最后一题押题卷+--2022年初中数学中考备考冲刺（含答案）

这是一份最后一题押题卷+--2022年初中数学中考备考冲刺（含答案），共47页。试卷主要包含了【基本模型】等内容，欢迎下载使用。
最后一题考前押题
1．如图，抛物线 y＝ax2+bx+c 与 x 轴交于 A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与 y轴交于点 C．直线 l 与抛物线交于 A、D 两点，与 y 轴交于点 E，点D 的坐标为（4，3）．

(1)求抛物线的解析式与直线 l 的解析式；
(2)若点 P 是抛物线上的点且在直线 l 上方，连接 PA、PD，求△PAD 面积最大值；
(3)由（2）并求出点 P 的坐标．
2．如图，抛物线（其中）与x轴交于A、B两点，交y轴于点C．

(1)直接写出∠OCA的度数和线段AB的长（用a表示）；
(2)如图①，若，点D在抛物线的对称轴上，，求△BCD与△ACO的周长之比；
(3)如图②，若，动点P在线段OA上，过点P作x轴的垂线分别与AC交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△BPM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．
3．在平面直角坐标系中，抛物线与轴从左至右依次交于，两点，交轴于点，连接，．

(1)求，两点以及抛物线顶点的坐标；
(2)当时，直线平行于且与抛物线只有一个交点，求点的坐标；
(3)当时，二次函数有最小值，求的值．
4．如图，抛物线与x轴交于、两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中点C的横坐标是2．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点P，使得△PBC的周长最小，并求出点P的坐标；
(3)在平面直角坐标系中，是否存在一点E，使得以E、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（1）【基本模型】
如图1，已知，线段AC与BD交于点P，且P为线段BD的中点．求证：；
（2）【应用模型】
如图2，在和中，，，且，，将绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE．当在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）【拓展迁移】
如图3，在【应用模型】的条件下，当时，点D落在AB边上，请判断PC与PE的数量关系和位置关系，并证明你的结论．

6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，且．

(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线上有一点M，M的横坐标为，过点M作于点H，作ME平行于y轴交直线BC于点E，交x轴于点F，求的周长的最大值．
(3)点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作轴，点Q的横坐标为．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．
①求m的取值范围；
②当时，直接写出线段PQ与二次函数的图象交点个数及对应的m的取值范围．
7．（1）模型研究如图①，在中，，为边延长线上一点，且则______；
（2）模型应用如图②，在中，若，，求的长；
（3）模型迁移如图③，点为边上一点，，，交的延长线于若，，求的面积．

8．如图1，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，点为轴上方抛物线上的动点，点为轴上的动点，连接，，．

(1)求该抛物线所对应的函数解析式；
(2)如图1，当点的坐标为，求出此时面积的最大值；
(3)如图2，是否存在点，使得是以为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，抛物线与x轴交于点，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC．

(1)点C的纵坐标为______（用含b的式子表示），______度；
(2)当时，若点P为第一象限内抛物线上一动点，连接BP，CP，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标；
(3)已知矩形ODEF的顶点D，F分别在x轴、y轴上，点E的坐标为（3，2）．
①抛物线的顶点为Q，当AQ的中点落在直线EF上时，求点Q的坐标；
②当抛物线在矩形内部的部分对应的函数值y随x的增大而减小时，请直接写出b的取值范围．
10．如图，抛物线与直线y＝x＋n交于点和点B．

(1)求m和n的值；
(2)求点B的坐标；
(3)结合图象请直接写出不等式的解集；
(4)点P是直线AB上的一个动点，将点P向左平移5个单位长度得到点Q，若线段PQ与抛物线只有一个公共点，直接写出点P的横坐标的取值范围．
11．已知抛物线于经过点，并与x轴交于另一点B，交y轴于点C，其对称轴为．

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，点P是抛物线上位于直线BC上方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交y轴于点D，交直线BC于点E，当取最大值时，求点P的坐标；
(3)已知点M为抛物线对称轴l上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使得点M与点N关于直线BC对称，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
12．已知抛物线经过三点，顶点为P．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如果是等边三角形，求的面积；
(3)若直线与抛物线交于D，E两点，直线与抛物线交于F，G两点，的中点为M，的中点为N，且．求点P到直线距离的最大值．
13．在平面直角坐标系中，已知抛物线：交x轴于两点，与y轴交于点．


（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接，过点B作，垂足为E，若，求点D的坐标；
（3）如图2，点M为第四象限抛物线上一动点，连接，交于点N，连接，记的面积为，的面程为，求的最大值．
14．在平面直角坐标系中，对于点，如果将其坐标作如下变换：，进而得到点，则称点为点P的“变换点”．例如：点的“变换点”是点，点的“变换点”是点．
(1)点的“变换点”的坐标是______；
(2)求直线上所有点的“变换点”所形成的图像的函数解析式；
(3)若抛物线上存在点的“变换点”，求k的取值范围．
15．如图，在中，，，点M在BC边所在的直线上，，，以PQ为直径的半圆O与BC相切于点P，点H为半圆弧PQ上一动点．

探索：如图1，当点P与点M重合时，则______，线段CH的最小值为______．
思考：若点H从Q开始绕圆心O逆时针旋转，速度为15度/秒，同时半圆O从M点出发沿MB做平移运动，速度为1个单位长度/秒，运动时间为t秒．解决下列问题：
（1）如图2，当PQ与D点在一条直线上时，求点O到CD的距离及扇形OHQ的面积；
（2）当圆O与CD相切于点K时，求的度数：
直接判断此时：弧HQ长______弦KQ长（填：＜、＞或＝）
（3）当弧HQ（包括端点）与边有两个交点时，直接写出：运动时间t的取值范围．
16．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G为劣弧AD上一动点，AG与CD的延长线交于点F，连接AC、AD、CG、DG．tan∠DGF＝m（m为常数，且m>1）

(1)求证：∠AGC＝∠DGF；
(2)求的值（用含m的式子表示）：
(3)设∠GDC－∠GCD＝α，∠F＝β．
①求α与β的数量关系：
②当α＝90°，且时，求m的值．
17．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=−x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点D为直线AC上方抛物线上一动点，
①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，求的最大值；
②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的∠DCF＝2∠BAC，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
18．如图，抛物线：的对称轴为直线，且抛物线经过，两点，交轴于另一点．


(1)已知：，．
①求抛物线的解析式；
②过点作直线的垂线交轴于点，平移直线交抛物线于点，两点，连结，．若△为以为斜边的直角三角形，求平移后的直线的解析式．
(2)在（1）的条件下，设对称轴直线与轴交于，点为抛物线上对称轴左侧一点，直线交抛物线于另一点，点关于抛物线对称轴对称点，直线交抛物线对称轴于点，在点运动过程中长是否为一定值，若为定值，请求出其值，若不为定值，请求出其变化范围．

1．(1)（1）y=-x2+x+3，y=x+1
(2)
(3)(1,)
【解析】
（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）如图1中，过点P作PKy轴交AD于点K．设P（m，-m2+m+3），则K（m，m+1）．因为S△PAD=•（xD-xA）•PK=3PK，所以PK的值最大值时，△PAD的面积最大，求出PK的最大值即可．
（3）根据（2）当PK最大时，求出的m值，代入即可求出P点坐标．
(1)
解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（-2，0）、B（6，0）两点，
∴设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-6），
∵D（4，3）在抛物线上，
∴3=a（4+2）×（4-6），
解得a=-，
∴抛物线的解析式为y=-（x+2）（x-6）=-x2+x+3，
∵直线l经过A（-2，0）、D（4，3），
设直线l的解析式为y=kx+m（k≠0），
则，
解得：，
∴直线l的解析式为y=x+1；
(2)
解：如图1中，过点P作PKy轴交AD于点K．设P（m，-m2+m+3），则K（m，m+1）．

∵S△PAD=•（xD-xA）•PK=3PK，
∴PK的值最大值时，△PAD的面积最大，
∵PK=-m2+m+3-m-1=-m2+m+2=-（m-1）2+，
∵-＜0，
∴m=1时，PK的值最大，最大值为；
(3)
解：由（2）知，P（m，-m2+m+3），当PK最大时，m=1，
则-m2+m+3=-×12+1+3=，
∴P（1，）．
2．(1)，
(2)△BCD与△ACO的周长之比为
(3)存在满足题意的点Q，其坐标为（，－）或（，－）
【解析】
（1）由抛物线，可得到点A，B，C坐标，即可求解；
（2）由圆周角定理和等腰三角形的性质证明，利用相似三角形的性质即可求解；
（3）设点P坐标为（n，0），则，，．作，垂足为R，分类讨论点Q在直线PN的左侧时，点Q在直线PN的右侧时，分别求解即可．
(1)
解：抛物线，
当时，
或，
当时，，
，
，，
，
；
(2)
∵△AOC是等腰直角三角形，
∴，
∵点D在抛物线的对称轴上，，
∴，以点D为圆心，DA为半径作圆，
∴由圆周角定理可得：，
∴△BDC也是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴△BCD与△ACO的周长之比．
(3)
存在点Q满足题意．

设点P坐标为（n，0），则，，．
作，垂足为R，
∵，
∴，
∴
①点Q在直线PN的左侧时，
当x=n-1时，，
Q点的坐标为，R点的坐标为，N点的坐标为（n，）．
∴在中，，
∴时，NQ取最小值1，此时Q点的坐标为（，－）；
②点Q在直线PN的右侧时，当x=n+1时，，
Q点的坐标为．
同理，，
∴时，NQ取最小值1，此时Q点的坐标为，－）．
综上可知存在满足题意的点Q，其坐标为（，－）或（，－）．
3．(1)，B(4m,0)，
(2)
(3)
【解析】
（1）令，解一元二次方程，再根据点和点的位置得出，的坐标；将二次函数化简为顶点式即可得出结论；
（2）将代入抛物线方程，可得出点，的坐标，进而可得出直线的解析式，由平行线的性质可得出，联立直线与抛物线的解析式，利用一元二次方程的解的唯一性可得出的值，进而可得出结论；
（3）需要分情况讨论：当，当，当时，利用二次函数的最值分别讨论即可得出结论．
(1)
∵抛物线与轴从左至右依次交于，两点，
令，即，解得或，
，B(4m,0)，
，
该抛物线的顶点坐标
(2)
∵当时，代入抛物线，得，
，，
当时，代入抛物线，得，
；
直线的解析式为：，
直线平行于，
∴直线BC的解析式为，
与只有一个交点，
令，整理得只有一个解，
，解得．
把代入上式得，解得，
．
(3)
∵二次函数，
由二次函数的性质可知，当，则，则，
同理，当，即，
由二次函数的图象性质可得，当时，，
解得或，均不符合题意，舍去，
同理，当，则，
由二次函数的图象性质可得，当时，，
解得或，均不符合题意，舍去；
综上，的值为．
4．(1)
(2)
(3)存在，E的坐标为或或
【解析】
（1）把、两点代入抛物线的解析式，利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；
（2）先求解抛物线的对称轴为： 结合关于直线对称，所以AC与对称轴的交点为点P，此时 此时的周长最短，再求解AC的解析式即可得到答案；
（3）分三种情况讨论，再利用中点坐标公式列方程，从而可得答案．
(1)
解： 抛物线与x轴交于、两点，

解得：
所以抛物线的解析式为：
(2)
解：
抛物线的对称轴为：
关于直线对称，所以AC与对称轴的交点为点P，
此时
此时的周长最短，
点C的横坐标是2，


设AC为
解得：
所以直线AC为：
当时，


(3)
解： 设
当为对角线时，
所以 解得：

当为对角线时，
所以 解得：

当为对角线时，
所以 解得：

综上：E的坐标为或或
5．（1）见解析；（2），，理由见解析；（3），，证明见解析
【解析】
（1）根据ASA证明即可；
（2）延长EP交BC于F，先证，得出数量关系，再证明是等腰直角三角形，得出位置关系即可；
（3）过点B作，交EP延长线于点F，连接CE，CF，先证，得出数量关系，再证明是等腰直角三角形，得出位置关系即可．
解：（1）

∵，
∴，
∵点P为BD中点，
∴
在和中，
∴（ASA）
（2），，理由如下：

如图2，延长EP交BC于F，
∵，
∴，
∴，
∵点P是线段BD的中点，
∴，
又∵，
∴（ASA），
∴，，
又∵，，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，；
（3），，理由如下：

如图3，过点B作，交EP延长线于点F，连接CE，CF，
同理（2）可证，
∴，，
∵，
∴，
∵当时，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴（SAS）
∴，，
∴
∴
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
6．(1)
(2)
(3)①；②当时，1个交点，当时，2个交点
【解析】
（1）待定系数法求解析式；
（2）根据等腰直角三角形的性质，勾股定理，可得的周长为，根据二次函数的性质判断的最值，从而即可求解；
（3）①根据题意，表示出的长，根据一次函数的性质结合函数图象即可求解；
②根据①的结论，在点的左侧，进而求得关于对称，观察函数图象可知，当的纵坐标小于点纵坐标时，有2个交点，其他情形只有1个交点，据此即可求解．
(1)
由，令，得，即，
，
，
，
即，
，，在抛物线上，
设，将点代入，的，
解得，
，
即；
(2)
，
是等腰直角三角形，
，，
，
是等腰直角三角形，

的周长为
设的直线解析式为，将，代入得，

解得
的直线解析式为
M的横坐标为，则，

当时，的长随着的增大而减小，
当时，取得最大值，最大值为
的周长最大值为
(3)
①的横坐标为m，轴，点Q的横坐标为．
1）当点在点的左边时，如图，


，的长度随着的增大而减小，
此时
解得
2）当点在点左边时，此时

，的长度随着的增大而增大，
故不符合题意，
综上所述当，的长度随着的增大而减小
②由①可知，当时，
设，
的横坐标为m，轴，点Q的横坐标为．
关于对称，
如图，设与抛物线交于点，过点作轴的平行线，

当时，，
令
解得
根据图像可知，当位于上方时，与二次函数的图象1个交点，当位于下方时，2个交点，
即当时，1个交点，当时，2个交点．
7．（1）；（2）；（3）
【解析】
（1）根据三角形外角的性质即可得到；
（2）以为圆心，长为半径画弧交于，作于，这样构造中模型，进一步得出结果；
（3）作交延长线于，以点为圆心，为半径画弧，交于，作于，这样构造出（2）中模型，进一步求得结果．
解：（1）在中，
，，
，
是的外角，
，
故答案为：；
（2）如图，

以A为圆心，长为半径画弧交于，作于，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
；
（3）如图，

作交延长线于，以点为圆心，为半径画弧，交于，作于，
，
，，，
设，则，，
，
，
又∵，
，
，
由（2）模型知：，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
．
8．(1)
(2)
(3)存在，，
【解析】
（1）用待定系数法求解即可；
（2）过点P作PEy轴，交直线AF于点E，用待定系数法求出直线AF的解析式为，设P（n，-n²+2n+3），则E（n,n-4），PE=-n2+2n+3-(n-4)=n2+n+7，所以S△AFG==-,由二次函数最值求解即可；
（3）分两种情况：①当∠PAF=90°时，当∠FPA=90°时，分别求解即可．
(1)
解：把A（3，0）、B（-1，0）代入，
得，
解得，
.
(2)
解：过点P作PEy轴，交直线AF于点E，

设直线AF的解析式为，
，解得：，
，
设P（n，-n²+2n+3），则E（n,n-4），
∴PE=-n2+2n+3-(n-4)=n2+n+7，
∴S△AFG==-=-,
∵-