2022年四川省自贡市中考数学试卷（含解析）

2022年四川省自贡市中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48分）

1. 如图，直线、相交于点，若，则的度数是

A.
B.
C.
D.

2. 自贡市江姐故里红色教育基地自去年底开放以来，截止到今年月，共接待游客余人．人数用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 如图，将矩形纸片绕边所在直线旋转一周，得到的立体图形是

A.
B.
C.
D.

4. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 如图，菱形对角线交点与坐标原点重合，点，则点的坐标是

A.
B.
C.
D.

6. 剪纸与扎染、龚扇被称为自贡小三绝，以下学生剪纸作品中，轴对称图形是

A.  B.  C.  D.

7. 如图，四边形内接于，是的直径，，则的度数是

A.
B.
C.
D.

8. 六位同学的年龄分别是、、、、、岁，关于这组数据，正确说法是

A. 平均数是 B. 中位数是 C. 方差是 D. 众数是

9. 等腰三角形顶角度数比一个底角度数的倍多，则这个底角的度数是

A.  B.  C.  D.

10. 为外一点，与相切于点，，，则长为

A.  B.  C.  D.

11. 九年级班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来米长的围栏，准备围成一边靠墙墙足够长的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形底边靠墙、半圆形这三种方案，最佳方案是

A. 方案 B. 方案 C. 方案 D. 方案或方案

12. 已知，，抛物线顶点在线段上运动，形状保持不变，与轴交于，两点在的右侧，下列结论：
    ；
    当时，一定有随的增大而增大；
    若点横坐标的最小值为，则点横坐标的最大值为；
    当四边形为平行四边形时，．
    其中正确的是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

13. 计算：______．
14. 分解因式：______．
15. 化简：______．
16. 为了比较甲、乙两鱼池中的鱼苗数目，小明从两鱼池中各捞出条鱼苗，每条做好记号，然后放回原鱼池．一段时间后，在同样的地方，小明再从甲、乙两鱼池中各捞出条鱼苗，发现其中有记号的鱼苗分别是条、条，可以初步估计鱼苗数目较多的是______鱼池．填甲或乙
17. 一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦长厘米，弓形高为厘米，则镜面半径为______厘米．

18. 如图，矩形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共78分）

19. 解不等式组：，并在数轴上表示其解集．
     
20. 如图，是等边三角形，、在直线上，求证：．

21. 学校师生去距学校千米的吴玉章故居开展研学旅行活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达．已知汽车速度是自行车速度的倍，求张老师骑车的速度．
22. 为了解学生每周参加课外兴趣小组活动的累计时间单位：小时，学校采用随机抽样的方法，对部分学生进行了问卷调查，调查结果按，，，分为四个等级，分别用、、、表示．如图是受损的调查统计图，请根据图上残存信息解决以下问题：
    
    求参与问卷调查的学生人数，并将条形统计图补充完整；
    全校共有学生人，试估计学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于小时的学生人数；
    某小组有名同学，、等级各人，从中任选人向老师汇报兴趣活动情况．请用画树状图法或列表法求这人均属等级的概率．
23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
    求反比例函数和一次函数的解析式；
    过点作直线轴，过点作于点，点是直线上一动点，若，求点的坐标．
     

24. 如图，用四根木条钉成矩形框，把边固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变四边形具有不稳定性．
    通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段由旋转得到，所以我们还可以得到______，______；
    进一步观察，我们还会发现，请证明这一结论；
    已知，，若恰好经过原矩形边的中点，求与之间的距离．
25. 某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：
    探究原理
    制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心处，另一端系小重物测量时，使支杆、量角器刻度线与铅垂线相互重合如图，绕点转动量角器，使观测目标与直径两端点、共线如图，此时目标的仰角请说明这两个角相等的理由．
    
    实地测量
    如图，公园广场上有一棵树，为测树高，同学们在观测点处测得树顶端的仰角，观测点与树的距离为米，点到地面的距离为米，求树高，结果精确到米
    拓展探究
    公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端距地面的高度如图，同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点、、、在同一直线上，分别测得点的仰角、，再测得、间的距离，点、到地面的距离E、均为米．求用、、表示．

26. 已知二次函数．
    若，且函数图象经过，两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与轴交点及顶点坐标；
    在图中画出中函数的大致图象，并根据图象写出函数值时自变量的取值范围；
    若且，一元二次方程两根之差等于，函数图象经过，两点，试比较、的大小．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，与是对顶角，
．
故选：．
根据对顶角相等可得．
本题考查了对顶角，解题的关键是熟练掌握对顶角的性质：对顶角相等．
 

2.【答案】

【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】

【解析】解：根据“点动成线，线动成面，面动成体”，
将矩形纸片绕边所在直线旋转一周，所得到的立体图形是圆体．
故选：．
将矩形纸片绕边所在直线旋转一周，可知上面和下面都是平面，所以得到的立体图形是圆体．
本题考查生活中的立体图形，理解“点动成线，线动成面，面动成体”，是正确判断的前提．
 

4.【答案】

【解析】解：、原式，故该选项不符合题意；
B、原式，故该选项符合题意；
C、原式，故该选项不符合题意；
D、原式，故该选项不符合题意；
故选：．
根据有理数的乘方判断选项；根据平方差公式判断选项；根据同底数幂的除法判断选项；根据零指数幂判断选项．
本题考查了有理数的乘方，平方差公式，同底数幂的除法，零指数幂，掌握是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：四边形是菱形，
，即点与点关于原点对称，
点，
点的坐标是．
故选：．
菱形的对角线相互平分可知点与关于原点对称，从而得结论．
本题考查的是菱形的性质，关于原点对称，掌握菱形对角线互相平分是解本题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：选项A，，都不能找到这样的一条直线，使这些图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项D能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：．
根据轴对称图形定义进行分析即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

7.【答案】

【解析】解：连接，如图所示，
，
，
，
，
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
故选：．
根据圆周角定理可以得到的度数，再根据三角形内角和可以求得的度数，然后根据圆内接四边形对角互补，即可得到的度数．
本题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

8.【答案】

【解析】解：选项，平均数岁，故该选项不符合题意；
选项，这组数据从小到大排序为：，，，，，，中位数岁，故该选项不符合题意；
选项，方差，故该选项不符合题意；
选项，出现的次数最多，众数是岁，故该选项符合题意；
故选：．
分别计算这组数据的平均数，中位数，方差，众数即可得出答案．
本题考查了算术平均数，中位数，方差，众数，掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：设底角的度数是，则顶角的度数为，
根据题意得：，
解得：，
故选：．
设底角的度数是，则顶角的度数为，根据三角形内角和是列出方程，解方程即可得出答案．
本题考查了等腰三角形的性质，考查了方程思想，掌握等腰三角形两个底角相等是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：如图，与相切于点，
，
又，，
，
．
故选：．
根据切线的性质得到，根据含度角的直角三角形的性质得到的值，根据勾股定理即可求解．
本题考查了切线的性质，含度角的直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：方案：设米，则米，

则菜园面积，
当时，此时菜园最大面积为米；
方案：当时，菜园最大面积米；

方案：半圆的半径，
此时菜园最大面积米米；
故选：．
分别计算三个方案的菜园面积进行比较即可．
本题考查了计算同周长的几何图形的面积的问题，根据周长为米计算三个方案的边长及半径是解本题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：点，的坐标分别为和，
线段与轴的交点坐标为，
又抛物线的顶点在线段上运动，抛物线与轴的交点坐标为，
，顶点在轴上时取“”，故正确；
抛物线的顶点在线段上运动，开口向上，
当时，一定有随的增大而增大，故错误；
若点的横坐标最小值为，则此时对称轴为直线，
根据二次函数的对称性，点的横坐标最大值为，故正确；
令，则，
，
根据顶点坐标公式，，
，即，
，
四边形为平行四边形，
，
，
解得，故正确；
综上所述，正确的结论有．
故选：．
根据顶点在线段上抛物线与轴的交点坐标为可以判断出的取值范围，得到错误；根据二次函数的增减性判断出正确；先确定时，点的横坐标取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点的横坐标，即可判断错误；令，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得，然后列出方程求出的值，判断出正确．
本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与系数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，要注意顶点在轴上的情况．
 

13.【答案】

【解析】解：，
．
故答案为：．
根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
解题关键是掌握绝对值的规律．一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是．
 

14.【答案】

【解析】解：．
故答案为：．
根据多项式的特征选择提取公因式法进行因式分解．
本题主要考查了运用提取公因式法进行因式分解，运用提取公因式法进行因式分解的关键是确定公因式．
 

15.【答案】

【解析】解：


，
故答案为：．
先将原分式的分子、分母分解因式，然后约分，再计算加法即可．
本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确因式分解的方法和分式加法的运算法则．
 

16.【答案】甲

【解析】解：由题意可得，
甲鱼池中的鱼苗数量约为：条，
乙鱼池中的鱼苗数量约为：条，
，
初步估计鱼苗数目较多的是甲鱼池，
故答案为：甲．
根据题意和题目中的数据可以计算出甲鱼池和乙鱼池中鱼苗的数量，然后比较大小即可．
本题考查用样本估计总体，解答本题的关键是求出两个鱼池中鱼苗的数量．
 

17.【答案】

【解析】解：如图，点是圆形玻璃镜面的圆心，连接，则点，点，点三点共线，

由题意可得：，厘米，
设镜面半径为厘米，
由题意可得：，
，
镜面半径为厘米，
故答案为：．
根据题意，弦长厘米，弓形高为厘米，根据勾股定理和垂径定理可以求得圆的半径．
本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，由勾股定理可求解．
 

18.【答案】

【解析】解：如图，作关于的对称点，在上截取，然后连接交于，在上截取，此时的值最小，

，，
四边形是平行四边形，
，
，
，，为边的中点，
，，
由勾股定理得：，
即的最小值为．
故答案为：．
利用已知可以得出，长度不变，求出最小时即可得出四边形周长的最小值，利用轴对称得出，位置，即可求出．
此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题以及勾股定理等知识，确定最小时，位置是解题关键．
 

19.【答案】解：由不等式，解得：，
由不等式，解得：，
不等式组的解集为：，
在数轴上表示不等式组的解集为：
 

【解析】先求出不等式的解集，求出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
 

20.【答案】证明：是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
≌，
．

【解析】要证明，只要证明≌即可，根据等边三角形的性质和可以证明≌，本题得以解决．
本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，解答本题的关键是证明≌．
 

21.【答案】解：设张老师骑车的速度为千米小时，则汽车的速度为千米小时，
由题意可得：，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
答：张老师骑车的速度是千米小时．

【解析】根据题意可知：张老师骑车用的时间汽车用的时间，即可列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验．
本题考查分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的分式方程．
 

22.【答案】解：，
等级的人数人，
条形统计图补充如下：

学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于小时的学生人数人，
每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于小时的学生为人；
设等级人分别用，表示，等级人分别用，表示，随机选出人向老师汇报兴趣活动情况的树状图如下：

共有种等可能结果，而选出人中人均属等级有种，
所求概率．

【解析】利用抽查的学生总数等级的人数对应的百分比计算，即可求等级的人数；
用全校的学生人数乘以每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于小时的学生所占的百分比，即可求解；
设等级人分别用，表示，等级人分别用，表示，画出树状图，即可求解．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，以及树状图法和列表法，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
 

23.【答案】解：在反比例函数的图象上，
，
其函数解析式为；
在反比例函数的图象上，
，
，
．
，两点在一次函数的图象上，
，解得，
一次函数的解析式为：；

直线轴，，
，，
，
，
点是直线上一动点，
或．

【解析】先把代入反比例函数求出的值即可得出其函数解析式，再把代入反比例函数的解析式即可得出的值，把，两点的坐标代入一次函数，求出、的值即可得出其解析式；
根据已知确定的长和点的坐标，由可得，从而得点的坐标．
本题是反比例的综合题，考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，在解答此题时要注意数形结合思想的运用．
 

24.【答案】 

【解析】解：把边固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变，
矩形的各边的长度没有改变，
，，，
故答案为：，；
证明：四边形是矩形，
，，，
，，，
，，
四边形是平行四边形，
，
；
如图，过点作于，

，点是的中点，
，
在中，，
，
，
∽，
，
，
，
与之间的距离为．
由推动矩形框时，矩形的各边的长度没有改变，可求解；
通过证明四边形是平行四边形，可得结论；
由勾股定理可求的长，由相似三角形的性质可求解．
本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

25.【答案】解：，，
，
；
由题意可得，
米，米，，，
，
，
解得，
米，
即树高为米；
由题意可得，
，米，
由图可得，，，
，，
，
，
，
米．

【解析】根据图形和同角的余角相等可以说明理由；
根据锐角三角函数和题意，可以计算出的长；
根据锐角三角函数和题目中的数据，可以用含、、的式子表示出．
本题考查解直角三角形仰角、俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

26.【答案】解：由题意可得：，
解得：，
抛物线的解析式为：，
顶点坐标为，
当时，则，
，，
抛物线与轴的交点坐标为，；
如图，

当时，，
，，
由图象可得：当时，；
且，
，，，一元二次方程必有一根为，
一元二次方程两根之差等于，
方程的另一个根为，
抛物线的对称轴为：直线，
，
，
，
，
，，，
，
抛物线解析式为：，
当时，则，
当时，则，
，
，
，
，
，
．

【解析】利用待定系数法可求抛物线的解析式，即可求解；
由题意画出图象，结合图象可求解；
结合题意分别求出，，将点，点坐标代入可求，的值，即可求解．
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，数形结合的思想，求出与的关系是解题的关键．