山东省济南市莱芜区2022年中考二模数学试题及答案

这是一份山东省济南市莱芜区2022年中考二模数学试题及答案，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 中考二模数学试题
一、单选题
1．2022的相反数是（　　）
A．2022 B． C．﹣2022 D．
2．如图1是用5个相同的正方体搭成的立体图形．若由图1变化至图2，则三视图中没有发生变化的是（　　）

A．俯视图 B．主视图和俯视图
C．主视图和左视图 D．左视图和俯视图
3．2022年北京冬奥会中国队运动员微博、抖音账号累计收获超8 000万粉丝关注，谷爱凌抖音平台迅速圈粉，美兰德数据显示，其抖音粉丝量已突破1 800万人．数据1 800万用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，，FM平分，则（　　）

A． B． C． D．
5．对称美在生活中处处可见，下列是历届冬奥会的会徽，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，在中，，把沿直线BC向右平移6个单位长度得到，则四边形的面积是（　　）

A．40 B．56 C．60 D．64
7．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．莱芜区某中学在预防新冠肺炎期间，要求学生每天测量体温，九（1）班一名同学记录了他一周的体温情况，并将统计结果绘制了如图所示的折线统计图．下列说法错误的是（　　）

A．这一周体温数据的众数是36.2
B．这一周体温数据的中位数是36.3
C．这一周体温数据的平均数是36.3
D．这一周体温数据的极差是0.1
9．如图，中，，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使．分别以D，E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线BF交AC于点G，若，P为AB上一动点，则GP的最小值为（　　）

A． B．3 C． D．6
10．反比例函数与正比例函数的图象如图所示，点，点与点均在反比例函数的图象上，点B在直线上，四边形是平行四边形，则B点的坐标为（　　）

A． B． C． D．
11．如图，在菱形ABCD中，，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且，点P是线段BD上的一个动点，则的最小值是（　　）

A．2 B． C．4 D．
12．定义：平面直角坐标系中，点的横坐标x的绝对值表示为，纵坐标y的绝对值表示为，我们把点的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点的折线距离，记为（其中的“＋”是四则运算中的加法），若抛物线与直线只有一个交点M，已知点M在第一象限，且，令，则t的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．分解因式：　 　．
14．在一个不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出一个球，两次都摸出红球的概率是　 　．
15．代数式与代数式的和为1，则x=　 　．
16．一个正多边形的每一个内角比每一个外角的3倍还大，则这个正多边形的边数为　 　．
17．如图，在扇形中，已知，，过的中点C作，，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为　 　．

18．如图，将矩形纸片ABCD折叠（AD>AB），使AB落在AD上，AE为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，E点不动，将BE边折起，使点B落在AE上的点G处，连接DE，若DE=EF，CE=1，则AD=　 　．

三、解答题
19．
（1）
（2）先化简，再求值：，再从不等式中选择一个你喜欢的整数解代入求值．
20．为了解学生每天的睡眠情况，某初中学校从全校800名学生中随机抽取了40名学生，调查了他们平均每天的睡眠时间（单位：h），统计结果如下：
9，8，10.5，7，9，8，10，9.5，8，9，9.5，8，9.5，9，8.5，7.5，10，9.5，8，9，7，9.5，8.5，9，7，9，9，7.5，8.5，8.5，9，8，7.5，9.5，10，9.5，8.5，9，8，9．
在对这些数据整理后，绘制了如下的统计图表：
睡眠时间分布情况图

睡眠时间分组统计表
组别
睡眠时间分组
人数（频数）
1

m
2

12
3

n
4

4
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）m=　 　，n=　 　，a=　 　，b=　 　；
（2）抽取的这40名学生平均每天睡眠时间的中位数落在　 　组（填组别）；
（3）如果按照学校要求，学生平均每天的睡眠时间应不少于9h，请估计该校学生中睡眠时间符合要求的人数．
21．在中，，以AC为直径的与AB相交点D、E是BC的中点．

（1）判断ED与的位置关系，并说明理由；
（2）若的半径为3，，求的长．
22．如图，5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处（点A、B、C在同一直线上）．某测量员从悬崖底C点出发沿水平方向前行60米到D点，再沿斜坡DE方向前行52米到E点（点A、B、C、D、E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为，悬崖BC的高为78米，斜坡DE的坡度户．（参考数据：．）

（1）求斜坡DE的高EH的长；
（2）求信号塔AB的高度．
23．某药店购进甲、乙两种医用口罩，已知甲种口罩每袋的售价比乙种口罩多5元．小刘从该药店购买2袋甲种口罩和3袋乙种口罩共花费110元．
（1）该药店甲、乙两种口罩每袋的售价各是多少元？
（2）根据消费者需求，药店决定用不超过1900元购进甲、乙两种口罩共100袋，且甲种口罩的数量至少比乙种口罩多30袋，已知甲种口罩每袋的进价为20元，乙种口罩每袋的进价为16元．若使药店获利最大，应该购进甲、乙两种口罩各多少袋，最大获利多少元？
24．四边形ABCD和四边形AMPN有公共顶点A，连接BM和DN．

（1）如图1，若四边形ABCD和四边形AMPN都是正方形，当正方形AMPN绕点A旋转角（）时，BM和DN的数量关系是　 　，位置关系是　 　；
（2）如图2，若四边形ABCD和四边形AMPN都是矩形，且，判断BM和DN的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若，矩形AMPN绕点A逆时针旋转角（），当时，求线段DN的长．
25．抛物线的顶点坐标为，与x轴交于点两点，与y轴交于点C，点M是抛物线上的动点．

（1）求这条抛物线的函数表达式；
（2）如图1，若点M在直线BC上方抛物线上，连接AM交BC于点E，求的最大值及此时点M的坐标；
（3）如图2，已知点，是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：2022的相反数是-2022．
故答案为：C．

【分析】根据相反数的性质求解即可。
2．【答案】D
【解析】【解答】解：俯视图：图1，第一行是三个正方形，第二行左侧是一个正方形，图2，第一行是三个正方形，第二行左侧是一个正方形，俯视图没有变化；主视图：图1，第一层是三个正方形，第二层在左侧有一个正方形，图2，第一层是三个正方形，第二层在右侧有一个正方形，故主视图发生了变化；左视图：图1，第一层是两个正方形，第二层有一个靠左的正方形，图2，第一层是两个正方形，第二层有一个靠左的正方形，故左视图没有发生改变．综上所述：图1变化至图2，则三视图中没有发生变化的是左视图和俯视图．
故答案为：D．

【分析】根据三视图的定义求解即可。
3．【答案】C
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.

【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
4．【答案】B
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BMF+∠MFD=180°，
∵∠BMF=152°，
∴∠MFD=180°-∠BMF=180°-152°=28°，
∵FM平分，
∴∠EFD=2∠MFD=56°，
∵AB∥CD，
∴∠ENM=∠EFD=56°，
故答案为：B．

【分析】先利用平行线的性质可得∠MFD=180°-∠BMF=180°-152°=28°，再利用角平分线的定义可得∠EFD=2∠MFD=56°，最后利用平行线的性质可得∠ENM=∠EFD=56°。
5．【答案】C
【解析】【解答】解：A.选项不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B.选项不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C.选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
D.选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：C．

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可。
6．【答案】C
【解析】【解答】解：∵把RtΔABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△ A'B'C'，
∴A'A = CC'=3， AA'//BC'，
在Rt△ABC中，
∵AB=10，AC=6， BC =B'C'==8，
∵AA'//BC'，
∴四边形ABC'A'是梯形，
∴四边形AB C'A'的面积
= (AA'+ BC')× AC= (6+8+6) ×6=60．
故答案为：C．

【分析】根据平移的性质可得A'A = CC'=3， AA'//BC，再利用梯形的面积公式求出四边形AB C'A'的面积即可。
7．【答案】A
【解析】【解答】解：A. ，故符合题意，
B. ，∵，
∴选项计算错误，故不符合题意，
C. ，
∵，
∴选项计算错误，故不符合题意；
D. ，∵，
∴选项计算错误，故不符合题意，
故答案为：A．

【分析】利用合并同类项、完全平方公式、平方差公式和幂的乘方逐项判断即可。
8．【答案】D
【解析】【解答】解：A、36.2出现的次数最多，则这一周体温数据的众数是36.2，不符题意；
B、将这一周体温数据按从小到大进行排序为，则中位数为36.3，不符题意；
C、这一周体温数据的平均数是，不符题意；
D、这一周体温数据的极差是36.5-36.2=0.3，符合题意；
故答案为：D．

【分析】利用众数、中位数、平均数和极差的定义及计算方法逐项求解判断即可。
9．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，过点G作于H．

由作图可知，GB平分，
∵，，
∴，
根据垂线段最短可知，GP的最小值为3．
故答案为：B．
【分析】过点G作于H，根据角平分线的性质可得，再利用垂线段的性质可得GP的最小值为3。
10．【答案】A
【解析】【解答】解：∵反比例函数，过点A（1，3），
∴k=1×3=3，
∴反比例函数解析式为：，
∵点A′（3，b）在反比例函数的图象上，
∴3b=3，
解得：b=1，
∴A′（3，1），
∵点B在直线y=x上，
∴设B点坐标为：（a，a），
∵点A（1，3），A′（3，1），
∴A点向下平移2个单位，再向右平移2个单位，即可得到A′点，
∵四边形AA′B′B是平行四边形，
∴B点向下平移2个单位，再向右平移2个单位，即可得到B′点（a+2，a-2），
∵点B′在反比例函数的图象上，
∴（a+2）（a-2）=3，
解得：a=±（负数不合题意），
即B点坐标为：（，）．
故答案为：A.

【分析】利用反比例函数图象上点的坐标性质得出A'的坐标，再利用平行四边形的性质假设出点B的坐标，进而表示出B'点坐标，即可代入反比例函数解析式得出答案。
11．【答案】B
【解析】【解答】解：过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，

∵菱形中，，
∴，为等边三角形，
∴，，
∴在中，，
∴，
∴此时得到最小值，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：B.

【分析】过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，根据含30°角的直角三角形的性质可得，此时得到最小值，，再利用锐角三角函数求出即可。
12．【答案】C
【解析】【解答】解：∵抛物线与直线只有一个交点M，
∴方程组只有一组实数解，
∴，
∴，
∴，
即，
∴方程可以化为，
即，
∴，
∴
∴，
∵点在第一象限，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∵，
∴t随b的增大而增大，
∵时，，
时，，
∴t的取值范围为．
故答案为：C．

【分析】根据二次函数图象和性质直接判断即可。
13．【答案】
【解析】【解答】解：原式，
故答案为.
【分析】利用完全平方公式因式分解即可。
14．【答案】
【解析】【解答】解：由题意作树状图如下：

由树状图可知，共有9种结果，两次都摸出红球结果有1次，
所以，两次都摸出红球概率是．
故答案为：．

【分析】先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
15．【答案】1
【解析】【解答】解：∵代数式与代数式的和为1，
∴，
去分母得，
，
去括号得，
，
移项并合并同类项得，
，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
故答案为：1．

【分析】根据题意列出方程，再求解即可。
16．【答案】9
【解析】【解答】解：设正多边形的外角为x度，则内角为度，
由题意得：，
解得：，
则正多边形的边数为：，
即这个正多边形的边数为9，
故答案为：9.

【分析】设正多边形的外角为x度，则内角为度，根据题意列出方程求出x的值，再利用正多边的边数=外角和÷外角的度数可得答案。
17．【答案】
【解析】【解答】解：连接，

∵，
∴，
∵，为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
即，
∴，
故答案为：．

【分析】连接OC，利用割补法可得，再将数据代入计算即可。
18．【答案】
【解析】【解答】解：

由翻折的性质可知，EB=EB′，∠B=∠AB′E=∠EB′D=90°，
在Rt△EBF和Rt△EB′D中，，
∴Rt△EBF≌Rt△EB′D（HL），
∴BF=DB′，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠CDB′=∠EB′D=90°，
∴四边形ECDB′是矩形，
∴DB′=EC=1，
∴BF=EC=1，
由翻折的性质可知，BF=FG=1，∠FAG=45°，∠EGF=∠B=∠AGF=90°，
∴AG=FG=1，
∴AF=．
∴AB=AB′=1+，
∴AD=AB′+DB′=2+，
故答案为：2+．

【分析】先求出DB′=EC=1，再求出AB=AB′=1+，最后利用线段的和差可得AD=AB′+DB′=2+。
19．【答案】（1）解：原式=1+
=1++3
=4；
（2）解：原式=
=
=
=；
∵分母不为零，
∴a-1≠0，且a+1≠0，且a≠0，
∴a≠1且a≠-1且a≠0，
∴当a=2时，原式=．
【解析】【分析】（1）先利用0指数幂、负指数幂、绝对值的性质和特殊角的三角函数值化简，再计算即可；
（2）先利用分式的混合运算化简，再将a的值代入计算即可。
20．【答案】（1）6；18；；
（2）解：由统计表可知，抽取的这40名学生平均每天睡眠时间的中位数为第20个和第21个数据的平均数，∵1组6，2组12，6+12=18＜20，3组18，18+18=36＞21，∴中位数落在第3组，故答案为3；
（3）解：该校学生中睡眠时间符合要求的人数为800×=440（人），
答：估计该校学生中睡眠时间符合要求的人数为440人．
【解析】【解答】解：(1)7≤t＜8时，分别为7，7.5，7，7，7.5，7.5，
频数为m=6，
9≤t＜10时，频数为n=40-6-12-4=18，
∴a=×100%=15%，
b=×100%=45%，
故答案为6，18，15%，45%；

【分析】（1）根据40名学生平均每天的睡眠时间即可得出结果；
（2）由中位数的定义即可得出结论；
（3）由学校总人数×该校学生中睡眠时间符合要求的人数所占的比例，即可得出结果。
21．【答案】（1）解：ED与⊙O相切．
理由：连接OD，CD．

∵AC是直径，
∴ ∠ADC=90°，
在Rt△BDC中，E为BC的中点，
∴DE=EC，
∴∠3=∠2，
又∵OD=OC，
∴∠1=∠4，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠ODE=∠3+∠4=90°，
∴ED与⊙O相切；
（2）解：∵∠A+∠1=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠A=∠2，
∵∠DEC=∠A，
∴∠2=∠3=∠DEC=60°，
∴∠A=60°，
∴∠DOC=2∠A=120° ，
∴弧DC的长=．
【解析】【分析】（1）连接OD，CD，先证明∠ODE=∠3+∠4=90°，再结合OD是半径可得ED与⊙O相切；
（2）先求出∠DOC=2∠A=120° ， 再利用弧长公式求解即可。
22．【答案】（1）解：∵斜坡DE的坡度i=1：2.4，DE=52米，
∴设EH=x，则DH=2.4x．
在Rt△DEH中，
∵EH2+DH2=DE2，即x2+=522，
解得，x=20（米）（负值舍去），
∴EH=20米；
（2）解：过点E作EM⊥AC于点M，

∵DH=2.4x=48（米），
∴CH=DH+DC=48+60=108（米）．
∵EM⊥AC，AC⊥CD，EH⊥CD，
∴四边形EHCM是矩形，
∴EM=CH=108米，CM=EH=20米．
在Rt△AEM中，
∵∠AEM=37°，
∴AM=EM•tan37°≈108×0.75=81（米），
∴AB=AM+CM﹣BC=81+20-78=23（米），
答：信号塔AB的高度为23米．
【解析】【分析】（1） 根据坡度的定义可得DE，设EH=x，则DH=2.4x．在Rt△DEH中，EH2+DH2=DE2，即x2+=522， 解之即可；
（2）过点E作EM⊥AC于点M，先证四边形EHCM是矩形 ，在Rt△AEM中， 根据正切的定义求出AM。
23．【答案】（1）解：设该药店甲种口罩每袋的售价为x元，乙种口罩每袋的售价为y元，根据题意得：，
解这个方程组得：，
故该药店甲种口罩每袋的售价为25元，乙种口罩每袋的售价为20元；
（2）解：设该药店购进甲种口罩m袋，购进乙种口罩袋，根据题意得：
，
解这个不等式组得：65≤m≤75，
设药店获利W元，则有：
，
故当m=75时，W最大，（元），
故该药店购进甲种口罩75袋，购进乙种口罩25袋时，获利最大，最大利润为475元．
【解析】【分析】（1）设该药店甲种口罩每袋的售价为x元，乙种口罩每袋的售价为y元，根据题意列方程组，解之即可；
（2）设该药店购进甲种口罩m袋，购进乙种口罩（100-m）袋，根据题意列不等式组求出m的取值范围，设药店获利W元，写出函数解析式，根据一次函数的性质即可解决问题。
24．【答案】（1）相等；垂直
（2）解：数量关系：；位置关系：BM⊥DN．理由如下：
如图，∵四边形ABCD和四边形AMPN都是矩形，

∴∠BAD=∠MAN=90°，
∴∠BAD-∠MAD=∠MAN-∠MAD，
∴∠BAM=∠DAN，
∵，
∴，
∴，
∴DN=BM．
延长BM交AD于点O，交DN于点H，
∵，
∴∠ABM=∠AND，
又∵∠AOB=∠DOH，
∴∠OHD=∠OAB=90°，即BM⊥DN．
（3）解：∵AB=，AM=1，，
∴AN=，
分类讨论：连结MN．

①如图，当MN位于AB上方时，
在中，由勾股定理得，
∴AB=MN，
又∵MN∥AB，
∴四边形ABMN是平行四边形，
∴BM=AN=，
∵DN=BM，
∴DN=3．
②如图，当MN位于AB下方时，连结BN，

同理可得，四边形ABNM是平行四边形，
∴BN=AM=1，BN∥AM，
∴
又，
∴B、N、P在一条直线上，
∴∠BPM=90°，
∴BP=BN+NP=2，MP=AN=，
∴在Rt△BPM中，，
∵DN=BM，
∴DN=．
综上所述，DN的长为3或．
【解析】【解答】解：(1)相等；垂直．理由如下：
如图，∵四边形ABCD和四边形AMPN都是正方形，

∴，，，
∴，即：，
∴，
∴BM＝DN，．
延长BM交AD、DN于点E、F，
在和中，
∵，，且，
∴，
∴．

【分析】（1）先证明，可得BM＝DN，．延长BM交AD、DN于点E、F，在和中利用三角形内角和公式可得；
（2）先证， 可得DN=BM， ∠ABM=∠AND，延长BM交AD于点O，交DN于点H， 利用三角形内角和公式可得 ∠OHD=∠OAB=90°，即BM⊥DN；
（3）当时，可证四边形ABMN是平行四边形， 分为两种情况讨论： ①当MN位于AB上方时，连结MN； ②当MN位于AB下方时，连结BN；利用勾股定理可得DN。
25．【答案】（1）解：∵抛物线过顶点(1，4)，
所以可以设抛物线解析式为：，
将B(3，0)代入得，，
∴抛物线的解析式为：，
即：；
（2）解：如图，过点M作轴交直线BC于点，过点A作轴交直线BC于点，

∵直线BC过点C(0，3) ，
∴设直线BC的表达式为：，
将B(3，0)代入，
得k=-1，
∴：，
，
，
∴△∽△，
∴=，
设M(m，)，则（m，），
∴=-()=，
令，解得，
∴A(-1，0)，
∵：， 令，解得，
∴(-1，4)，
∴，
∴==，
∵＜0，
当m==时，最大，
把m=代入得，==，
把m=代入M(m，)，
解得M点坐标为（，）；
（3）解：取线段BQ的中点G，再将QG绕点Q旋转90°得到，
则tan∠MBQ=，直线与抛物线的交点即为点M，
①将QG绕点Q顺时针旋转90°，得到，
分别过点、点B作x轴垂线，与过Q点的水平线分别交于点N、Z，

∵QG绕点Q旋转90°得到，
，
轴，
，
，
，
∴△∽△ZBQ，
∵G是QB的中点，，
∴，
∴，，
，
∴，
设lBG′：，将B(3，0)，代入，
得，解得，
∴lBG′：，
由，
解得：或（舍去），
∴M(，)；
②如图，将线段QG绕点Q逆时针旋转90°得到QG″，
连接G″B并延长交抛物线于点M，过G″作x轴平行线交y轴于点L，

∵旋转90°，∴，
，
，
又∵，
∴△LQG″∽△OBQ，且相似比为，
∴LG″，，
，
∴G″，
又∵B(3，0)，
设：，
将G″，B(3，0)代入，
得，解得，
∴：，
由 ，
解得：或（舍去），
∴M(0，3)，
综上所述，点M的坐标为（，）或（0，3）．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法可得抛物线的解析式；
（2）过点M作轴交直线BC于点，过点A作轴交直线BC于点，利用待定系数法可得直线BC的表达式 ，可证
∽△，=， 设M(m，)，则（m，），=-()=，
求出 ， 则 ==， 利用二次函数的性质可得m，进而求出M点坐标 ；
（3）取线段BQ的中点G，再将QG绕点Q旋转90°得到，则tan∠MBQ=，直线与抛物线的交点即为点M，分为两种情况讨论：①将QG绕点Q顺时针旋转90°，得到，②将线段QG绕点Q逆时针旋转90°得到QG″，利用三角形相似确定直线的解析式，将二次函数解析式和直线解析式联立方程组，即可求出点M的坐标。