上的学生大约有多少人．

26. 如图，在中，于点E点，延长BC至F点使，连接AF，DE，DF.

（1）求证：四边形AEFD是矩形；

（2）若，，，求AE长.

27. 已知在菱形ABCD中，点P在CD上，连接AP．

（1）在BC上取点Q，使得∠PAQ＝∠B，

①如图1，当AP⊥CD于点P时，线段AP与AQ之间的数量关系是　     ．

②如图2，当AP与CD不垂直时，判断①中的结论是否仍然成立，若成立，请给出证明，若不成立，则需说明理由．

（2）在CD的延长线取点N，使得∠PAN＝∠B，

①根据描述在图3中补全图形．

②若AB＝4，∠B＝60°，∠ANC＝45°，求此时线段DN的长．

28. 对于平面内的图形G1和图形G2，A为图形G1上一点，B为图形G2上一点，如果线段AB的长度有最小值，称图形G1和图形G2存在“最短距离”，此时线段AB的长度记为m（G1，G2）；如果线段AB的长度有最大值，称图形G1和图形G2存在“最长距离”，此时线段AB的长度记为M（G1，G2）．

例如：线段EF两端点坐标为E（1，3），F（3，1），线段KH两端点坐标为K（3，3），H（3，5），根据“最短距离”和“最长距离”的公式可得m（G1，G2）＝，M（G1，G2）＝4．

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（3，1），C（4，2），D（2，2）．

（1）线段AD和线段BC是否存在“最短距离”和“最长距离”？如果存在，请直接写出m（AD，BC）和M（AD，BC）；如果不存在，请说明理由．

（2）已知点P（0，t），若过点P且平行于AD的直线l与四边形ABCD没有公共点，且m（l，AD）、m（l，BC）、m（l，ABCD）三者中的最小值不超过最大值的，求t的取值范围．

（3）已知四边形QRST，其中Q（4，5），R（5，4），S（6，5），T（5，6）．现将四边形ABCD绕点O旋转，旋转后的图形记为A′B'C′D′，记m*表示m（A'B′C′D′，QRST）的最小值，M*表示M（A′B'C′D′，QRST）的最大值，直接写出M*+m*的值．

参考答案

1-5. ABBDD     6-10. BCDDB

11. x≥8      12. （a+）（a﹣）

13. 如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形

14. 52          15. ①. 2    ②. 1          16. 22或26

17. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形        18. 96.8分       19. ①③④

20. （1）由题意得：AC＝1，AD＝6，CD＝5，

∴S△ABD：S△BAC＝6：1，

∴S△BDC：S△BAC＝5：1；

（2）如图所示：

∵点P为BD的中点，直线l∥BC，

∴PE是△BCD的中位线，，

∵四边形BCNM是矩形，

∴∠BCN＝∠CNE＝90°，

∴∠ACB+∠ECN＝90°，

∵∠BAC＝90°，

∴∠ACB+∠ABC＝90°，BC＝，

∴∠ECN＝∠ABC，

∴△CNE∽△BAC，

∴，即，

解得：，

∴矩形BCNM的面积＝

21. 解：原式

22. 解：x2+2x﹣6＝（x+1）2﹣7，

当x＝﹣1时，

原式＝（﹣1+1）2-7，

＝5﹣7，

＝﹣2．

23. 解：（1）如图，矩形ABCD即为所求．

（2）∵OA=OC，OD=OB，

∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），

∵∠ABC=90°，四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）

24. ∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ADC＝∠ABC．

又∵DE，BF分别是∠ADC，∠ABC的平分线，

∴∠ABF＝∠CDE．

又∵∠CDE＝∠AED，

∴∠ABF＝∠AED，

∴DE∥BF，

∵DE∥BF，DF∥BE，

∴四边形DEBF是平行四边形.

25. 解：（1）根据条形统计图，15岁的人数是16，由扇形统计图知15岁占20%，

∴样本容量是：16÷20%＝80；

（2）14岁的人数有：80﹣4﹣35﹣16＝25（人），

∵13岁的有35人，人数最多，

∴众数是13岁；

把这些数从小大排列，中位数位于40，41两个位置上数据的平均数，

第40与41位置上的数据14岁，14岁，

则中位数是（岁），

平均数是：（岁）．

（3）样本中14岁以上的学生有：25+16=41人，占样本的百分比为，

∴北大附中实验学校1920名学生，在14岁及以上的学生大约有1920×＝984（人），

答：全校年龄在14岁及以上的学生大约有984人．

26. （1）证明：∵CF=BE，

∴CF+EC=BE+EC．

即 EF=BC．

∵在▱ABCD中，AD∥BC且AD=BC，

∴AD∥EF且AD=EF．

∴四边形AEFD是平行四边形．

∵AE⊥BC，

∴∠AEF=90°．

∴四边形AEFD是矩形；

（2）∵四边形AEFD是矩形，DE=8，

∴AF=DE=8．

∵AB=6，BF=10，

∴AB2+AF2=62+82=100=BF2．

∴∠BAF=90°．

∵AE⊥BF，

∴△ABF的面积=AB•AF=BF•AE．

∴AE=．

27. （1）①AP＝AQ．

∵四边形ABCD是菱形，

∴BC＝CD，AB∥CD，

∴∠B+∠QCD＝180°，

∵∠PAQ＝∠B，

∴∠PAQ+∠QCD＝180°，

∴∠APC+∠AQC＝180°，

∵AP⊥CD，

∴∠APC＝90°，

∴∠AQC＝90°，

∴AQ⊥BC，

∵S菱形ABCD＝BC•AQ＝CD•AP，

∴AP＝AQ；

故答案为：AP＝AQ；

②①中的结论仍然成立．

证明：如图2中，过点A作AM⊥BC于M，AN⊥CD于N．

∵四边形ABCD是菱形，AM⊥BC，AN⊥CD，

∴S菱形ABCD＝BC•AM＝CD•AN，

∵BC＝CD，

∴AM＝AN，∠AMQ＝∠ANP＝90°，AB∥CD，

∴∠B+∠C＝180°，

∵∠PAQ＝∠B，

∴∠PAQ+∠C＝180°，

∴∠AQC+∠APC＝180°，

∵∠AQM+∠AQC＝180°，

∴∠AQM＝∠APN，

在△AMQ和△ANP中，

∴△AMQ≌△ANP（AAS），

∴AP＝AQ．

（2）①，作∠PAN=∠B，角的另一边交CD延长于N，

补全图形如下：

②如图3，过点A作AH⊥CD于点H，

∵∠ANC＝45°，

∴∠NAH＝45°，

∴AH＝HN，

∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，

∴∠ADC＝60°，AB＝AD＝4，

∴∠DAH=90°-∠ADH=90°-60°=30°，

∴DH＝AD＝2，

∴AH＝=DH＝2，

∴HN＝2，

∴DN＝HN﹣DH＝2﹣2．

28. 解：（1）连结AB并延长AB到G，过D，C作DE⊥AG，CF⊥AG，分别交于E、F，

∵A（1，1），B（3，1），两点纵坐标相同，

∴AB∥x轴，

∵点A（1，1），B（3，1），C（4，2），D（2，2）．

∴E（2，1），F（4，1），

∴AE=2-1=1，DE=2-1=1，AE=DE，DE⊥AE，

∴△ADE为等腰直角三角形，

∴∠DAE=45°，

∵BF=4-3=1，CF=2-1=1，CF=BF，CF⊥BF，

∴△CBF为等腰直角三角形，

∴∠CBG=45°，

∴∠DAE=∠CBG=45°，

∴AD∥BC，

又∵EB=3-2=1=AE=DE，

∴AD2+BD2=，

∴BD⊥AD

∴AD、BC间最短距离为BD，即m（AD，BC）＝，

∴AD、BC间最长为AC，即M（AD，BC）＝；

（2）∵过P的直线l平行于AD，且与▱ABCD无交点，

∴l∥BC，

∴当l在AD左侧时：m（l，BC）＝m（l，AD）+m（AD，BC），

m（l，ABCD）＝m（l，AD），

由（1）知，m（AD，BC）＝，

若m（l，BC）＝2m（l，AD），

则m（l，AD）＝，

设AD解析式为

解得

AD解析式为

过P与AD平行的直线为+,

∵OA== m（l，AD），过A作PA⊥AD，交y轴于P，

∴△OAP为等腰直角三角形，

∴OP=t=，

∵直线l在O、P之间运动

∴0＜t≤2，

∴当0＜t≤2时，m（l，AD）、m（l，BC）、m（l，ABCD）三者中的最小值不超过最大值的，

当l在BC右侧时，

m（l，AD）＝m（l，BC）+m（AD，BC），

m（l，ABCD）＝m（l，BC），

由（1）知，m（AD，BC）＝，

若m（l，AD）＝2m（l，BC），

则m（l，BC）＝，

设BC的解析式为为

解得

BC解析式为

直线BC与y轴交点为K（0，-2），与x轴交点N（2，0）

∴OK=ON=2，

∴△OKN为等腰直角三角形

∴∠OKN=45°，

过K作KL⊥l于L，

则KL=，

∵∠PKL=180°-∠OKN-∠NKL=45°

∴△KLP为等腰直角三角形，

∴PL=KL=，

在Rt△KLP中PK=，

∴-2-t=2

∴t＝﹣4，

∵直线l在BC下方到t=-4之间运动，

∴﹣4≤t＜﹣2，

当﹣4≤t＜﹣2时，m（l，AD）、m（l，BC）、m（l，ABCD）三者中最小值不超过最大值的，

∴不超过最大值时：0＜t≤2或﹣4≤t＜﹣2；

（3）由题意知，

M（O，ABCD）＝|OC|＝，

M（O，QRST）=|OS|＝，

取QR的中点W（），

m（O，QRST）＝|OW|=，

∴M*＝+，m*＝﹣，

∴M*+m*＝+．