2022年湖南省株洲市醴陵市中考数学诊断试卷（含解析）

2022年湖南省株洲市醴陵市中考数学诊断试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 在实数，，，中，无理数是

A.  B.  C.  D.

2. 下列运算正确的是

A.  B.  C.  D.

3. 如图，将一块含有角的直角三角板放置在两条平行线上，若，则为

A.
B.
C.
D.

4. 如图是小明某一天测得的次体温情况的折线统计图，下列信息不正确的是

A. 测得的最高体温为 B. 这组数据的中位数是
C. 这组数据的众数是 D. 前次测得的体温在下降

5. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的面积分别是、、、，则最大正方形的面积是

A.
B.
C.
D.

6. 下列一元二次方程中，没有实数根的是

A.  B.
C.  D.

7. 从前，一位庄园主把一块边长为米的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加米，相邻的另一边减少米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会

A. 没有变化 B. 变大了 C. 变小了 D. 无法确定

8. 一次函数在平面直角坐标系中与轴交于点，与轴交于点，且的面积为，则的取值为

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在等边中，点是边的中点，点为 边上的一个动点，设，图中线段的长为，若表示与的函数关系的图象如图所示，则等边的周长为

A.  B.  C.  D.

10. 如图，若内一点满足，则点为的布洛卡点，三角形的布洛卡点是法国数学家和数学教育家克洛尔于年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名．
    问题：如图，在等腰中，，是的中线，若点为的布洛卡点，，，则

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共32分）

11. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
12. 年月日，我国自主研发的“祝融号”火星车成功到达火星表面．已知火星与地球的最近距离约为千米，数据用科学记数法表示为______．
13. 因式分解：______．
14. 如图，是的外接圆，连接并延长交于点，若，则的度数为______ ．
    
     

15. 如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转角得到，并使点落在边上，则点所经过的路径长为______ 结果保留
     

16. 如图，在中，，为的中点，平分交于点，则的值为______．
     

17. 如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕把纸片展平，再一次折叠纸片，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到折痕若矩形纸片的宽，则折痕的长为______．

18. 如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标，与轴的交点在，之间包含端点，则下列结论正确的有______填编号
    ；
    ；
    对于任意实数，恒成立；
    关于的方程有两个不相等的实数根．
    
     

三、计算题（本大题共1小题，共6分）

19. 计算：．

四、解答题（本大题共7小题，共72分）

20. 先化简，再求值：，其中．
21. 如图，在中，的角平分线交于点，，．
    试判断四边形的形状，并说明理由；
    若，且，求四边形的面积．

22. 风能作为一种清洁能源越来越受到世界各国的重视，我市结合自身地理优势架设风力发电机利用风能发电．王芳和李华假期去明月峰游玩，看见风电场的各个山头上布满了大大小小的风力发电机，好奇的想知道风力发电机塔架的高度．如图，王芳站在点测得点与塔底点的距离为，李华站在斜坡的坡顶处，已知斜坡的坡度：，坡面长，李华在坡顶处测得轮毂点的仰角，请根据测量结果帮他们计算：
    斜坡顶点到所在直线的距离；
    风力发电机塔架的高度．
    结果精确到，参考数据，，，，

23. 我区某中学举行了“垃圾分类，绿色环保”知识竞赛活动，根据学生的成绩划分为，，，四个等级，并绘制了不完整的两种统计图：
    
    根据图中提供的信息，回答下列问题：
    参加知识竞赛的学生共有______人，并把条形统计图补充完整；
    扇形统计图中，______，______，等级对应的圆心角为______度；
    小明是四名获等级的学生中的一位，学校将从获等级的学生中任选取人，参加区举办的知识竞赛，请用列表法或画树状图，求小明被选中参加区知识竞赛的概率．
24. 如图，平行于轴的直尺一部分与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点，，连接点，的刻度分别为，，直尺的宽度为，，设直线的解析式为．
    请结合图象直接写出不等式的解集；
    求直线的解析式；
    平行于轴的直线与交于点，与反比例函数图象交于点，当这条直线左右平移时，线段的长为，求的值．

25. 如图，在中，，以为直径作圆，分别交于点，交的延长线于点，过点作于点，连接交线段于点．
    求证：；
    求证：是圆的切线；
    若，求圆的半径．

26. 已知抛物线与轴有两个交点．
    求实数的取值范围；
    如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点点在原点的左边，点在原点的右边，与轴的负半轴交于点，连接、，且满足，求抛物线的解析式；
    如图，在的条件下，直线，直线交抛物线于、两点点在点的左边，直线交轴于点，直线交轴于点，设、的纵坐标分别为、，试问是否为定值？若是定值，求出其定值，若不是定值，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：选项A、：、是整数，、是有理数，选项A、不符合题意；
选项C：是分数，是有理数，选项C不符合题意；
选项D：是无限不循环的小数，是无理数，选项D符合题意．
故选：．
根据有理数包括整数和分数和无理数无限不循环的小数的定义判断即可．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
 

2.【答案】

【解析】解：，故本选项不合题意；
B.与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
C.，故本选项不合题意；
D.，故本选项符合题意；
故选：．
分别根据负整数指数幂的定义，合并同类项法则，同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则逐一判断即可．
本题考查了负整数指数幂，同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：过三角形的角的顶点作，
，
，
，
，
，
，
故选：．
过三角形的角的顶点作，先根据平行线的性质即推出，进而求出，再根据平行线的性质即可求出的度数．
本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线，并熟记两直线平行，内错角相等是解决问题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：由折线统计图可以看出这次的体温数据从第次到第次分别为、、、、、、．
A、测得的最高体温为，故A不符合题意；
B、这七个数据排序为，，，，，，中位数为故B符合题意．
C、出现了次，次数最高，故众数为，故C不符合题意；
D、观察可知，前次的体温在下降，故D不符合题意；
故选：．
根据统计图和中位数，众数的定义分别进行解答，即可求出答案．
本题考查了折线统计图，主要利用了众数的定义，中位数的定义，根据折线统计图准确获取信息是解题关键．
 

5.【答案】

【解析】解：设中间两个正方形的边长分别为、，最大正方形的边长为，则由勾股定理得：
，，；
即最大正方形的面积为：．
故选：．
分别设中间两个正方形和最大正方形的边长为，，，由勾股定理得出，，，即最大正方形的面积为．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：方程，即中，方程有两个不相等的实数根；
B.方程，即中，方程有两个相等实数根；
C.方程，即中，方程有两个不相等实数根；
D.方程中，方程没有实数根；
故选：．
将各方程转化为一般式，再计算出各方程判别式的值，从而得出答案．
本题主要考查根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：
当时，方程有两个不相等的两个实数根；
当时，方程有两个相等的两个实数根；
当时，方程无实数根．
 

7.【答案】

【解析】解：矩形的面积为，
矩形的面积比正方形的面积小了平方米，
故选：．
矩形的长为米，矩形的宽为米，矩形的面积为，根据平方差公式即可得出答案．
本题考查了平方差公式的几何背景，列出矩形的面积的代数式，根据平方差公式计算是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：一次函数与轴交于点，
．
当时，，
解得：，
点的坐标为．
的面积为，
，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
故选：．
利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，结合的面积为，即可得出关于的方程，解之经检验即可得出值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征及的面积为，找出关于的方程是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：由图可得，
为等边三角形，分析图可知，当点运动到时，长为最小值，
此时，
，
，
解得，
为的中点，
，
为等边三角形，
等边的周长为．
故选：．
从图的函数图象为抛物线得知，与满足二次函数关系，同时的最小值为，结合等边三角形的图形可知，当点运动到位置时，长为最小值，利用等边三角形的特殊角可求出边长，从而得出等边三角形的周长．
本题主要考查了动点问题的函数图象，正确理解点运动到何处时长最小是关键，同时也考察了学生对函数图象的观察能力．
 

10.【答案】

【解析】解：，是的中线，
，，，
，
设，则，


点为的布洛卡点，
，且，
，且，
∽

，

故选：．
由等腰三角形的性质和勾股定理可求的长，通过证明∽，可得，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，证明∽是本题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：根据分式有意义的条件得：，
，
故答案为：．
分式有意义的条件为：分母，列出不等式计算即可．
本题主要考查了分式有意义的条件．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
 

12.【答案】

【解析】解：．
故答案为：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：

，
故答案为：．
先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
 

14.【答案】

【解析】解：连接，如图．
为直径，
，
与所对的弧为，
．
．
故答案为：．
连接，由圆周角定理的推论可知，因为与所对的弧为，所以所以．
本题主要考查了圆周角定理的推论，直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等．掌握这些性质是及作出合适的辅助线是解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：在中，，，，
，，
，
将绕点逆时针旋转角得到，
，
点所经过的路径长，
故答案为：
由直角三角形的性质可求，，由旋转的性质可求，由弧长公式可求解．
本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，轨迹，弧长公式等知识，求出和是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：，为的中点，
，
，
平分，
三线合一，
，
，
，
故答案为：．
先根据直角三角形的性质得出，再根据等腰三角形的性质得出，最后利用平行线分线段定理得出结论．
本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质及平行线的性质，解题的关键是灵活运用性质解决问题．
 

17.【答案】

【解析】解：四边形为矩形，，
，
由折叠性质可得：
，，，，
在中，，
，
，
，
，
故答案为：．
由矩形性质和折叠性质可得，，，，可得，从而可得，可得，从而可得，即可求解．
本题考查折叠性质，正方形的性质，角的直角三角形等知识点，解题的关键是利用边之间的关系推出．
 

18.【答案】

【解析】解：抛物线对称轴为直线，
，
抛物线开口向下，
，，
，正确．
抛物线经过，
，
，
抛物线与轴的交点在，之间，
，即，
解得，正确．
时，为最大值，
对任意实数，时，对应的函数值不大于．
．
．
错误．
直线在抛物线顶点上方，抛物线开口向下，
抛物线与直线没有交点．
关于的方程没有实数解．
错误．
故答案为：．
根据二次函数的图象和性质依次判断即可．
本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．
 

19.【答案】解：原式
．

【解析】根据负整数指数幂的法则，绝对值的性质，特殊角的三角函数值，指数幂的法则进行计算便可．
本题主要考查了实数的运算，关键是熟记负整数指数幂的法则，绝对值的性质，特殊角的三角函数值，指数幂的法则．
 

20.【答案】解：原式

，
当时，
原式．

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

21.【答案】解：四边形是菱形，理由是：
，，
四边形是平行四边形，
平分，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形；
，
四边形是正方形，
，
，
四边形的面积为．

【解析】根据，判定四边形是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到，可得，即可证明；
根据得到菱形是正方形，根据对角线求出边长，再根据面积公式计算即可．
本题考查了菱形的判定，正方形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法．
 

22.【答案】解：如图，过点作于点，

则为坡顶到所在直线的距离，
，．
在中，：，
设 ，则 ，
，，
，
解得，

即斜坡顶点到所在直线的距离为
过点作于点，
则四边形是矩形，
由知，，
，
，
在中，，
，
解得，
．
答：塔架高度约为．

【解析】过点作于点，则为坡顶到所在直线的距离，，在中，：，设，则，由勾股定理，可求出的值，即可得出答案．
过点作于点，则四边形是矩形，，在中，，即可求出，结合，即可得出答案．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题及坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
 

23.【答案】     

【解析】解：人，人，
故答案为：，补全条形统计图如图所示：
，，
．
故答案为：，，；
设除小明以外的三个人记作、、，从中任意选取人，所有可能出现的情况如下：

共有中可能出现的情况，其中小明被选中的有种，
所以小明被选中参加区知识竞赛的概率为．
从两个统计图可得，“级”的有人，占调查人数的，可求出调查人数；进而求出“级”的人数，即可补全条形统计图；
计算出“级”所占的百分比，“级”所占的百分比，进而求出“级”所对应的圆心角的度数；
用列表法列举出所有等可能出现的情况，从中找出符合条件的情况数，进而求出概率．
考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从统计图中获取数量及数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法．
 

24.【答案】解：根据图象可知：
不等式的解集为：；
将点坐标代入，
得：，
；
又，
，
将和分别代入，
得，
解得，
直线的解析式为；
当时，点的纵坐标为，
点的坐标为，依题意，
得：，
解得或．

【解析】结合图象即可写出不等式的解集；
由与的长，及位于第一象限，确定出的坐标，将坐标代入反比例解析式中求出的值，确定出反比例解析式，由求出的长，即为的横坐标，代入反比例解析式中求出的长，确定出坐标，设直线解析式为，将与坐标代入求出与的值，即可确定出直线的解析式；
根据题意画出线段，根据线段的长为，即可求的值．
此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，以及梯形的面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
 

25.【答案】证明：，
，
，
，
是等腰三角形，
，
；

证明：连接，如图，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
，
，
，
为的半径，
是圆的切线；

解：设的半径为，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，舍，
即的半径为．

【解析】先判断出是等腰三角形，即可得出结论；
连接，先判断出是等腰三角形，进而得出，进而判断出，即可得出结论
设的半径为，即，先判断出，进而得出，得出，，进而得出，再判断出∽，得出比例式建立方程求解，即可求出答案．
此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，用方程的思想解决问题是解的关键．
 

26.【答案】解：抛物线与轴有两个交点，
，解得．
实数的取值范围为．
如图，，
．
，
，
则，即．
，，
，
解得，．
，
，
抛物线的解析式为．
是定值，理由如下：
当时，有，
解得，，
，．
由知：，
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的解析式为，
，
设直线的解析式，，
联立，
得：，
，．
如图，过点作轴于点，过点作轴于点．
，
∽，
．
，
解得：．
同理可得：，
．
，为定值．

【解析】运用一元二次方程根的判别式即可求得答案；
利用三角函数可得由于，可得，即进而求得；
利用待定系数法可得直线的解析式为，再由，可设直线的解析式，，根据，可得：，如图，过点作轴于点，过点作轴于点由，可得∽，运用相似三角形性质可得出：同理可得：，进而得出：，为定值．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一元二次方程根的判别式及根与系数关系，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等，运用数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．