山东省威海乳山市2022年中考一模数学试题及答案

这是一份山东省威海乳山市2022年中考一模数学试题及答案，共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 中考一模数学试题
一、单选题
1． 的倒数是（）
A． B．5 C． D．
2．对于下图所示的几何体，正确的俯视图是()

A． B．
C． D．
3．据报道，在中国科研团队在联合攻关下，成功构建76个光子的量子计算原型机“九章”.实验显示，当求解5000万个样本的高斯玻色取样时，“九章”仅需200秒.从运算等效来看，“九章”的计算用时仅为“悬铃木”用时的百亿分之一.“百亿分之一”用科学记数法可以表示为()
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是()
A． B．
C． D．
5．“玉兔”在月球表面行走的动力主要来自于太阳光能，要使接收太阳光能最多，就要使光线垂直照射在太阳光板上．某一时刻太阳光的照射角度如图所示，要使得此时接收的光能最多，那么太阳光板绕支点A逆时针旋转的最小角度为()

A． B． C． D．
6．在数轴上，点A，B表示的数分别是 和2，则线段AB的中点表示的数是()
A． B． C． D．
7．化简 的结果是()
A． B． C． D．
8．如图，四边形ABCD和AECF都是菱形，点E，F在对角线BD上，∠ABC=60°，∠AEC=120°， ，则AB=()

A． B． C． D．
9．【材料阅读】
材料1：从三张不同的卡片中选出两张排成一列，有6种不同的排法.抽象成数学问题，就是从3个不同的元素中选取2个元素的排列，排列数记为 .一般地，从n个不同的元素中选取m个元素的排列数记作 ，则： （m≤n）．例：从5个不同的元素中选取3个元素排成一列的排列数为 ．
材料2：从三张不同的卡片中选取两张，有3种不同的选法.抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素的组合，组合数为 ．一般地，从n个不同的元素中选取m个元素的组合数记作 ，则： ．例：从6个不同的元素选3个元素的组合数为 ．
【问题解决】
某单位要从9人中选取4人参加防护新冠疫情志愿服务活动，不同的选法共有()
A．126种 B．63种 C．252种 D．21种
10．把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A-45°，∠D=30°，斜边AB=6，DC=7，把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长度为（　　）

A． B．5 C．4 D．
二、多选题
11．甲、乙二人相约去科技创新大厦做核酸检测．下图表示的是他们在行走的过程中，离单位的距离y（单位：米）和行走的时间x（单位：分）间的关系．下列说法正确的是()

A．甲、乙二人第一次相遇，停留了10分钟
B．甲先到达目的地
C．甲停留10分钟之后提高了行走速度
D．甲行走的平均速度比乙行走的平均速度快
12．如图，在□ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF，BF.下列结论正确的是()

A．∠ABC=2∠ABF B．EF=BF
C．S四边形DEBC=2S△EFB D．∠CFE=4∠DEF
三、填空题
13．计算： 的结果是　 　．
14．分解因式： 　 　．
15．已知方程 的一个根为 ，则另一根为 　 　．
16．如图，AB是⊙O的直径，DA，DC与⊙O相切于点A，C.若AB=AD，则∠ABC的正切值为　 　.

17．如图，过原点的直线与反比例函数 的图象交于A，B两点，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，连结AC交反比例函数图象于点D．AE为∠BAC的平分线，过点B作AE的垂线，垂足为E，连结DE，若AC＝3DC，△ADE的面积为6，则k的值为　 　．

18．如图，将正方形ABCD放置在平面直角坐标系中，点B为坐标原点，点C（4，0），A分别在x轴、y轴上，点E是BC边上一动点，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，得到线段EP，Q是DE的中点，连接PQ，当PQ的长度取最小值时，BE的长度为　 　.

四、解答题
19．解不等式组： .
20．2020年12月17日，中国研制的嫦娥五号返回器成功携带月球样品着陆地球，在接近大气层时，它的飞行速度接近第二宇宙速度，约为某列高铁全速行驶速度的112倍．如果以第二宇宙速度飞行560千米所用时间比该列高铁全速行驶10千米所用时间少50秒，那么第二宇宙速度是每秒多少千米？
21．某公司共有A，B，C三个部门，根据每个部门的员工人数和每人所创的年利润情况，绘制成如下的统计表和扇形图：
各部门人数及每人所创年利润统计表
部门
员工人数/人
每人所创的年利润/万元
A
5
10
B
b
8
C
c
5

根据上述信息，解决下列问题：
（1）在扇形图中，C部门所对应的圆心角的度数为；
（2）在统计表中，c的值为多少人；
（3）该公司员工所创的年利润的中位数是多少万元；
（4）已知A部门有2名男员工和3名女员工.公司要从A部门随机选取两名员工登台宣讲，请用画树状图或列表格的方法，求出恰好选取1名男员工和1名女员工的概率.
22．如图，在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器，先安装支架AB和CD（均与水平面垂直），再将集热板安装在AD上．为使集热板吸热率更高，要求AD与水平线的夹角 为48°，且两支架之间的水平距离为150cm．现测量出屋顶斜面BC与水平面的夹角 为30°，支架AB的高度为20cm，求支架CD的高度．（结果精确到1cm，参考数值： ， ）

23．如图，以AB为直径的⊙O，分别交△ABC的边AC，BC于点D，E，点D为 的中点．过点D作⊙O的切线，交BC于点F，连接DE．

（1）求证：CF=EF；
（2）若AB=16，BE=6，求AD的长度．
24．已知抛物线 与x轴交于点A，B（A在B的左侧），抛物线的对称轴与x轴交于点D，且OB=2OD.

（1）当 时，求抛物线的表达式；
（2）当抛物线 的对称轴在y轴的左侧时，存在垂直于x轴的直线，分别与直线 和抛物线 交于点P，Q，且点P，Q均在x轴下方.请结合图象，求出b的取值范围.
25．在矩形ABCD中，AD= ，CD=3，点P是对角线AC上的一动点（不与点C，A重合），连接PB.

（1）如图Ⅰ，线段PB长度的最小值是　 　；
（2）过点P作PF⊥PB，交边AD所在的直线于点F，连接BF，如图Ⅱ，当点P运动到AC的中点时，BF与AC的交点为G，FP的中点为H，求线段GH的长度；
（3）如图Ⅲ，将矩形ABCD放置在平面直角坐标系中，点A为坐标原点，点D，B分别在x轴、y轴上.当点P在运动的过程中：
①∠FBP的大小是否发生变化？若不变，求出∠FBP的度数；若变化，说明理由；
②若△AFP是等腰三角形，求点F的坐标．

答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ 的倒数是 ．
故答案为：C．
【分析】根据倒数的定义可得答案。
2．【答案】B
【解析】【解答】解：俯视图是从物体上面所看到的图形，从物体上面看，是一个矩形，而且被遮挡了两条线，用两条虚线表示．
故答案为：B．
【分析】俯视图是从物体上面所看到的图形，从物体上面看，是一个矩形，被遮挡了两条线，用两条虚线表示即可．
3．【答案】B
【解析】【解答】解：百亿分之一即为
故答案为：B.
【分析】根据科学记数法一般式：，其中，n为正整数。
4．【答案】C
【解析】【解答】解：A. 与 不是同类项，不能合并，A计算不符合题意；
B. ，B计算不符合题意；
C. ，故此选项符合题意；
D. ，D计算不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据合并同类项、积的乘方、同底数幂相乘及完全平方公式可得答案。
5．【答案】A
【解析】【解答】解：一束光线与太阳光板的夹角为 ，要使光线垂直照射在太阳光板上，则太阳光板绕支点A最小旋转的角度为： ．
故答案为：A
【分析】根据垂直的定义可得光纤与太阳光的夹角为时 ，光线垂直照射在太阳光板上即可求解。
6．【答案】A
【解析】【解答】解：令AB的中点为M，
，
∴ ，
∴AB的中点表示的数是 ，
故答案为：A．
【分析】令AB的中点为M，先求出AB、BM的长，即可求出线段AB的中点表示的数 。
7．【答案】A
【解析】【解答】解：原式



故答案为：A
【分析】按照分式运算法则计算即可。
8．【答案】C
【解析】【解答】解：连接AC交BD于点O，

由菱形的性质可得：AC⊥BD，
∵四边形ABCD和AECF都是菱形，∠ABC=60°，∠AEC=120°，
∴∠ABD=30°，∠AED=60°，
∴ ，
∴ ，
故答案为：C．
【分析】连接AC交BD于点O，由菱形的性质可得：AC⊥BD，∠ABC=60°，∠AEC=120°，∠ABD=30°，∠AED=60° ， 。
9．【答案】A
【解析】【解答】解：根据题意得： ，
故答案为：A．
【分析】利用组合公式 直接结算即可。
10．【答案】B
【解析】【解答】由题意易知：∠CAB=45°，∠ACD=30°，
若旋转角度为15°，则∠ACO=30°+15°=45°．
∴∠AOC=180°－∠ACO－∠CAO=90°．
在等腰Rt△ABC中，AB=6，则AC=BC= ．
同理可求得：AO=OC=3．
在Rt△AOD1中，OA=3，OD1=CD1－OC=4，
由勾股定理得：AD1=5．
故答案为：B．
【分析】首先根据三角板的特点得到相关角的度数，再根据旋转角的度数计算出∠ACO的度数，利用三角形内角和定理计算出∠AOC的度数，判断出△AOC是等腰直角三角形，△AOD1是直角三角形，根据等腰直角三角形的性质计算出AO、OC的长度，再在直角△AOD1中，利用勾股定理计算AD1的长度.
11．【答案】A,B,D
【解析】【解答】解：由函数图象可知在第10分钟两人相遇，在第10分钟-第20分钟两人距离单位的距离没有发生变化即甲、乙二人第一次相遇，停留了20-10=10分钟，故A符合题意；
由函数图象可知甲在第35分钟到达目的地，乙在第40分钟到达目的地，即甲比乙先到目的地，则甲行走的平均速度比乙行走的平均速度快，故B、D符合题意；
由函数图象可知，甲在0-10分钟内走了750米，即在0-10分钟内甲的速度为 米/分，甲在20-35分钟内走了1500-750=750米，即在20-35分钟内甲的速度为 米/分，即甲停留10分钟之后降低了行走速度，故C不符合题意；
故答案为：ABD．
【分析】根据函数图象中的数据得出路程、时间与速度，进而解答即可。
12．【答案】A,B,C
【解析】【解答】解：如图，延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，
∵CD＝2AD，DF＝FC，
∴CF＝AD＝CB，
∴∠CFB＝∠CBF，
∵CD∥AB，
∴∠CFB＝∠FBH，
∴∠CBF＝∠FBH，
∴∠ABC＝2∠ABF．故A选项符合题意；
∵DE∥CG，
∴∠D＝∠FCG，
∵DF＝FC，∠DFE＝∠CFG，
∴△DFE≌△FCG（AAS），
∴FE＝FG，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBG＝90°，
∴BF＝EF＝FG，故B选项符合题意；
∵△DFE≌△FCG，
∴S△DFE＝S△CFG，
∴S四边形DEBC＝S△EBG，
∵FE＝FG，
∴S四边形DEBC＝S△EBG＝2S△BEF，故C选项符合题意；
∵AH＝HB，DF＝CF，AB＝CD，
∴CF＝BH，
∵CF∥BH，
∴四边形BCFH是平行四边形，
∵CF＝BC，
∴四边形BCFH是菱形，
∴∠BFC＝∠BFH，
∵FE＝FB，FH∥AD，BE⊥AD，
∴FH⊥BE，
∴∠BFH＝∠EFH＝∠DEF，
∴∠EFC＝3∠DEF，故D选项不符合题意，
故答案为：ABC．
【分析】延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．证明EF=FG，四边形BCFH是菱形，FH⊥BE即可得到答案。
13．【答案】2
【解析】【解答】解：原式



【分析】按照实数运算法则计算即可。
14．【答案】
【解析】【解答】原式
故答案为：
【分析】提取公因式法和公式法相结合进行因式分解即可.
15．【答案】4
【解析】【解答】解：∵
由根与系数之间的关系可知x1+x2= =6
∴2+x2=6
x2=4
故答案为：4．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求出另一根。
16．【答案】2
【解析】【解答】解：如图，连接 ，

，
，
与 相切于点 ，
，
，
垂直平分 ，
由圆周角定理得： ，
，
，
，
，
故答案为：2．
【分析】连接 ，根据切线的性质可得 垂直平分 ，由圆周角定理得： ， ，则。
17．【答案】
【解析】【解答】解：连接OE，

在Rt△ABE中，点O是AB的中点，
∴OE＝ AB＝OA，
∴∠OAE＝∠OEA，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠OAE＝∠DAE，
∴∠OEA＝∠DAE，
∴AD∥OE，
∴S△ADE＝S△AOD，
过A作AM⊥x轴于M，过D作DN⊥x轴于N，
易得S梯形AMND＝S△AOD，△CAM∽△CDN，
∵CD：CA＝1：3，S梯形AMND＝S△AOD＝S△ADE＝6，
∴S△AOC＝9，
延长CA交y轴于P，易得△CAM∽△CPO，
设DN＝a，则AM＝3a，
∴ON＝ ，OM＝ ，
∴MN＝ ，CN＝ ，
∴CM：OM＝3：1，
∴S△CAM：S△AOM＝3：1，
∴S△AOM＝ ，
∴k＝ ．
故答案为 ．
【分析】连接OE，根据直角三角形斜边上的中线，可得OE＝ AB＝OA，可得∠OAE＝∠OEA，利用角平分线的定义可得∠OAE＝∠DAE，从而得出∠OEA＝∠DAE，可证AD∥OE，可得S△ADE＝S△AOD，过A作AM⊥x轴于M，过D作DN⊥x轴于N，易得S梯形AMND＝S△AOD，△CAM∽△CDN，可得S梯形AMND＝S△AOD＝S△ADE＝6，从而得出∴S△AOC＝9，延长CA交y轴于P，易得△CAM∽△CPO，设DN＝a，则AM＝3a，从而求出S△CAM：S△AOM＝CM：OM=3：1，据此求出S△AOM＝ ，根据反比例函数图象k的几何意义即得结论.
18．【答案】
【解析】【解答】解：如下图，过点F作FG⊥x轴，垂足为G，

以点B为原点， BC 所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设点 E ( a ，0)，正方形的边长为4，
∴点 D (4，4)，
∵FG⊥x轴，
∴∠EGF =90°，
∵∠AEF =90°，
∵∠BAE =∠GEF ，
∵∠ABE =∠EGF =90°，AE = EF ，
∴△ABE≌△EGF ，
∴BE = GF ，AB=EG =4，
∴ ， ，
∴
= ，
=
=
=
=
当a= 时，即BE为 时， MF 有最小值，
【分析】过点F作FG⊥x轴，垂足为G，以点B为原点， BC 所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设点 E ( a ，0)，正方形的边长为4，证明△ABE≌△EGF ，求出 ， ，根据两点距离公式可得MF=，则当a= 时，即BE为 时， MF 有最小值。
19．【答案】解：
由①得，
解得： ；
由②得，
解得： ．
所以，不等式组的解集为 ．
【解析】【分析】按照步骤解不等式组即可。
20．【答案】解：设第二宇宙速度是每秒xkm，则高铁全速行驶的速度是每秒 km，
根据题意，
，
解得 ，经检验 是该方程的解．
所以，第二宇宙速度是每秒11.2千米．
【解析】【分析】设第二宇宙速度是每秒xkm，则高铁全速行驶的速度是每秒 km，根据“以第二宇宙速度飞行560千米所用时间比该列高铁全速行驶10千米所用时间少50秒”列方程求解即可。
21．【答案】（1）解：在扇形图中，C部门所对应的圆心角的度数为：360°×30%＝108°；
（2）解：A部门的员工人数所占的百分比为：1−30%−45%＝25%，
各部门的员工总人数为：5÷25%＝20（人），
∴b＝20×45%＝9，c＝20×30%＝6，
（3）解：根据总人数为20，每人所创的年利润第10和第11个数据分别为：8，8
则中位数为8
（4）解：分别用 表示A部门有2名男员工和3名女员工，列表如下，
　






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由于总共有20种可能的结果，符合条件的结果有12种．
故恰好选取1名男员工和1名女员工的概率
【解析】【分析】（1）利用360°乘以C部门所占的百分比可得C部门所对应的圆心角的度数 ；
（2）先求出 A部门的员工人数所占的百分比 ，再求出各部门的员工总数，做后求出b、c；
（3）根据中位数的定义即可求出；
（4）利用列表即可求出恰好选取1名男员工和1名女员工的概率。
22．【答案】解：如图，过点B作BE⊥DC交DC延长线于点E，过点A作AF⊥DC交DC延长线于点F．

根据题意可知EF=AB=20cm，AF=BE=150cm．
在Rt△CBE中， ，
∴CF=CE-EF= 86.5-20=66.5cm．
在Rt△ADF中， ，
∴CD=DF-CF=166.5-66.5=100cm．
故支架CD的高度为100 cm．
【解析】【分析】 过点B作BE⊥DC交DC延长线于点E，过点A作AF⊥DC交DC延长线于点F。根据题意可知EF=AB=20cm，AF=BE=150cm．
在Rt△CBE中， ，CF=CE-EF= 86.5-20=66.5cm．在Rt△ADF中， ，则CD=DF-CF=166.5-66.5=100cm。
23．【答案】（1）证明：连接OD，AE．

∵DF为⊙O的切线，
∴OD⊥DF．
∵点D为弧AE的中点，
∴OD⊥AE．
∴DF∥AE．
∴ ．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°．
∴BC⊥AE．
∴OD∥BC．
∴ ．
∴ ．
即CF=EF．
（2）解：连接BD．

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∵AD=CD，
∴AB=BC=16．
∵BE=6，
∴CE=10．
∵四边形ABED为圆内接四边形，
∴∠DEC=∠CAB．
∵∠C=∠C，
∴△CDE∽△CBA．
∴ ．
即 ．
解得， ．
【解析】【分析】 （1）连接OD，AE．可证DF∥AE，OD∥BC，可得，， ，即CF=EF；
（2）连接BD．根据圆周角定理可的AB=BC=16，CE=10，根据圆内接四边形的性质可证△CDE∽△CBA， 即 解之即可。
24．【答案】（1）解：∵ ，当 时， ，
∴对称轴为 ，
∵抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧），抛物线的对称轴与x轴交于点D，

OB=2OD


代入
得
抛物线解析式为
（2）解：∵抛物线的对称轴在y轴左侧，如图，

∴b>0．
设直线 与x轴交点为点E．
∴点E的坐标为（ ，0）．
抛物线的对称轴为直线 ．
∴点D的坐标为（ ，0）．
∵OB=2OD， ，
∴OB=b．
根据对称性可得点A的坐标为（-2b，0）．
存在垂直于x轴的直线，分别与直线 和抛物线 交于点P，Q，且点P，Q均在x轴下方.
．
解得， ．
所以，b的取值范围是 ．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）设直线 与x轴交点为点E，则点E的坐标为（ ，0），根据对称性可得点A的坐标为（-2b，0），由存在垂直于x轴的直线，分别与直线 和抛物线 交于点P，Q，且点P，Q均在x轴下方可得 ，解之即可。
25．【答案】（1）
（2）解：如图，

∵点P运动到AC的中点， ，
∴ ，
∵ 中， ，
，
∴△ABP是等边三角形，
∴BA=BP=3．
又∵ ， ，
∴△BAF≌△BPF，
∴AF=FP，
∴BF是AP的垂直平分线，
∴点G是AP中点，
∵点H是FP的中点，
∴GH= AF．
∵△ABP是等边三角形，点G是AP中点，
，
∵ 中， ，
，
解得 ，
．
（3）解：①∠FBP的大小不变．理由如下：
如图，过点P作MN⊥BC，分别交BC，AD于点M，N，则MN⊥AD．

设CP=x，则 ， ，
∴ ， ，
，
，
又 ，
∴△PBM∽△FPN．
，
∵ 中， ，
，
∴∠FBP=30°．
②如图，

当点F在x轴正半轴上时，∠AFP>90°．
∴FA=FP．
由（2）知 ，
∴∠FPA=∠FAP=30°，∠AFP=120°，∠ABP=60°．
∴△ABP是等边三角形，
∴BP=AB= 3．
又FA=FP，BF= BF，
∴△BAF≌△BPF．
∴∠ABF=∠PBF= ∠ABP=30°
∵ 中， ，
，
解得 ，
∴点F的坐标为 ；
如图，

当点F在x轴负半轴上时，∠FAP>90°．
∴AF=AP．

∴∠AFP=∠APF=
∵∠BPF=90°，
∴∠BPC= ，
∵∠BCP= 30°，
∴∠PBC= ，
∴∠PBC=∠BPC，
∴CP=CB= ，
∴AF=AP= ．
∴点F的坐标为 ．
综上所述，点F的坐标为 或 ．
【解析】【解答】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，AD= ，CD=3，
∴AB=CD=3，BC=AD= ， ，
∴ ，
当 时， 最小，此时 为 斜边 上的高，
，
即 ，
，
故答案为： ．
【分析】根据矩形的性质求出AB、BC、AC，当 时， 最小，此时 为 斜边 上的高，根据 可得BP；
（2）可证△ABP是等边三角形，再证△BAF≌△BPF，AF=FP， ， 从而得出答案；
（3） ①过点P作MN⊥BC，分别交BC，AD于点M，N，则MN⊥AD．设CP=x，则 ， ， 利用△PBM∽△FPN，得 ，则 ， 可得∠FBP=30°．②根据等边三角形的性质分类讨论：当点F在x轴正半轴上时，∠AFP>90°， 当点F在x轴负半轴上时，∠FAP>90°。