2022湖北省云学新高考联盟学校高一下学期5月联考数学试题（含答案）

2022年湖北云学新高考联盟学校高一年级5月联考

数学试卷

命题学校：洪湖一中  命题人：路明琴  审题人：洪湖一中  杨前军  嘉鱼一中  甘业明、郑世波

考试时间：2022年5月30日09：50—11：50

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1.下列命题正确的是（    ）

A.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱

B.有一个面是平面多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥

C.等腰梯形绕它上、下底边中点的连线旋转180°可以得到一个圆台

D.在圆柱的上、下底面的圆周上各取一个点，则这两点的连线是圆柱的母线

2.已知向量，，且，则（    ）

A.6 B. C. D.

3.设，为两个不同的平面，则的一个充分条件是（    ）

A.内有无数条直线与平行 B.，平行于同一个平面

C.，平行于同一条直线 D.，垂直于同一个平面

4.顺次连接点，，，所构成的图形是（    ）

A.等腰梯形 B.平行四边形 C.菱形 D.矩形

5.设，，，则a，b，c大小关系正确的是（    ）

A. B. C. D.

6.设函数，若，，则函数的零点个数为（    ）

A.1 B.2 C.3 D.4

7.在中，设，则动点M的轨迹必通过的（    ）

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

8.已知四面体的所有棱长均为2，M，N分别为棱，的中点，F为棱上异于A，B的动点.有下列结论：

①线段的长度为；

②若点G为线段上的动点，则无论点F与G如何运动，直线与直线都是异面直线；

③异面直线和所成的角为；

④的最小值为2.

其中正确的结论为（    ）

A.①③④ B.②③ C.②③④ D.①④

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）

9.已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（    ）

A.

B.

C.若，则复平面内对应的点位于第二象限

D.已知复数z满足，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线

10.已知向量，（），则下列命题正确的是（    ）

A.若，则

B.存在，使得

C.若向量在方向上的投影向量为，则向量与的夹角为

D.与向量共线的单位向量是

11.已知正方体的棱长为1，下面选项正确的是（    ）

A.直线与平面不垂直 B.四面体的体积为

C.异面直线与直线所成角的为 D.直线与平面所成的角为

12.已知正四棱台，下底面边长为4，上底面边长为2，侧棱长为2，则（    ）

A.它的表面积是 B.它的外接球球心在该四棱台的内部

C.侧棱与下底面所成的角为 D.它的体积比半径为的球的体积小

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知虚数z的实部不为0，模为2，则符合要求的一个虚数_______________.

14.已知四棱锥中，侧棱平面，底面是矩形，则该四棱锥的4个侧面中直角三角形的个数是______________.

15.如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，则原四边形的周长是

16.已知一圆锥底面直径是，圆锥的高是，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，且正四面体可以在该圆锥内任意转动，则a的最大值为_____________.

四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17.（本小题满分10分）

平行四边形中，点M在上，且，点N在上，且，记，

（1）以，为基底表示；

（2）求证：M、N、C三点共线.

18.（本小题满分12分）

已知关于x的不等式的解集为（）.

（1）求a，b的值；

（2）当，，且满足时，有恒成立，求k的取值范围.

19.（本小题满分12分）

某科技企业生产一种电子设备的年固定成本为600万元，除此之外每台机器的额外生产成本与产量满足一定的关系式.设年产量为x（，）台，若年产量不足70台，则每台设备的额外成本为万元；若年产量大于等于70台不超过200台，则每台设备的额外成本为万元.每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完.

（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（台）的关系式；

（2）当年产量为多少台时，年利润最大，最大值为多少？

20.（本小题满分12分）

设函数.

（Ⅰ）求函数的周期及图象的对称轴；

（Ⅱ）在锐角中，若，且能盖住的最小圆的面积为，求的取值范围.

21.（本小题满分12分）

已知四棱锥的底面是菱形，平面，，，F，G分别为，中点，.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求三棱锥的体积；

（Ⅲ）求证：与不垂直.

22.（本小题满分12分）

对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部奇函数”.

（1）已知二次函数（），试判断是否为“局部奇函数”，并说明理由；

（2）若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；

（3）若为定义在R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围.

2022年湖北云学新高考联盟学校高一年级5月联考

数学评分细则

一、单选题

1.C  2.D  3.B  4.B  5.C  6.B  7.A  8.A

二、多选题

9.BD  10.AC  11.BCD  12.AD

三、填空题

13.（答案不唯一）  14.4  15.  16.4

四、解答题

17.（1）解：

；······································································5分

（2）证明：∵Mb，

，

∴，

∴

且与有公共点M，

所以M、N、C三点共线.····················································10分

18.解：（1）因为不等式的解集为（），

所以1和a是方程的两个实数根且，··············································2分

所以，解得.·······························································4分

（2）由（1）知，且，

故，····································································7分

当且仅当，即时，等号成立.··················································8分

依题意有，即，

得，···································································11分

所以k的取值范围为.························································12分

19.解：（1）当，时，

；······································································3分

当，时，

.

∴.······································································6分

（2）①当，时，

，

∴当时，y取得最大值，最大值为1200万元.·······································8分

②当，时，

，·····································································10分

当且仅当，即时，y取得最大值1320，··········································11分

∵，

∴当年产量为80台时，年利润最大，最大值为1320万元.····························12分

20.解：（Ⅰ）因为

，······································································2分

所以函数的周期····························································3分

令（），解得（）

所以函数的周期是，对称轴方程是（）.·········································5分

（Ⅱ）因为，所以.

又因为为锐角三角形，所以，.

所以，故有.·······························································6分

已知能盖住的最小圆为的外接圆，而其面积为，设半径为。

所以，得，·······························································7分

的角A，B，C所对的边分别为a，b，c.

由正弦定理.

所以，，

，······································································9分

因为为锐角三角形，所以.···················································10

所以，则，

故，···································································11分

所以的取值范围是.·························································12分

21.（Ⅰ）证明：如图，连接，，

∵O是中点，F是中点，∴，

平面，平面，则平面.

∵O是中点，G是中点，∴，

平面，平面，则平面.

又，，平面，

∴平面平面，又平面，

则平面.··································································4分

（注：也可构造线线平行证明.）

（Ⅱ）解：∵底面，底面，∴，

又四边形为菱形，∴，

又，、平面，

∴平面，且，·····························································6分

而F为的中点，

∴；····································································8分

（Ⅲ）证明：假设，

又，且，，平面，

∴平面，而平面，

则，与矛盾.

∴假设错误，故与不垂直.···················································12分

22.解：为“局部奇函数”等价于关于x的方程有解.

（1）当（）时，方程，

即有解，而，所以，从而为“局部奇函数”.······································2分

（2）当时，可化为.·························································3分

因为的定义域为，所以方程在上有解.

令，则，上式化为.·························································4分

设，则在上为单调减函数；在上为单调增函数.

因为，，，

所以时，.

所以，即.································································7分

（3）当时，······························································8分

可化为.

设，则，则，

从而只需要关于t的方程在上有解即可.···········································9分

令.

①       当时，在上有解，

由，即，解得；

②       当时，在上有解等价于

，解得.·································································11分

（注：也可转化为大根不小于2求解）

综上，所求实数m的取值范围为.···············································12分