2022年广东省深圳市南山区中考数学三模试卷（含解析）

2022年广东省深圳市南山区中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 的绝对值是

A.  B.  C.  D.

2. 下列图形是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

3. 年月日，我国“天问一号”探测器在火星成功着陆．火星具有和地球相近的环境，与地球最近时候的距离约将数字用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

4. 新冠疫情防控形势下，学校要求学生每日测量体温．某同学连续一周的体温情况如表所示，则该同学这一周的体温数据的众数和中位数分别是

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和

5. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，连接，若，则的长是

A.
B.
C.
D.

6. 在中，用尺规在边上找一点，使的是

A.  B.
C.  D.

7. 下列命题是真命题的是

A. 正六边形的每一个内角为
B. 正六边形的外角和大于正五边形的外角和
C. 有一个角是的三角形是等边三角形
D. 对角线相等的四边形是矩形

8. 某班级开展活动共花费元，但有位同学因时间冲突缺席，若总费用由实际参加的同学平均分摊，则每人比原来多支付元，设原来有人参加活动，由题意可列方程

A.  B.
C.  D.

9. 如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点在直线：上．直线分别交轴，轴于点，将正方形沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为

A.
B.
C.
D.

10. 如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 因式分解：______．
12. 若是关于的方程的解，则的值为______．
13. 如图，直立于地面上的电线杆，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是、，测得米，米，，在处测得电线杆顶端的仰角为，则电线杆的高度约为______米．
    参考数据：，，结果按四舍五入保留一位小数
14. 规定：若，，则例如，，则已知，，则的最小值是______．
15. 如图，平面直角坐标系中，在反比例函数的图象上取点，连接，与的图象交于点，过点作轴交函数的图象于点，过点作轴交函数的图象于点，连接，，，与交于点，则 ______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共55分）

16. 计算：．
17. 先化简，再求值：，从中选出合适的的整数值代入求值．
18. 某市某区在今年四月开始了第一剂新冠疫苗接种，为了解疫苗的安全、有效情况，从全区已接种市民中随机抽取部分市民进行调查．调查结果根据年龄岁分为四类：类：；类：；类：；类：现将调查结果绘制成如下不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
    
    抽取的类市民有______人，并补全条形统计图；
    若本次抽取人数占已接种市民人数的，估计该区已接种第一剂新冠疫苗的市民有多少人？
    区防疫站为了获取更详细的调查资料，从类市民中选出两男两女，现准备从这四人中随机抽取两人进行访谈，请用列表法或画树状图的方法求出抽取的两人恰好是一男一女的概率．
19. 如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边、分别相交于点、．
    求证：四边形是菱形．
    若，，求菱形的周长．

20. 为庆祝伟大的中国共产党成立周年，发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有道题，满分分，每一题答对得分，答错扣分，不答得分．
    若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为分，则该参赛同学一共答对了多少道题？
    若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？
21. 如图，抛物线的顶点为，且经过点以坐标原点为圆心的圆的半径，于点．
    求抛物线的函数解析式．
    求证：直线与相切．
    已知为抛物线上一动点，线段交于点当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求的长．

22. 爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”如图、图、图中，、是的中线，于点，像这样的三角形均为“中垂三角形”设，，．
    【特例探究】
    如图，当，时，______，______；
    如图，当，时，______，______；
    【归纳证明】
    请你观察中的计算结果，猜想、、三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图证明你的结论．
    【拓展证明】
    如图，▱中，、分别是、的三等分点，且，，连接、、，且于，与相交点，，，求的长．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：的绝对值为，
故选：．
根据绝对值的定义直接求得．
本题考查了绝对值的定义，掌握绝对值的定义及性质是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C.是中心对称图形，故本选项符合题意；
D.不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

3.【答案】

【解析】解：将用科学记数法表示为．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．据此解答即可．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】

【解析】解：把已知数据按照由小到大的顺序重新排序后为，，，，，，，
该名同学这一周体温出现次数最多的是，共出现次，因此众数是，
将这七天的体温从小到大排列处在中间位置的一个数是，因此中位数是，
故选：．
根据中位数、众数的意义求解即可．
本题考查中位数、众数，理解中位数、众数的意义是正确判断的前提．
 

5.【答案】

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，，
由勾股定理得：，
，，
点、分别是、的中点，
是的中位线，
，
故选：．
根据矩形性质得出，，，根据勾股定理求出，进而求出、，最后根据三角形中位线求出的长即可．
本题考查了勾股定理，矩形性质，三角形中位线的应用，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
 

6.【答案】

【解析】解：，
当时，，
点为的垂直平分线与的交点．
故选：．
由于，则点为的垂直平分线与的交点，然后根据基本作图对各选项进行判断．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了垂直平分线的性质．
 

7.【答案】

【解析】解：、正六边形的每一个内角为，是真命题；
B、正六边形的外角和等于正五边形的外角和，原命题是假命题；
C、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，原命题是假命题；
D、对角线相等且平分的四边形是矩形，原命题是假命题；
故选：．
对各个命题逐一判断后找到正确的即可确定真命题．
此题主要考查了命题与定理，熟练利用相关定理以及性质进而判定举出反例即可判定出命题正确性．
 

8.【答案】

【解析】解：设原来有人参加活动，则实际有人参加活动，
根据题意，得．
故选：．
设原来有人参加活动，则实际有人参加活动，根据“总费用由实际参加的人平均分摊，则每人比原来多支付元”列出方程，此题得解．
本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：点在直线：上，
，
，
直线的解析式为，
过作于点，过作于点，如图所示：

则，，
，
在正方形中，，，
，
，
≌，
，，
，
，，
，
，
，
同理可证≌，
，，
，
，
正方形沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上，
设平移后点的坐标为，
，
解得，
故选：．
先待定系数法求出直线的解析式，过作于点，过作于点，易证≌，根据全等三角形的性质可得和的长，再证≌，易得点坐标，再根据平移可得平移后的点坐标，代入直线解析式即可求出的值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，平移的性质等，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：的面积为，则圆的半径为，则，
由正方形的性质，知点是点关于的对称点，
过点作，且使，
连接交于点，取，连接、，则点、为所求点，

理由：，且，则四边形为平行四边形，
则，
故的周长为最小，
则，
则的周长的最小值为，
故选：．
由正方形的性质，知点是点关于的对称点，过点作，且使，连接交于点，取，连接、，则点、为所求点，进而求解．
本题考查了圆的性质、点的对称性、平行四边形的性质等，确定点、的位置是本题解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：原式，
故答案为：．
首先提公因式，再利用平方差进行分解即可．
此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
 

12.【答案】

【解析】解：，
，
，
，
方程的解为，
，
．
故答案为：．
解方程可得，由题意可得，求出的值即可．
本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，注意方程增根的情况是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：延长交的延长线于，作于，

，
，又米，
米，米，
由题意得，
米，
米，
米，
故答案为：．
延长交的延长线于，作于，根据直角三角形的性质和勾股定理求出、的长，根据等腰三角形，得到的长，由得到结果．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：，，




，
当时，取得最小值为．
故答案为：．
由题意可得，则当时，取得最小值为，即可得出答案．
本题考查平面向量、二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：如图，过点作轴于，过点作轴于．

，
∽，
，，
，
，
设，则，
轴，轴，
，，
直线的解析式为，直线的解析式为，
由，解得，
，
，
故答案为：．
如图，过点作轴于，过点作轴于利用相似三角形的性质证明，设，则，由轴，轴，推出，，求出直线，的解析式，构建方程组确定点的坐标，即可解决问题．
本题考查反比例函数与一次函数的交点，相似三角形的判定和性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会构建一次函数确定交点坐标，属于中考填空题中的压轴题．
 

16.【答案】解：


．

【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
 

17.【答案】解：



，
且，，
的整数值为，，，且，，
，
当时，原式．

【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从中选出一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
 

18.【答案】

【解析】解：根据题意可得，其他三类的百分比为，
其他三类的人数和为人，
抽取的总数为人，
抽取的类市民有人，
补全条形统计图如下：

故答案为：；

人，
答：估计该区已接种第一剂新冠疫苗的市民有人；

画树状图得：

共有种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男生和一女生的有种结果，
抽取的两人恰好是一男生和一女生的概率为．
根据抽取的类的百分比求出其他三类的百分比，由其他三类的人数和除以其他三类的百分比可得抽取的总数，乘以抽取的类的百分比即可得抽取的类人数，从而补全条形统计图；
根据本次抽取人数占已接种市民人数的即可求解；
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到一男生和一女生的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了树状图法与列表法求概率以及条形统计图，扇形统计图．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

19.【答案】证明：，
，
是对角线的垂直平分线，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
解：由可知，，，四边形是菱形，
，
，
，
，
菱形的周长．

【解析】证≌，得出，再由，证出四边形是平行四边形，进而得出结论；
由菱形的性质得，再由勾股定理求出，即可得出答案．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

20.【答案】解：设该参赛同学一共答对了道题，则答错了道题，
依题意得：，
解得：．
答：该参赛同学一共答对了道题．
设参赛者需答对道题才能被评为“学党史小达人”，则答错了道题，
依题意得：，
解得：．
答：参赛者至少需答对道题才能被评为“学党史小达人”．

【解析】设该参赛同学一共答对了道题，则答错了道题，根据总得分答对题目数答错题目数，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
设参赛者需答对道题才能被评为“学党史小达人”，则答错了道题，根据总得分答对题目数答错题目数，结合总得分大于或等于分，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

21.【答案】解：抛物线的顶点为，
可设抛物线的解析式为：，
抛物线经过点，
，
解得：，
抛物线的解析式为：；
证明：，，
，
，
，
，
，
解得：，
的半径，
是的半径，
直线与相切；
点在抛物线上，
可设，
以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，
可得：，，
点是的中点，
，，
设直线的解析式为，将点代入，
得：，
直线的解析式为，
点在上，
，
解得：，，
，，
，，
如图，当点位于位置时，
，
，
当点位于位置时，同理可得：，
；
综上所述，的长是或．

【解析】根据题意，可设抛物线的解析式为：，把点的坐标代入即可求出的值，即可得出抛物线解析式；
根据切线的判定，证明是的半径即可；
由题意知，是以，，，为顶点的平行四边形的边，利用平行四边形对边平行的性质，可得出直线的解析式，直线与抛物线的交点为，即可求出的长．
本题考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行四边形性质，圆的切线的判定，二次函数与几何图形的综合运用等知识，熟练掌握待定系数法，二次函数图象和性质等相关知识，灵活运用数形结合思想和方程思想是解题关键．
 

22.【答案】；；；；
结论．
证明：如图中，连接．
、是中线，
，，
∽，
，
设，，则，，
，
，
，
．

解：如图中，在和中，
，
≌，
，取中点，连接并且延长交的延长线于点，
同理可证≌，
，，
即，，
四边形是平行四边形，
，
，
，即，
是中垂三角形，
由可知，
，，
，
．

【解析】解：如图中，，，
，，
，
，
，，
．
，．
故答案为，，
如图中，连接，
，，
，，
，
，，
在中，，
，，
，，
，，
故答案分别为，．
见答案
见答案
首先证明，都是等腰直角三角形，求出、、、，再利用勾股定理即可解决问题．
连接，在，中，利用性质求出、、、，再利用勾股定理即可解决问题．
结论设，，则，，利用勾股定理分别求出、、即可解决问题．
取中点，连接并且延长交的延长线于点，首先证明是中垂三角形，利用中结论列出方程即可解决问题．
本题考查四边形综合题、三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线构造全等三角形，学会利用新的结论解决问题，属于中考压轴题．