2022年广东省东莞市粤华中学中考数学一模试卷（含解析）

2022年广东省东莞市粤华中学中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 的相反数是

A.  B.  C.  D.

2. 长津湖之水门桥以亿元的票房创造中国电影票房的新高，将亿用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 下列计算正确的是

A.  B.  C.  D.

4. 如图所示正三棱柱的主视图是

A.
B.
C.
D.

5. 为落实“双减”政策，学校随机调查了部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如表，则这些被调查学生睡眠时间的众数和中位数分别是

A. ， B. ， C. ， D. ，

6. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是

A.  B.
C.  D.

7. 关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是

A.  B. 且 C.  D. 且

8. 如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，恰好经过点则阴影部分的面积为

A.
B.
C.
D.

9. 如图，直线分别与轴、轴交于点和点，点，分别为线段，的中点，点为上一动点，当值最小时，点的坐标为

A.  B.  C.  D.

10. 如图，正方形中，点是边上的动点不与点、重合，以为边向右作正方形，连接，点是的中点，连接、下列结论：
    ≌；
    平分；
    若，，则；
    若，则．
    其中正确的有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共7小题，共28分）

11. 要使有意义，则的取值范围是______。
12. 若，则的值等于______．
13. 某人沿着坡度：的山坡起点向上走了米，则他离地面______米高．坡度：坡面铅直高度与水平宽度的比
14. 如图，在中，于点，与相交于点，且，若，则的度数为______．
     

15. 如图，在中，是中线，于，于，若，，则的值为______．

16. 已知为实数，规定运算：，，，，按以上算法计算：当时，的值等于______．
17. 如图，矩形的面积为，它的对角线与双曲线相交于点，且：：，则______．

三、解答题（本大题共8小题，共62分）

18. 先化简，再求代数式的值，其中．
19. 如图，，求证：为中点．
    
     

20. 如图，四边形是平行四边形．
    作出的角平分线，交于点；不写作法，保留作图痕迹
    在所作图中，若，求的度数．

21. 某校为了解学生的运算能力，随机抽取八年级的部分学生就数学中的计算题做了测试．测试的结果分为四个等级：优秀、良好、合格、不合格；根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息解答以下问题：
    
    本次抽取了______位学生，补全上面的条形统计图；
    若该校八年级有名学生，估计该校八年级运算能力为“不合格”的学生约有多少人？
    请你结合数据评价该校八年级学生的运算水平．
22. 年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和雪容融在一开售时，就深受大家的喜欢．某供应商今年月购进一批冰墩墩和雪容融，已知一个冰墩墩的进价比一个雪容融的进价多元，并且购买个冰墩墩和个雪容融的价格相同．
    问每个冰墩墩和雪容融的进价分别是多少元？
    根据市场实际，供应商计划用元购进这两种吉祥物个，则他本次采购时最多可以购进多少个冰墩墩？
23. 已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于一、三象限内的、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为，．
    求该反比例函数和一次函数的解析式；
    根据图象直接写出当自变量取何值时，一次函数值大于反比例函数值；
    在轴上有一点，使得面积是面积的倍，求出点的坐标．

24. 如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过点，的分别交，于点，，连接．
    求证：是的切线；
    连接，求证：∽；
    若，，求的长．
     

25. 已知抛物线．
    求抛物线的对称轴；
    当抛物线与轴两交点的距离是时，求抛物线的顶点坐标；
    如果抛物线的图象与轴仅有一个公共点，过点作直线平行于轴，在对称轴右侧的抛物线上任取一点，过点向直线作垂线，垂足为点，若在抛物线的对称轴上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点的横坐标．
    答案和解析

1.【答案】

【解析】解：的相反数是，
故选：．
根据相反数的定义即可得出答案．
本题考查了相反数，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：亿．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：、与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、与不属于同类项，不能合并，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查积的乘方，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
 

4.【答案】

【解析】解：如图所示正三棱柱的主视图是平行排列的两个矩形，故选B．
找到从正面看所得到的图形即可．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．注意本题不要误选C．
 

5.【答案】

【解析】解：抽查学生的人数为：人，
这名学生的睡眠时间出现次数最多的是小时，共出现次，因此众数是小时，
将这名学生的睡眠时间从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是小时．
故选：．
根据中位数、众数的意义求解即可．
本题考查中位数、众数，理解中位数、众数的意义，掌握中位数、众数的计算方法是解决问题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：由直线可知，由抛物线开口向上，，不符合题意．
B.由抛物线开口向上，抛物线与轴交点在轴下方，在，不符合题意．
C.由直线可知，由抛物线开口向下，抛物线与轴交点在轴下方，，符合题意．
D.由直线可知，抛物线开口向下，不符合题意．
故选：．
根据各选项图象判断的取值范围求解．
本题考查二次函数与一次函数的性质，解题关键是掌握函数图象与系数的关系．
 

7.【答案】

【解析】解：根据题意得且，
解得且，
即实数的取值范围是且．
故选：．
利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

8.【答案】

【解析】解：绕点逆时针旋转得到，恰好经过点．
，的面积等于的面积，

故选：．
利用旋转的性质得到，的面积的面积，则阴影部分的面积等于扇形的面积，然后根据扇形的面积公式计算．
本题考查了扇形面积计算公式：设圆心角是，圆的半径为的扇形面积为，则或其中为扇形的弧长；求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
 

9.【答案】

【解析】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时值最小，最小值为，如图．

令中，则，
点的坐标为；
令中，则，解得：，
点的坐标为．
点、分别为线段、的中点，
点，点．
点和点关于轴对称，
点的坐标为．
设直线的解析式为，
直线过点，，
，解得：，
直线的解析式为．
令，则，解得：，
点的坐标为．
故选：．
根据一次函数解析式求出点、的坐标，再由中点坐标公式求出点、的坐标，根据对称的性质找出点的坐标，结合点、的坐标求出直线的解析式，令即可求出的值，从而得出点的坐标．
本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，解题的关键是求出直线的解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．
 

10.【答案】

【解析】解：连接，，如图，

四边形和四边形为正方形，
，．
．
是的中点，
．
在和中，
，
≌．
的结论正确；
，
，
若平分，则必须，即需要，
点是边上的动点不与点、重合，
与不一定相等，
不一定成立，
平分不一定成立，
的结论不正确；
延长交于点，如图，

则，，，，
，，
．
的结论正确；
，
∽．

，
．
．
的结论正确．
综上所述，的结论正确，
故选：．
连接，，利用已知条件可以判定为直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，利用边边边公理即可判定≌，说明的结论正确；假定成立，则必须，利用点是边上的动点不与点、重合，可知不一定成立；延长交于点，利用勾股定理求出的长度即可判定正确；利用同高的三角形的面积比等于它们底的比，计算出，从而判定的结论正确．
本题主要考查了正方形的性质，相似三角形是判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线长性质，勾股定理，同高三角形的面积比等于底的比，角平分线的定义，利用已知条件及相关的定理与性质对每个选项进行判断是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：。
根据二次根式有意义的条件可得，再解即可。
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数。
 

12.【答案】

【解析】解：，，
，，
，，
原式

．
故答案为：．
根据非负数的性质求出，的值，代入代数式求值即可．
本题考查了非负数的性质，掌握两个非负数的和为，则这两个非负数分别等于是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：设斜坡的坡角为，
斜坡的坡度为：，
，
，
他离地面的高度为：米，
故答案为：．
根据斜坡的坡度求出坡角，根据直角三角形的性质解答即可．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
．
故答案为：．
首先根据“”证明≌，再利用全等三角形的性质即可解决问题．
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

15.【答案】

【解析】解：中，为中线，
．
．
于，于，，．
，
，
．
故答案为：．
由题意，中，为中线，可知和的面积相等；利用面积相等，问题可求．
本题考查了三角形的中线性质，关键在于利用中线把三角形的面积分成相等的两部分进行知识解答．属于基础题．
 

16.【答案】

【解析】解：，
，
，
，
每个数据一循环，
，
．
故答案为：．
直接利用已知分别代入进而求出，，，进而得出变化规律，即可得出答案．
此题主要考查了实数运算以及数字变化规律，正确得出变化规律是解题关键．
 

17.【答案】

【解析】解：如图，过作，，则矩形与矩形相似，

：：，
：：，
：：：：，
矩形的面积为，
，
双曲线在第一象限，
，
双曲线的解析式为，
矩形与矩形相似，：：，
：：：，
即，
设则，，
，，
：，
矩形的面积为，，
，
，
．
故答案为：．
过作，，则矩形与矩形相似，然后根据相似图形的面积比等于相似比的平方，和反比例函数系数的几何意义确定出的值，设出则，，然后根据相似比得出结论．
本题考查相似图形的判定与性质，矩形的性质以及反比例函数系数的几何意义，关键是证明矩形与矩形相似．
 

18.【答案】解：


，
当时，原式

．

【解析】先算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
 

19.【答案】证明：，
，，
在和中，
，
≌，
，
为中点．

【解析】利用“”证明≌，得出，即可证明为中点．
本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
 

20.【答案】解：如图，射线即为所求；

四边形是平行四边形，
，
，
，
，
平分，
，
，
．

【解析】根据要求作出图形即可；
求出，再利用邻补角的性质，可得结论．
本题考查作图基本作图，平行四边形的性质等知识，解题的关键是掌握平行四边形的性质，属于中考常考题型．
 

21.【答案】

【解析】解：合格占．
总人数，不合格的人数人，
故答案为：；
条形统计图如图所示：

人，
答：估计该校八年级体质为“不合格”的学生约有人；
该校八年级学生运算水平“不合格”的相对较多，要加强运算能力．
利用百分比的和为，求出合格人数的百分比，再求出总人数求出不合格的人数即可解决问题；
利用样本估计整体，用乘以样本中不合格等级学生的百分比即可；
根据统计数据分析可得结论．
本题考查统计统计图，样本估计总体，扇形统计图，中位数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：设每个雪容融的进价是元，则每个冰墩墩的进价是元，
依题意得：，
解得：，
．
答：每个冰墩墩的进价是元，每个雪容融的进价是元．
设购进个冰墩墩，则购进个雪容融，
依题意得：，
解得：．
答：他本次采购时最多可以购进个冰墩墩．

【解析】设每个雪容融的进价是元，则每个冰墩墩的进价是元，利用总价单价数量，结合购买个冰墩墩和个雪容融的价格相同，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出每个雪容融的进价，再将其代入中即可求出每个冰墩墩的进价；
设购进个冰墩墩，则购进个雪容融，利用总价单价数量，结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

23.【答案】解：作轴于，
点的坐标为，．
，
，

将代入反比例函数得，，
反比例函数的解析式为，
将代入反比例函数的解析式得，，
，
将点，代入一次函数得，
，
解得，
一次函数解析式为；
当或时，一次函数值大于反比例函数值；
将代入得，，
，
，
设点的坐标为，
面积是面积的倍，
，
解得或，
或．

【解析】作轴于，根据得，可得，从而得出和的值，再将点和的坐标代入一次函数，解方程即可；
直接根据图象可得答案；
根据点的坐标，首先求出，设点的坐标为，再表示出面积，列方程即可．
本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，函数与不等式的关系，三角形的面积等知识，运用绝对值思想表述出面积是解题的关键．
 

24.【答案】证明：连接，如图所示：

平分，
，
，
，
，
，
，
，
又是圆的半径，
是圆的切线；
证明：连接，如图所示：

是的切线，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
∽；
解：在中，，
设圆的半径为，则，
解得：，
，，
在中，，，
，
，，
∽，
，
，
．

【解析】连接，证，则，得，即可解决问题；
连接，先证，得，再由圆周角定理得，则，然后证∽，得：：，即可得出结论；
先由锐角三角函数定义得，设圆的半径为，则，根据相似三角形的性质即可解决问题．
本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、圆周角定理、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数定义等知识；本题综合性强，熟练掌握圆周角定理、切线的判定以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：，
抛物线的对称轴是；
对称轴为，抛物线与轴两交点的距离是，
对称轴右边的与轴的交点坐标为：，
，
，
，
抛物线的顶点坐标为；
令，，
由题意得，，
，
，舍去，
抛物线的解析式为，
如图，

当点在的下方时，作于，
当时，是等腰直角三角形，
设，
，
点的纵坐标为，
，
，舍去，
如图，

当点在上方时，
此时的纵坐标为：，
，
，舍去，
综上所述：点横坐标为：或．

【解析】根据公式法或配方法求得结果；
可推出抛物线与轴两个交点坐标，将其中之一代入抛物线解析式，进而求得结果；
分为点在直线的下方和上方，设出点的横坐标，用两种方式表示出点纵坐标，从而得出方程，进一步求得结果．
本题考查了二次函数及其图象性质，二次函数与一元二次方程之间关系，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是正确分类．