2022年广东省东莞市大朗一中中考数学一模试卷（含解析）

2022年广东省东莞市大朗一中中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 的相反数是

A.  B.  C.  D.

2. 据统计，某城市去年接待旅游人数约为人，这个数据用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 下列图形中，属于轴对称图形的是

A.  B.  C.  D.

4. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 已知直线，将一块含角的直角三角板，按如图所示方式放置，其中、两点分别落在直线、上，若，则的度数是

A.
B.
C.
D.

6. 一个多边形的内角和比它的外角和的倍少，这个多边形的边数是

A.  B.  C.  D.

7. 若关于的一元二次方程有实数根，则应满足

A.  B.  C.  D.

8. 在某市举行的“慈善万人行”大型募捐活动中，某班位同学捐款金额统计如下表：则在这次活动中，该班同学捐款金额的众数是

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元

9. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将沿直线折叠，使点落在斜边上的点处，则的长为．

A.
B.
C.
D.

10. 如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则以下四个结论中：，，，正确的个数是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共7小题，共28分）

11. 分解因式：______．
12. 已知：，那么的值为______．
13. 一个不透明的布袋里装有个只有颜色不同的球，其中个红球，个白球，从布袋里摸出个球，则摸到的球是红球的概率是______．
14. 已知相似与的相似比为：，若的面积为米，则的面积为______．
15. 已知的值是，则式子的值是______．
16. 如图，菱形的边长为，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，直线交于点，连接，则的长为______．

17. 如图，在中，，，，点在上不与，重合，过作，，垂足分别是，，连接，为的中点，则的最小值为______．

三、计算题（本大题共1小题，共6分）

18. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．

四、解答题（本大题共7小题，共56分）

19. 先化简，再求值：，其中．
20. 如果想毁掉一个孩子，就给他一部手机这是年微信圈一篇热传的文章国际上，法国教育部宣布从年月新学期起小学和初中禁止学生使用手机为了解学生手机使用情况，某学校开展了“手机伴我健康行”主题活动，他们随机抽取部分学生进行“使用手机目的”和“每周使用手机的时间”的问卷调查，并绘制成如图，的统计图，已知“查资料”的人数是人．
    
    请你根据以上信息解答下列问题：
    在扇形统计图中，“玩游戏”对应的百分比为______，圆心角度数是______度；
    补全条形统计图；
    该校共有学生人，估计每周使用手机时间在小时以上不含小时的人数．
21. 某纪念品专卖店上周批发买进件纪念品和件纪念品，花费元；本周批发买进件纪念品和件纪念品，花费元．
    求每件纪念品和纪念品的批发价各为多少元？
    经市场调研，当纪念品每件的销售价为元时，每周可销售件；当每件的销售价每增加元，每周的销售数量将减少件．当每件的销售价为多少时，该纪态品专卖店销售纪念品每周获得的利润最大？并求出最大利润．
22. 如图，已知反比例函数的图象与直线相交于点，．
    求出直线的表达式；
    在轴上有一点使得的面积为，求出点的坐标．
    
    
     

23. 如图，已知中，是的中点，过点作交于点，过点作交于点，连接、．
    求证：四边形是菱形；
    若，，，求的长．

24. 如图，是的直径，点是的内心，的延长线交于，交于，
    点在的延长线上，且，连接、、，
    证明：是等腰三角形；
    证明：是的切线；
    若，，求的长．

25. 已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
    求抛物线的表达式；
    点在直线下方的抛物线上，连接交于点，当最大时，求点的坐标及的最大值；
    在的条件下，过点作轴的垂线，在上是否存在点，使是直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：的相反数是．
故选：．
依据相反数的定义求解即可．
本题主要考查的是相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：这个数据用科学记数法表示为．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】

【解析】解：选项B能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项A、、不能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：．
根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
 

4.【答案】

【解析】解：，故本选项错误；
B.，故本选项错误；
C.，故本选项错误；
D.，故本选项正确．
故选：．
依据整式的运算法则进行判断，即可得出结论．
本题主要考查了合并同类项，多项式乘多项式以及单项式乘单项式，解决问题的关键是掌握整式的相关运算法则．
 

5.【答案】

【解析】解：直线，
，
又三角板中，，
，
故选：．
根据平行线的性质即可得到的度数，再根据三角板的度数特征，即可得到结论．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：设这个多边形为边形，由题意得，
，
解得，
即这个多边形为五边形，
故选：．
根据多边形的内角和、外角和的求法列方程求解即可．
本题考查多边形的内角和、外角和，掌握多边形的内角和的计算公式以及外角和为是解决问题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：；
故选：．
由方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于，列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．
 

8.【答案】

【解析】在这次活动中，该班同学捐款金额的众数是元，
故选：．
直接根据众数的概念求解可得．
本题主要考查众数，解题的关键是掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
 

9.【答案】

【解析】解：，，，
，
由折叠的性质得：，，
，，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
，
故选：．
先根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，的长，从而利用勾股定理可求得的长．
本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识；熟记折叠性质并表示出的三边，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是掌握二次函数图象和性质．
根据抛物线开口向下可得 ，对称轴在 轴右侧，得 ，抛物线与 轴正半轴相交，得 ，进而即可判断；
根据抛物线对称轴是直线 ，即 ，可得 ，进而可以判断；
根据抛物线与 轴有 个交点，可得 ，即 ，进而可以判断；
当 时， ，即 ，根据 ，可得 ，即可判断．
【解答】
解： 根据抛物线开口向下可知：
，
因为对称轴在 轴右侧，
所以 ，
因为抛物线与 轴正半轴相交，
所以 ，
所以 ，
所以 错误；
因为抛物线对称轴是直线 ，
即 ，
所以 ，
所以 ，
所以 正确；
因为 ，
所以
如果 ，
那么
因为 ，
所以 ，
有题知 ，
所以 错误；
当 时， ，
即 ，
因为 ，
所以 ，
所以 正确．
所以正确的个数是 个．
故选： ．   

11.【答案】

【解析】解：．
故答案为：．
先提取公因式，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．
 

12.【答案】

【解析】解：，
，，
，；
因此．
故结果为：
首先根据非负数的性质可求出、的值，进而可求出、的和．
此题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式算术平方根当它们相加和为时，必须满足其中的每一项都等于．
 

13.【答案】

【解析】解：布袋装有个只有颜色不同的球，个红球，
从布袋里摸出个球，摸到红球的概率．
故答案为：．
直接根据概率公式求解即可．
本题考查的是概率公式，熟知随机事件的概率事件可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．
 

14.【答案】米

【解析】解：相似与的相似比为：，
相似与的面积比为：，
，即，解得米
故答案为：米．
直接根据相似三角形的性质即可得出结论．
本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：，
，




．
故答案为：．
首先根据的值是，求出的值是多少；然后代入式子，求出算式的值是多少即可．
此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：已知条件不化简，所给代数式化简；已知条件化简，所给代数式不化简；已知条件和所给代数式都要化简．
 

16.【答案】

【解析】解：如图，连接．

由作图可知，垂直平分线段，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
故答案为．
如图，连接证明是等腰直角三角形，利用勾股定理求出，，即可．
本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

17.【答案】

【解析】解：，，，
，
是直角三角形且，
又，，
四边形是矩形，
如图，连接，则，
为的中点，，
中，，
，
如图，当时，最短，
此时，，
，
，即的最小值为．
故答案为：．
连接，利用勾股定理逆定理可得，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，则最小，然后根据三角形的面积求解即可．
本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理逆定理的综合运用，判断出时，线段的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积求出的长．
 

18.【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】解：

，
当时，原式．

【解析】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将的值代入即可解答本题．
 

20.【答案】解：，；
根据题意得：人，
小时以上的人数为人，
补全图形如下：

根据题意得：人，
则每周使用手机时间在小时以上不含小时的人数约有人．

【解析】

【分析】
此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键． 由扇形统计图其他的百分比求出“玩游戏”的百分比，乘以 即可得到结果；
求出 小时以上的人数，补全条形统计图即可；
由每周使用手机时间在 小时以上 不含 小时 的百分比乘以 即可得到结果．
【解答】
解： 根据题意得： ，
则“玩游戏”对应的圆心角度数是 ，
故答案为： ， ；
见答案；
见答案．   

21.【答案】解：
设每件纪念品的批发价为元，纪念品的批发价的为元，依题意
，解得
即每件纪念品的批发价为元，纪念品的批发价的为元
由知每件纪念品的批发价为元，依题意得

整理得

有最大值，
即当时，有最大值
即当每件的销售价为元时，该纪态品专卖店销售纪念品每周获得的利润最大为元

【解析】根据题意，设每件纪念品的批发价为元，纪念品的批发价的为元，列出方程组即可求解
由知每件纪念品的批发价，则根据总利润售价成本数量，列出方程，再根据二次函数的最值问题求出最大利润．
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．根据每天的利润一件的利润销售件数，建立函数关系式，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
 

22.【答案】解：将点的坐标代入反比例函数表达式并解得：，
故反比例函数表达式为：，
将点的坐标代入，解得：，
故点，
将点、的坐标代入一次函数表达式得，
解得，
故直线的表达式为：；
设直线与轴的交点为，当时，，故点，
分别过点、作轴的垂线、，垂足分别为、，

则，
解得：，
当点在点右侧时，，点的坐标为；
当点在点左侧时，，点的坐标为，
故点的坐标为或．

【解析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，运用待定系数法确定函数关系式，三角形面积公式，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
先求出的值得出反比例函数解析式，再求出的值得出点坐标，然后用待定系数法即可求解；
设直线与轴的交点为，得出点，分别过点、作轴的垂线、，垂足分别为、，然后根据，求出，即可求解．
 

23.【答案】解：证明：如图，
在中，点是的中点，
，
，
，，
≌，
，
四边形是平行四边形，
又，点是的中点，即垂直平分，
，
平行四边形是菱形．
如图，过点作于点，

由知四边形是菱形，又，，
，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．

【解析】由题意可得≌，则，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得四边形是平行四边形；又垂直平分，根据垂直平分线的性质可得，根据“有一组临边相等的平行四边形是菱形”可得结论；
过点作于点，根据题意可得，，则，．
本题主要考查菱形的性质与判定，含角的直角三角形的三边关系，等腰直角三角形的性质与判定等内容，根据，等特殊角作出正确的垂线是解题关键．
 

24.【答案】证明：是的内心，
，，
，
，
，
是等腰三角形；
证明：如图，连接，

是的直径，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
如图，过点作于，

，
；
在中，，
，
，
，
，，
在中，．

【解析】由内心的性质可得，，由外角的性质和圆周角定理可证，可得结论；
通过证明，可得结论；
由等腰直角三角形的性质可求，由锐角三角函数可求，的长，由勾股定理可求解．
本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

25.【答案】解：将点、、代入，
得，
解得，
；
如图，过点作轴交直线于点，过作轴交直线于点，
，
，
设直线的解析式为，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
当时，有最大值，
；
，点在上，
如图，当时，
过点作轴，过点作轴，与交于点，过点作轴，与交于点，
，，
，
∽，
，即，
，
；
如图，当时，
过点作轴交于点，
，，
，
∽，
，即，
，
；
如图，当时，
线段的中点，，
设，
，
，
或，
或；
综上所述：是直角三角形时，点坐标为或或或

【解析】将、、代入即可求解析式；
过点作轴交直线于点，过作轴交直线于点，由，可得，则求的最大值即可；
分三种情况讨论：当时，过点作轴，过点作轴，与交于点，过点作轴，与交于点，可证明∽，求出；当时，过点作轴交于点，可证明∽，求出；当时，线段的中点，设，由，可求或
本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象及性质，通过构造平行线将的最大值问题转化为求的最大值问题是解题的关键．