2022年黑龙江省哈尔滨市道外区中考数学二模试卷（含解析）

2022年黑龙江省哈尔滨市道外区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 的倒数是

A.  B.  C.  D.

2. 下列运算一定正确的是

A.  B.
C.  D.

3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

4. 七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是

A.
B.
C.
D.

5. 反比例函数的图象经过点，的值是

A.  B.  C.  D.

6. 方程的解为

A.  B.  C.  D.

7. 如图，一把梯子长米，靠在垂直水平地面的墙上，若梯子与地面的夹角为，则梯子底端到墙面的距离为

A.
B.
C.
D.

8. 如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，设交于点，连接，若，则旋转角的度数为

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在中，，，，，则

A.
B.
C.
D.

10. 抛物线交轴于点、左右，交轴于点，，，则下列结论：点的坐标为；；点坐标为；抛物线对称轴是直线其中正确的有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共10小题，共30分）

11. 根据国家统计局数据显示，我国冰雪运动参加人数达到人．数据用科学记数法表示为______．
12. 函数的自变量的取值范围是______．
13. 计算的结果是______．
14. 分解因式：______．
15. 不等式组的解集是______．
16. 如图，在中，为直径，弦于点，若，则的半径长为______．
    
    
     

17. 一个扇形的圆心角为，扇形的面积为，则扇形半径是______．
18. 一个不透明口袋里装有个小球，其中黑球个、白球个，除颜色外均相同，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是黑球的概率是______．
19. 在中，，，，是中点，点在射线上，连接，将沿翻折，点对应点为点，当时，线段的长为______．
20. 在中，，点在上，连接，延长至点，连接，点在线段上，连接交于点，交于点，若，，，则______．

三、解答题（本大题共7小题，共60分）

21. 先化简，再求代数式的值，其中．
22. 如图，网格中的每个小正方形的边长均为，线段的端点均在小正方形的顶点上．
    在图中画出以为一边的菱形，点和点在小正方形顶点上；
    在图中画出以为斜边的直角三角形，点在小正方形顶点上，且，连接，请直接写出线段的长．

23. 疫情期间，为了增强学生的自我保护意识，某校组织了一次全校名学生参加的“新冠疫情知多少”的考试，并随机抽查了部分参赛学生的成绩，根据成绩分成如下四个组：：，：，：，：，绘制成了两幅不完整的统计图，请你根据统计图上提供的信息回答下列问题：
    这次被调查的学生共有多少人，并将条形统计图补充完整；
    在扇形统计图中，求出值；
    请你估计该校学生得分分及以上的学生人数．

24. 如图，，，是中点．
    求证：；
    连接、，在不添加辅助线的情况下，请直接写出与面积相等的所有三角形．

25. 兴发服装店老板用元购进一批某款恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完，老板又用元购进第二批该款式恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一批多了元．
    第一批该款式恤衫每件进价是多少元？
    老板以每件元的价格销售该款式恤衫，当第二批恤衫售出时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使第二批的销售利润不低于元，剩余的恤衫每件售价至少要多少元？利润售价进价
26. 已知：内接于，弦平分，连接交于．
    如图，求证：；
    如图，过点作于点，延长线交于点，若，求证：为等边三角形；
    如图，在的条件下，在上再取、两点，连接、交于点，连接，若平分，，，求的半径．

27. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线分别交轴、轴于点、，过点的直线交轴正半轴于点．
    求点坐标；
    点为线段上一点不与点、重合，连接，过点作交于点，连接，设点横坐标为，的面积为，求与之间的函数解析式不要求写出自变量的取值范围；
    在的条件下，点为轴负半轴上一点，连接、、，若，，求直线的解析式．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，
的倒数是．
故选：．
根据倒数的定义进行解答即可．
本题考查的是倒数，熟知乘积是的两数互为倒数是解答此题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：、，原计算正确，故此选项符合题意；
B、，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：．
根据同底数幂的乘法的运算法则、幂的乘方的运算法则、完全平方公式、同底数幂的除法的运算法则即可求出答案．
本题考查了幂的乘方、完全平方公式、同底数幂的乘除法．解题的关键熟练运用幂的乘方的运算法则、完全平方公式、同底数幂的乘除法的运算法则．
 

3.【答案】

【解析】解：不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

4.【答案】

【解析】解：从左边看，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
 

5.【答案】

【解析】解：设反比例函数的解析式为．
函数图象经过点，
，
得．
故选：．
函数经过一定点，则将此点坐标代入函数解析式，即可求得的值．
熟练用待定系数法确定反比例函数的比例系数．
 

6.【答案】

【解析】解：，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根，
故选：．
按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
 

7.【答案】

【解析】解：由题意可得：，
则．
故选：．
直接利用锐角三角函数关系得出，即可得出答案．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握边角关系是解题关键．
 

8.【答案】

【解析】解：绕点按逆时针方向旋转角得到，
，，
，
，
，
，
，
解得；
故选：．
根据旋转的性质得，，则，利用三角形外角的性质得，，利用等腰三角形的性质得，即可得到的值．
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等．也考查了等腰三角形的性质．
 

9.【答案】

【解析】解：，，
四边形是平行四边形，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
故选：．
由已知条件得出四边形是平行四边形，得到，∽，根据相似三角形的性质求出即可求出．
本题考查了相似三角形的性质和判定、平行四边形的判定与性质；熟练掌握三角形的性质和判定是解决问题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：在中，当时，或，
，．
正确．
．
．
．
．
．
，．
正确．
，
代入得：，
．
正确．
由抛物线的对称性知点，关于抛物线对称轴对称．
抛物线的对称轴为直线；．
错误．
故选：．
根据二次函数的图象和性质依次判断即可．
本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

12.【答案】

【解析】解：根据题意得：，
，
故答案为：．
根据分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
本题考查了函数自变量的取值范围，掌握分式有意义的条件是分母不等于是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则得出答案．
此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
 

14.【答案】

【解析】解：

，
故答案为：．
先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
 

15.【答案】

【解析】解：，
由得，；
由得，．
故此不等式组的解集为：．
故答案为：．
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：连接，

为直径，弦于点，
，
，
，
设的半径长为，
，
，
在中，，
，
，
即的半径长为，
故答案为：．
连接，根据垂径定理即勾股定理求解即可．
此题考查了垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
 

17.【答案】

【解析】解：设这个扇形的半径是
根据扇形面积公式，得，
解得负值舍去．
所以扇形的半径是．
根据扇形的面积公式进行计算．
此题考查了扇形的面积公式，能够灵活运用扇形的面积公式是解题关键．
 

18.【答案】

【解析】解：根据题意可得：透明的袋子里装有将个球，其中个白色的，
任意摸出个，摸到白球的概率是．
故答案为：．
根据概率公式即可得出答案．
此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

19.【答案】

【解析】解：如图，设于点，

，
，，，
由勾股定理可得：
，
点为中点，
，
，
，
，
，
，
为的中位线，
，
由折叠性质可得：
，
，
由勾股定理可得：
，
故答案为：．
先利用推出为中位线，即可求出，，再利用勾股定理求出，由折叠性质可得，在中，利用勾股定理即可求解．
本题考查折叠性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握折叠性质，灵活运用勾股定理求解．
 

20.【答案】

【解析】解：过作交于点，过点作交于点，
在中，，，
，
，
，
为等腰三角形，
，
，，，
，
在中，，，
，
，，
∽，
，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
．
故答案为：．
过作交于点，过点作交于点，通过解直角三角形求出的长，再通过相似三角形和全等三角形的性质和判定解答即可．
本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，此题综合性较强，正确作出辅助线是解题的关键．
 

21.【答案】解：当时，

原式



 

【解析】根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
 

22.【答案】解：如图，菱形即为所求；
如图，即为所求，．
 

【解析】作一个边长为的菱形即可；
根据要求作出图形即可，利用勾股定理求出．
本题考查作图应用与设计作图，勾股定理，菱形的判定和性质等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

23.【答案】解：这次被调查的学生共有人，
组人数为；
如图，

，即；

人，
所以估计全校学生中得分分及以上的同学有人；

【解析】用组的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，总人数减去、、组人数求出组人数即可补全图形；
根据组人数所占的百分比得到的值；
用乘以、两组的频率和即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

24.【答案】解：是中点，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
；
，，
．

【解析】根据一组对边平行且相等推出四边形是平行四边形，从而推出；
根据两平行线之间距离处处相等，再根据等底或同底，推出面积相等的五个三角形．
本题主要考查了三角形的面积、平行线之间的距离，掌握三角形的面积、平行线之间的距离的综合应用，其中根据同底或等底等高或同高证明三角形面积相等是解题关键．
 

25.【答案】解：设第一批恤衫每件进价是元，由题意，得
，
解得，
经检验是分式方程的解，符合题意．
答：第一批恤衫每件的进价是元；

设剩余的恤衫每件售价元．
由知，第二批购进件．
由题意，得，
解得．
答：剩余的恤衫每件售价至少要元．

【解析】本题考查分式方程、一元一次不等式的应用，关键是根据数量作为等量关系列出方程，根据利润作为不等关系列出不等式求解．
设第一批恤衫每件进价是元，则第二批每件进价是元，再根据等量关系：第二批进的件数第一批进的件数可得方程；
设剩余的恤衫每件售价元，由利润售价进价，根据第二批的销售利润不低于元，可列不等式求解．
 

26.【答案】证明：弦平分，
，
．
是圆的半径，
；
证明：连接，，如图，

由知：，
．
，，
，
，
，
，
，
．
在和中，
，
≌．
，
为等边三角形；
解：过点作于点，于点，连接，如图，

平分，，，
，
在和中，
，
≌．
，
，，，四点共圆，
．
，，
∽，
，
设，则，
过点作于点，
，，
，，
，
，
．
作的直径，连接，则，
．
为直径，
，
，
，
，
的半径为．

【解析】利用垂径定理的推论证明即可；
连接，，利用直角三角形的边角关系和圆周角定理求得；通过证明≌，利用全等三角形的性质定理和等边三角形的定义即可得出结论；
过点作于点，于点，连接，通过证明∽，得到，设，则，
过点作于点，利用直角三角形的边角关系求得线段，，进而得出；作的直径，连接，利用圆周角定理和直角三角形的边角关系可求得直径，则结论可求．
本题主要考查了角平分线的定义，垂径定理，圆周角定理，等边三角形的点判定与性质，直角三角形的边角关系，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，本题是圆的综合题，综合性较强，恰当的构建辅助线是解题的关键．
 

27.【答案】解：在中，当时，，
．
当时，，
．
直线经过点，
，
，
在中，当时，，
点坐标为；

，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
设，
，
，
；

设，
，
，
，
，
，
，
，
；
延长至点，使，连接，

．
，，
，
，
，
中，，
，
，
设，则，．
，．
在中， ，
解得，
连接，设，，则，
，，，
，
过点作于点，交轴于点，
，
，，
，
设直线的解析式为，
把，代入得，
解得，，
直线的解析式为．

【解析】由直线先求出点，坐标，从而求出直线的解析式，即可求出点坐标；
根据证明≌，得，由得，根据可得结论；
延长至点，使，连接，证明，，设，则，在中由勾股定理得，连接，可证明，过点作于点，交轴于点，可得，，求出，运用待定系数法可求出的解析式．
本题是一次函数综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，勾股定理，运用待定系数法求一次函数解析式等知识，解题的关键是根据题目正确的作出辅助线．