2022年四川省遂宁市中考数学试卷（含解析）

2022年四川省遂宁市中考数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共40分）

1. 的倒数是

A.  B.  C.  D.

2. 下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是

A. 科克曲线 B. 笛卡尔心形线
C. 阿基米德螺旋线 D. 赵爽弦图

3. 年月日，神舟十三号飞船脱离天宫空间站后成功返回地面，总共飞行里程约公里．数据用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

4. 如图是正方体的一种展开图，那么在原正方体中与“我”字所在面相对的面上的汉字是

A. 大
B. 美
C. 遂
D. 宁

5. 下列计算中正确的是

A.  B.
C.  D.

6. 若关于的方程无解，则的值为

A.  B. 或 C.  D. 或

7. 如图，圆锥底面圆半径为，高为，则它侧面展开图的面积是

A.
B.
C.
D.
 

8. 如图，、、分别是三边上的点，其中，边上的高为，且，则面积的最大值为

A.
B.
C.
D.

9. 已知为方程的根，那么的值为

A.  B.  C.  D.

10. 如图，正方形与正方形有公共顶点，连接、，交于点，与交于点，连接、，则下列结论一定正确的是
    ；∽；平分；；

A.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共5小题，共20分）

11. 遂宁市某星期周一到周五的平均气温数值为：，，，，，这个数的中位数是______．
12. 实数、在数轴上的位置如图所示，化简______．

13. 如图，正六边形的顶点、分别在正方形的边、上．若正方形的边长为，则正六边形的边长为______．
    
    
     

14. “勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为______．

15. 抛物线为常数的部分图象如图所示，设，则的取值范围是______．

三．计算题（本题共1小题，共7分）

16. 计算：．

四．解答题（本题共9小题，共83分）

17. 先化简，再求值：，其中．
18. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，点是的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接．
    求证：≌；
    判定四边形的形状并说明理由．

19. 某中学为落实教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买个篮球和个足球共需费用元；购买个篮球和个足球共需费用元．
    求篮球和足球的单价分别是多少元；
    学校计划采购篮球、足球共个，并要求篮球不少于个，且总费用不超过元．那么有哪几种购买方案？
20. 北京冬奥会、冬残奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的跨越式发展，激发了青少年对冰雪项目的浓厚兴趣．某校通过抽样调查的方法，对四个项目最感兴趣的人数进行了统计，含花样滑冰、短道速滑、自由式滑雪、单板滑雪四项每人限选项，制作了如图统计图部分信息未给出．
    
    请你根据图中提供的信息解答下列问题：
    在这次调查中，一共调查了______名学生；若该校共有名学生，估计爱好花样滑冰运动的学生有______人；
    补全条形统计图；
    把短道速滑记为、花样滑冰记为、自由式滑雪记为、单板滑雪记为，学校将从这四个运动项目中抽出两项来做重点推介，请用画树状图或列表的方法求出抽到项目中恰有一项为自由式滑雪的概率．
21. 在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”例如，都是“黎点”．
    求双曲线上的“黎点”；
    若抛物线、为常数上有且只有一个“黎点”，当时，求的取值范围．
22. 数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点处测得塔楼顶端点的仰角，台阶长米，台阶坡面的坡度：，然后在点处测得塔楼顶端点的仰角，则塔顶到地面的高度约为多少米．
    参考数据：，，，
23. 已知一次函数为常数与轴交于点，与反比例函数交于、两点，点的横坐标为．
    求出一次函数的解析式并在图中画出它的图象；
    求出点的坐标，并根据图象写出当时对应自变量的取值范围；
    若点与点关于原点成中心对称，求出的面积．

24. 如图是的外接圆，点在上，的角平分线交于点，连接，，过点作的平行线与的延长线相交于点．
    求证：是的切线；
    求证：∽；
    若，，求点到的距离．

25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中点的坐标为，点的坐标为．
    求抛物线的解析式；
    如图，为边上的一动点，为边上的一动点，点坐标为，求周长的最小值；
    如图，为射线上的一点，是抛物线上的一点，、均在第一象限内，、位于直线的同侧，若到轴的距离为，面积为，当为等腰三角形时，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

【分析】
主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是 ，我们就称这两个数互为倒数，属于基础题．
根据倒数的定义，若两个数的乘积是 ，我们就称这两个数互为倒数．
【解答】
解： ，
的倒数是 ．
故选 D ．   

2.【答案】

【解析】解：科克曲线既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B.笛卡尔心形线是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.阿基米德螺旋线不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.赵爽弦图不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

3.【答案】

【解析】解：，
故选：．
把较大的数表示成科学记数法形式：，其中，为正整数即可得出答案．
本题考查了科学记数法表示较大的数，掌握的指数比原来的整数位数小是解题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：由图可知，
我和美相对，爱和宁相对，大和遂相对，
故选：．
根据图形，可以写出相对的字，本题得以解决．
本题考查正方体相对的两个面上的文字，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

5.【答案】

【解析】解：，原式，故该选项不符合题意；
，原式，故该选项符合题意；
，原式，故该选项不符合题意；
，原式，故该选项不符合题意；
故选：．
根据同底数幂的乘法判断选项；根据积的乘方判断选项；根据幂的乘方和同底数幂的除法判断选项；根据平方差公式判断选项．
本题考查了平方差公式，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘除法，掌握是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：，
，
，
，
方程无解，
或，
或，
故选：．
解分式方程可得，根据题意可知，或，求出的值即可．
本题考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法，分式方程无解的条件是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：在中，，
所以圆锥的侧面展开图的面积
故选：．
先利用勾股定理计算出，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则可根据扇形的面积公式可计算出圆锥的侧面积．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

8.【答案】

【解析】解：如图，过点作于，交于点，则，
设，
，
，，
∽，
，
，
，
面积


，
当时，有最大值，最大值为．
故选：．
过点作于，交于点，则，设，根据，证出∽，根据相似三角形对应高的比等于相似比得到，列出面积的函数表达式，根据配方法求最值即可．
本题考查了三角形的面积，平行线的性质，列出面积的函数表达式，根据配方法求最值是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：为方程的根，
，
，
原式


．
故选：．
将方程的根代入方程，化简得，将代数式变形，整体代入求值即可．
本题考查了一元二次方程的解，考查整体思想，将整体代入代数式求值是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：四边形、四边形是正方形，
，，，
，即，
≌，
，
，
，
，
，
，故正确；
取的中点，如图：

在中，为斜边上的中点，
，
在中，为斜边上的中点，
，
，
、、、四点共圆，
，
，
∽，故正确，
，
，
、、、四点共圆，
，
，故正确，
由已知不能证明平分，故错误，
故正确的有：，
故选：．
由四边形、四边形是正方形，可得≌，即得，即课证明，可判断正确；取的中点，可得，即可得，从而∽，判断正确，由，可得、、、四点共圆，而，故，判断正确，不能证明平分，即可得答案．
本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质，四点共圆等知识，解题的关键是取的中点，证明，从而得到、、、四点共圆．
 

11.【答案】

【解析】解：将，，，，按照从小到大排列是：，，，，，
这五个数的中位数是，
故答案为：．
先将题目中的数据按照从小到大排列，然后即可写出相应的中位数．
本题考查中位数，解答本题的关键是明确中位数的定义，会求一组数据的中位数．
 

12.【答案】

【解析】解：由数轴可得，
，，
，，，



，
故答案为：．
根据数轴可得：，，然后即可得到，，，从而可以将所求式子化简．
本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

13.【答案】

【解析】解：设，则，，
六边形是正六边形，
，
上衣，
，
，
，
，
解得，
，
即正六边形的边长为，
故答案为：．
根据正多边形的性质和直角三角形中，角所对的边是斜边的一半可以求得的长．
本题考查正多边形和圆，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

14.【答案】

【解析】解：第一代勾股树中正方形有个，
第二代勾股树中正方形有个，
第三代勾股树中正方形有个，

第六代勾股树中正方形有个，
故答案为：．
由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．
本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．
 

15.【答案】

【解析】解：抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴在轴左侧，
，
，
抛物线经过，
，
抛物线经过，
，
，，
，
当时，，
，
，
，
故答案为：．
由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置及抛物线经过可得，，的等量关系，然后将代入解析式求解．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．
 

16.【答案】解：

．

【解析】根据特殊角的三角函数值、去绝对值的方法、零指数幂、负整数指数幂和算术平方根可以解答本题．
本题考查实数的运算、特殊角的三角函数值、去绝对值的方法、零指数幂、负整数指数幂和算术平方根，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

17.【答案】解：原式

．
当时，
原式．

【解析】根据分式的运算法则进行化简，然后将的值代入即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．
 

18.【答案】证明：是的中点，
，
，
，
，
≌．
解：四边形为矩形．
理由：≌，
，
，
四边形为平行四边形，
四边形为菱形，
，
即，
平行四边形为矩形．

【解析】利用全等三角形的判定定理即可．
先证明四边形为平行四边形，再结合，即可得出结论．
本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及矩形的判定是解题的关键．
 

19.【答案】解：设篮球的单价为元，足球的单价为元，
由题意可得：，
解得，
答：篮球的单价为元，足球的单价为元；
设采购篮球个，则采购足球为个，
要求篮球不少于个，且总费用不超过元，
，
解得，
为整数，
的值可为，，，，
共有四种购买方案，
方案一：采购篮球个，采购足球个；
方案二：采购篮球个，采购足球个；
方案三：采购篮球个，采购足球个；
方案四：采购篮球个，采购足球个．

【解析】根据购买个篮球和个足球共需费用元；购买个篮球和个足球共需费用元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
根据要求篮球不少于个，且总费用不超过元，可以列出相应的不等式组，从而可以求得篮球数量的取值范围，然后即可写出相应的购买方案．
本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式组．
 

20.【答案】 

【解析】解：调查的学生中，爱好花样滑冰运动的学生有人，占调查人数的，
一共调查了人，
若该校共有名学生，估计爱好花样滑冰运动的学生有人，
故答案为：，；
一共调查了名学生，爱好单板滑雪的占，
爱好单板滑雪的学生数为人，
爱好自由式滑雪的学生数为人，
补全条形统计图如下：



从这四个运动项目中抽出两项运动的所有机会均等的结果一共有种，
抽到项目中恰有一个项目是自由式滑雪记的结果有：，，，，，一共种等可能的结果，
抽到项目中恰有一项为自由式滑雪．
答：抽到项目中恰有一项为自由式滑雪的概率是．
由爱好花样滑冰运动的人，占调查人数的，可求出调查人数，用爱好花样滑冰运动的学生占调查人数的，可估计名学生中，爱好花样滑冰运动的学生人数；
求出爱好单板滑雪、爱好自由式滑雪的学生数，补全条形统计图即可；
列表求出种等可能的结果，找出恰有一个项目是自由式滑雪记的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查统计与概率问题，解题的关键是用列表法或画树状图法，不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：设双曲线上的“黎点”为，
则有，
，
双曲线上的“黎点”为或；

抛物线、为常数上有且只有一个“黎点”，
方程有且只有一个解，
即，，
，
，
，
．

【解析】设双曲线上的“黎点”为，构建方程求解即可；
抛物线、为常数上有且只有一个“黎点”，推出方程有且只有一个解，即，，可得结论．
本题考查反比例函数图象上的点特征，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．
 

22.【答案】解：如图，延长交于点，则，作于点，则四边形是矩形，

，，
由：，可以假设，，
，
，
或舍去，
，，
设，，
，
，
，
，
，
由得，，
答：塔顶到地面的高度约为米．

【解析】如图，延长交于点，则，作于点，则四边形是矩形，设，，构建方程组求解．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数，构建方程组解决问题．
 

23.【答案】解：点的横坐标为且在反比例函数的图象上，
，
点的坐标为，
点在一次函数的图象上，
，
解得，
一次函数的解析式为，
，
时，；时，；
图象过点，，
函数图象如右图所示；
，
解得或，
一次函数为常数与反比例函数交于、两点，点的横坐标为，
点的坐标为，
由图象可得，当时对应自变量的取值范围是或；
点与点关于原点成中心对称，
点，
作轴交于点，
将代入，得，
，
即的面积是．

【解析】根据点的横坐标为且在反比例函数的图象上，可以求得点的坐标，然后代入一次函数解析式，即可得到一次函数的解析式，再画出相应的图象即可；
将两个函数解析式联立方程组，即可求得点的坐标，然后再观察图象，即可写出当时对应自变量的取值范围；
根据点与点关于原点成中心对称，可以写出点的坐标，然后点、、的坐标，即可计算出的面积．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

24.【答案】证明：如图，连接．

平分，
，
，
，
，
，
，
是半径，
是的切线．
证明：，
．
，
，
，，
，
∽；
解：如图，过点作于，连接，
是的直径，

，
，，
，
，
，
由知：∽，
，即，
，
，
，，
∽，
，即，
，
，
，
，
，
即点到的距离是．

【解析】想办法证明即可；
根据两个角相等证明∽；
证明四边形是矩形，先根据等角的三角函数可得的长，最后根据线段的和可得结论．
本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

25.【答案】解：抛物线经过点，点．
，
，
抛物线的解析式为；

如图，设为关于直线的对称点，为关于直线的对称点，连接，，．

由对称性可知，，的周长，
当，共线时，的周长最小，最小值为的长，
令，则，
解得或，
，
，
是等腰直角三角形，
垂直平分，且，
，
，关于轴的长，
，
，
的周长的最小值为．

到轴距离为，，连接．
，
又，
，
，到的距离相等，
，在的同侧，
，
设直线的解析式为，
则有，
，
直线的解析式为，
设直线的解析式为，
，
直线的解析式为，
由，解得或，
，
点在射线上，
设，
过点作轴的平行线，过点作轴的平行线交轴于点，交直线于点．

，，，
，，，
是等腰三角形，
当时，，
解得，
当时，，
解得，
当时，，
解得，
在第一象限，
，
的值为，，，
点的坐标为或或

【解析】利用待定系数法把问题转化为方程组解决；
如图，设为关于直线的对称点，为关于直线的对称点，连接，，当，共线时，的周长最小，最小值为的长；
求出直线的解析式，利用方程组求出点的坐标，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线交轴于点，交直线于点分三种情形：当时，当时，当时，分别构建方程求解．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，轴对称最短问题，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．