2020-2021学年上海市华东师范大学第二附属中学高二下学期期末数学试题（含详解）

这是一份2020-2021学年上海市华东师范大学第二附属中学高二下学期期末数学试题（含详解），共18页。试卷主要包含了 函数的反函数________等内容，欢迎下载使用。
华师大二附中2020学年第二学期高二年级数学一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.1. 不等式的解集用区间表示为___________.2. 函数的反函数________.3. 设为奇函数，则___________.4. 已知球O半径为1，A､B是球面上两点，线段的长度为，则A､B两点的球面距离为___________.5. 正方体中，异面直线和所成角的大小为________6. 已知集合，，则集合的子集个数为__.7. 已知，则取到最小值时，______.8. 设，若仅有一个常数使得对于任意的，都有满足方程，这时，的取值的集合为________．9. 在xOy平面上，将双曲线的一支及其渐近线和直线、围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分，记D绕y轴旋转一周所得的几何体为，过作的水平截面，计算截面面积，利用祖暅原理得出体积为________10. 已知函数，其中a，，的最大值为，则的最小值为___________.二､选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.11. 已知l、m、n是空间三条直线，则下列命题正确的是A 若l // m，l // n，则m // nB. 若l⊥m，l⊥n，则m // nC. 若点A、B不在直线l上，且到l的距离相等，则直线AB // lD. 若三条直线l、m、n两两相交，则直线l、m、n共面12. 设，为正实数，则“”是“”成立的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件13. 设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱上的点（不含端点），记直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角是则三个角，，中最小的角是（    ）A  B.  C.  D. 不能确定14. 已知a，b为正整数且，实数x､y满足.若的最大值为40，则满足条件的数对的数目为（    ）A. 5 B. 9 C. 10 D. 11三､解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.15. 沙漏是古代一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时，如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）.（1）如果该沙漏每秒钟漏下0.02cm³的沙，则该沙漏的一个沙时为多少秒？（精确到1秒）（2）细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，求此锥形沙堆的高度. （精确到0.1cm）16. 设函数，函数的图像与函数的图像关于轴对称．(1)若，求值；(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围．17. 如图，在直三棱柱中，，，是的中点．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）试问线段上是否存在点，使与成角？若存在，确定点位置，若不存在，说明理由．18. 已知定义在R上的函数与.（1）对于任意满足的实数p，q，r均有并判断函数的奇偶性，并说明理由（2）函数与（均为奇函数，在上是增函数，在上是增函数，试判断函数与在R上是否是增函数？如果是请证明，如果不是请说明理由.（3）函数与均为单调递增的一次函数，为整数当且仅当为整数.求证：对一切，为整数.
华师大二附中2020学年第二学期高二年级数学一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.1. 不等式的解集用区间表示为___________.【答案】【解析】【分析】直接求解分式不等式即可求出结果.【详解】因为，即，解得，故答案为：.2. 函数的反函数________.【答案】【解析】【分析】由，得出，再由可解出，由此可得出函数的解析式，并标明定义域.【详解】当时，，由，得，因此，，故答案为.【点睛】本题考查反函数解析式的求解，还应注意求解原函数的值域，作为反函数的定义域，考查计算能力，属于基础题.3. 设为奇函数，则___________.【答案】1【解析】【分析】利用列方程，从而求得的值.【详解】依题意为奇函数，所以，，，所以，或.当时，，此时的定义域为，也即为非奇非偶函数，不符合题意.当时，，符合题意.所以的值为.故答案为：4. 已知球O的半径为1，A､B是球面上两点，线段的长度为，则A､B两点的球面距离为___________.【答案】【解析】【分析】由已知中球O的半径为1，线段的长度为，求得，求出弧AB的长度，即可得出答案.【详解】解：因为球O的半径为1，A､B是球面上两点，线段的长度为，在中，，又，则，所以A､B两点的球面距离为.故答案为：.5. 正方体中，异面直线和所成角的大小为________【答案】.【解析】【详解】分析：连接，三角形是直角三角形，根据正方形的性质得到线面垂直进而得到线线垂直.详解：连接，三角形是直角三角形，根据正方形的性质得到， ，而 于点，故垂直于面，进而得到.故两者夹角为.故答案为.点睛：这个题目考查的是异面直线的夹角的求法；常见方法有：将异面直线平移到同一平面内，转化为平面角的问题；或者证明线面垂直进而得到面面垂直，这种方法适用于异面直线垂直的情况.6. 已知集合，，则集合的子集个数为__.【答案】【解析】【分析】利用列举法求出集合，再利用集合子集个数的计算公式得出结果.【详解】，，，则集合有个元素，其子集个数为，故答案为.【点睛】本题考查集合子集个数的计算，同时也考查了集合中的新定义，解题的关键就是确定出所求集合的元素的个数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7. 已知，则取到最小值时，______.【答案】9【解析】【分析】根据题意，由对数的运算性质可得且，再利用基本不等式结合不等式的性质可得，分析可得当且仅当时，等号成立，即当时，取到最小值，据此计算可得答案．【详解】由对数的真数大于0，可得，因为，所以且，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以取到最小值时.故答案为9.【点睛】本题考查基本不等式及不等式的性质的综合应用，注意多次用不等式求最值时，要注意不等式取等的条件要同时满足，考查逻辑推理能力和运算求解能力.8. 设，若仅有一个常数使得对于任意的，都有满足方程，这时，的取值的集合为________．【答案】【解析】【分析】分析可知在上单调递减，可得出，求得，根据已知条件得出，即可解得实数的值.【详解】由可得，可得，即，因为，故函数在上单调递减，所以，，所以，，因为有且只有一个满足题意，则，解得.故答案为：.9. 在xOy平面上，将双曲线的一支及其渐近线和直线、围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分，记D绕y轴旋转一周所得的几何体为，过作的水平截面，计算截面面积，利用祖暅原理得出体积为________【答案】【解析】【详解】分析：由已知中过（0，y）（0≤y≤4）作Ω的水平截面，计算截面面积，利用祖暅原理得出Ω的体积．详解：在xOy平面上，将双曲线的一支 及其渐近线和直线y=0，y=4围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．则直线y=a与渐近线交于一点A（，a）点，与双曲线的一支 交于B（，a）点，记D绕y轴旋转一周所得的几何体为Ω．过（0，y）（0≤y≤4）作Ω的水平截面，则截面面积S=，利用祖暅原理得Ω的体积相当于底面面积为9π高为4的圆柱的体积，∴Ω的体积V=9π×4=36π，故答案为36π点睛：本题考查的知识点是类比推理，其中利用祖暅原理将不规则几何体的体积转化为底面面积为9π高为4的圆柱的体积，是解答的关键．祖暅原理也可以成为中国的积分，将图形的横截面的面积在体高上积分，得到几何体的体积.10. 已知函数，其中a，，的最大值为，则的最小值为___________.【答案】【解析】【分析】数形结合分析可知的最小值为与的纵向距离，从而可以求出结果.【详解】函数，即四分之一圆上的点到直线上的最大距离为，此时圆上的点记为，如图：只有过的中点且平行于直线的直线才满足条件，所以当时，的最小值为与的纵向距离，即的最小值为.故答案为：.【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．二､选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.11. 已知l、m、n是空间三条直线，则下列命题正确的是A. 若l // m，l // n，则m // nB. 若l⊥m，l⊥n，则m // nC. 若点A、B不在直线l上，且到l的距离相等，则直线AB // lD. 若三条直线l、m、n两两相交，则直线l、m、n共面【答案】A【解析】【详解】分析：由公理4可判断A，利用空间直线之间的位置关系可判断B，C，D的正误，从而得到答案．详解：由公理4可知A正确；若l⊥m，l⊥n，则m∥n或m与n相交或异面，故B错误；若点A、B不在直线l上，且到l的距离相等，则直线AB∥l或AB与l异面，故C错误；若三条直线l，m，n两两相交，且不共点，则直线l，m，n共面，故D错误．故选A．点睛：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查空间中直线与直线之间的位置关系，掌握空间直线的位置关系是判断的基础，对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断．还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断．12. 设，为正实数，则“”是“”成立的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【详解】因为，为正实数且，所以，所以；若，即，两边同乘以，得，因为，为正实数，所以，所以．即“”是“”成立的充要条件，故选C.13. 设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱上的点（不含端点），记直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角是则三个角，，中最小的角是（    ）A.  B.  C.  D. 不能确定【答案】B【解析】【分析】根据异面直线夹角，直线与平面的夹角，平面与平面的夹角的定义分别做PB与AC，PB与平面ABC，平面PAC与平面ABC的夹角，再根据三角函数的性质比较几个角的大小.【详解】如图，取BC的中点 D，作VO⊥平面ABC于点O，由题意知点O在AD上，且AO=2OD.作PE//AC，PE交VC于点E，作PF⊥AD于点F，连接BF，则PF⊥平面ABC取AC的中点M，连接BM，VM，VM交 PE于点H，连接BH，易知BH⊥PE，作于点G，连接FG，由PG⊥AC，PF⊥AC，PGPF=P，由线面垂直判定定理可得AC⊥平面PGF，又平面PGF∴  FG⊥AC,作FN⊥BM于点N.∵   PG∥VM，PF∥VN∴   平面PGF∥平面VMB， 又 PH∥FN,四边形PFNH为平行四边形，所以PH=FN因此，直线PB 与直线AC所成的角，直线PB与平面ABC所成的角，二面角P-AC-B的平面角，又又，∴  因为∴  综上所述，中最小角为，故选 B.【点睛】(1)求直线与平面所成的角的一般步骤：①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．(2)作二面角平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．14. 已知a，b为正整数且，实数x､y满足.若的最大值为40，则满足条件的数对的数目为（    ）A. 5 B. 9 C. 10 D. 11【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式化简已知条件，求得，由此确定正确选项.【详解】依题意可知由两边平方并化简得，由基本不等式得，所以，，依题意，对于，其对称轴，所以当时取得最大值.故当时，，故.由于a，b为正整数且，所以共组.故选：A三､解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.15. 沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时，如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）.（1）如果该沙漏每秒钟漏下0.02cm³的沙，则该沙漏的一个沙时为多少秒？（精确到1秒）（2）细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，求此锥形沙堆的高度. （精确到0.1cm）【答案】(1) 一沙时为1986秒;(2) 沙堆高度约为2.4cm.【解析】【详解】（1）开始时，沙漏上部分圆锥中细沙的高为，底面半径为39.71 （秒）所以，沙全部漏入下部约需1986秒（2）细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径4，    设高为锥形沙堆的高度约为2.4cm.16. 设函数，函数的图像与函数的图像关于轴对称．(1)若，求的值；(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【详解】试题分析：（1）依题意知，经过整理解出即可求得的值；(2)由得，移项可得，结合基本不等式，故而可求得实数的取值范围.试题解析：（1）由得   所以（舍）或，               所以                                  （2）由得              而，当且仅当时取等号所以，所以．17. 如图，在直三棱柱中，，，是的中点．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）试问线段上是否存在点，使与成角？若存在，确定点位置，若不存在，说明理由．【答案】（1）见解析（2）；（3）点为线段中点时，与成角.【解析】【详解】（1）证明：连结，交于点，连结.由是直三棱柱，得 四边形为矩形，为的中点.又为中点，所以为中位线，所以∥，因为平面，平面，所以∥平面. （2）解：由是直三棱柱，且，故两两垂直.如图建立空间直角坐标系.设，则.所以，设平面的法向量为，则有所以取，得.易知平面的法向量为.由二面角是锐角，得. 所以二面角的余弦值为.（3）解：假设存在满足条件的点.因为在线段上，，，故可设，其中.所以，.因为与成角，所以.即，解得，舍去.所以当点为线段中点时，与成角. 考点：1、空间直线与平面的平行的判定；2、二面角；3、空间直线与直线的夹角.18. 已知定义在R上的函数与.（1）对于任意满足的实数p，q，r均有并判断函数的奇偶性，并说明理由（2）函数与（均为奇函数，在上是增函数，在上是增函数，试判断函数与在R上是否是增函数？如果是请证明，如果不是请说明理由.（3）函数与均为单调递增的一次函数，为整数当且仅当为整数.求证：对一切，为整数.【答案】（1）为奇函数；（2）函数在R上不是增函数；函数在R上是增函数；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用奇偶性定义赋值直接即可证出结论；（2）根据函数单调性的定义，做差比较即可得出结论；（3）设，分以及分别证明即可得出结论.【详解】（1）为奇函数，证明如下：因为，且，令，则，即，令，所以，即，所以为奇函数；（2）若，符合为奇函数，且在上单调递增，但是在R上不是增函数，因此函数在R上不是增函数；，且,①若，所以，②若，则，所以，即；③若，且，则，因此，所以，即；④若，且，则，因此，所以，即；综上：，且,有，所以函数在R上是增函数；（3）设，下证且为整数，否则，不妨设，当时，，因此是整数，当时，，因此是整数，故是整数，但这与矛盾，故.又当时，，因此整数，因此对任意的，是整数.【点睛】定义法证明的单调性：1、设，且；2、做差；3、判断的符号；4、根据定义得出结论.