上海市九年级2022年中考数学模拟题分类汇编：08解答题知识点分类一

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08解答题容易题知识点分类

一．实数的运算（共2小题）
1．（2022•黄浦区校级二模）计算：．
【解析】解：
＝2﹣﹣4+2×+1
＝2﹣﹣4++1
＝﹣1．
2．（2022•普陀区模拟）计算：（）﹣2+（π﹣3.14）0+4cos45°﹣|1﹣|．
【解析】解：原式＝4+1+4×+1﹣
＝4+1+2+1﹣
＝+6．
二．分数指数幂（共1小题）
3．（2022•普陀区二模）计算：27+|2﹣|﹣（）0+2cos30°．
【解析】解：原式＝3+2﹣
＝5﹣﹣1
＝4．
三．代数式求值（共1小题）
4．（2022•浦东新区校级模拟）某商场为迎接端午节，对销售粽子开展了一种促销活动．规则如下：如果顾客一次消费不超过一个定额M，那么就不优惠，原价付款；如果超过这个定额M，不超过部分不优惠，但超过部分会进行优惠，超过部分每元钱商品只需付元．已知小李消费了200元，实际只支付了176元；小张消费了75元，实际支付了75元．
（1）根据以上信息，请确定M的值；
（2）若小刘消费了580元，那么他实际支付可以少多少钱？
【解析】解：（1）根据题意得：M+（200﹣M）×＝176，
解得：M1＝80，M2＝220（不合题意，舍去），
答：M的值为80；
（2）80+（580﹣80）×
＝80+400
＝480（元），
580﹣480＝100（元），
答：他实际支付可以少100元．
四．提公因式法与公式法的综合运用（共1小题）
5．（2022•徐汇区校级模拟）计算：
（1）分解因式：3x2y﹣12xy2+12y3；
（2）解不等式组：．
【解析】解：（1）原式＝3y（x2﹣4xy+4y2）
＝3y（x﹣2y）2；
（2）由①移项得：3x﹣x＞﹣5+1，
合并得：2x＞﹣4，
解得：x＞﹣2，
由②去分母得：x+2﹣3x≥3，
移项合并得：﹣2x≥1，
解得：x≤﹣，
则不等式组的解集为﹣2＜x≤﹣．
五．分式的化简求值（共2小题）
6．（2022•镇平县一模）先化简，再求值：（）÷，其中a＝+3．
【解析】解：原式＝÷
＝•
＝•
＝﹣，
当a＝+3时，
原式＝﹣＝﹣1﹣．
7．（2021•松江区二模）先化简，再求值：，其中x＝﹣．
【解析】解：
＝
＝
＝
＝，
当x＝﹣时，原式＝＝．
六．二次根式的混合运算（共2小题）
8．（2022•松江区校级模拟）计算：．
【解析】解：
＝3++1﹣（2﹣）+1+2
＝3++1﹣2++1+2
＝5+2．
9．（2022•徐汇区二模）计算：．
【解析】解：原式＝2﹣﹣（﹣）+1+﹣+
＝2﹣﹣++1+﹣+
＝+．
七．高次方程（共1小题）
10．（2022•宝山区模拟）解方程组：．
【解析】解：，
由②，得（x﹣3y）（x+2y）＝0，
∴x﹣3y＝0③或x+2y＝0④．
由①③、①④可得新方程组，．
解方程组，
得，．
解方程组，
得，．
所以原方程组的解为：，，，．
八．解分式方程（共1小题）
11．（2007•上海）解方程：
【解析】解：方程两边都乘（x+1）（x﹣1），
得x2﹣3x+（2x﹣1）（x+1）＝0，
整理得3x2﹣2x﹣1＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣．
经检验，x1＝1是增根，x2＝﹣是原方程的根．
∴原方程的根是x＝﹣．
九．解一元一次不等式组（共1小题）
12．（2022•徐汇区模拟）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．

【解析】解：由15﹣9x≤10﹣4x，得：x≥1，
由﹣＞﹣2，得：x＜4，
则不等式组的解集为1≤x＜4，
将解集表示在数轴上如下：

一十．一元一次不等式组的整数解（共2小题）
13．（2022•松江区校级模拟）解不等式组：．将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数解．
【解析】解：由第一个不等式，得5x≥5，
解得x≥1，
由第二个不等式，得2（x﹣1）﹣（x+2）＞3x﹣12，
整理，得2x＜8，
解得x＜4，
∴不等式的解集为1≤x＜4，
数轴图表示解集：

所以整数解为1，2，3．
14．（2022•青浦区二模）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来，并写出其自然数解．
【解析】解：
由①得，x≥0，
由②得，x＜3，
所以不等式的解集为：0≤x＜3．
在数轴上表示为：

故其自然数解为：0，1、2．
一十一．一次函数的应用（共2小题）
15．（2022•普陀区二模）某山山脚到山顶有一条登山路，登山爱好者小李沿此路上山走到山顶，休息了一会儿后再原路返回．在下山途中，小李收到消息，需及时回到山脚，于是加速下山．小李下山过程中收到消息前所行的路程与收到消息后所行的路程之比为2：3．其间小李离开山脚的路程y（米）与离开山脚的时间x（分）（x＞0）之间的函数关系如图中折线OABCD所示．根据图象提供的信息，回答下列问题：
（1）这条登山路的全长为 　600　米；小李在山顶休息了 　10　分钟；
（2）如果小李在下山途中没有收到消息，下山的速度一直保持不变，求小李实际提前了多少时间回到山脚．

【解析】解：（1）由图象可得：这条登山路的全长为600米，小李在山顶休息了30﹣20＝10（分钟），
故答案为：600，10；
（2）由题意可知：如果小李在下山途中没有收到消息，下山的速度一直保持不变，则下山所需时间为：×（2+3）＝45（分钟），
而由图象知，实际小李在下山所用时间为60﹣30＝30（分钟），
∴小李实际提前了45﹣30＝15（分钟）回到山脚．
16．（2022•宝山区二模）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时），关于已行驶路程x（千米）的函数图象．
（1）根据图象，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已经行驶的路程为　150　千米．当0≤x≤150时，消耗1千瓦时的电量，汽车能行驶的路程为　6　千米．
（2）当150≤x≤200时，求y关于x的函数表达式，并计算当汽车已行驶160千米时，蓄电池的剩余电量．

【解析】解：（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米．
1千瓦时的电量汽车能行驶的路程为：（千米），
故答案为：150；6．

（2）设y＝kx+b（k≠0），把点（150，35），（200，10）代入，
得，解得，
∴y＝﹣0.5x+110，
当x＝160时，y＝﹣0.5×160+110＝30，
答：当150≤x≤200时，函数表达式为y＝﹣0.5x+110，当汽车已行驶160千米时，蓄电池的剩余电量为30千瓦时．
一十二．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题）
17．（2022•松江区校级模拟）如图，已知反比例函数的图象经过A（1，6）、B两点，直线AB与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若，求点C点坐标．

【解析】解：（1）∵反比例函数的图象经过A（1，6）；
∴，
∴k＝6，
∴反比例函数的解析式为：；
（2）作AD⊥x轴，垂足为点D，作BE⊥AD，垂足为点E，
∴BE∥CD，
∴＝＝，
又∵AD＝6，
∴AE＝4，ED＝2，
将y＝2代入，得B点坐标为（3，2），
∴BE＝2，
又∵BE∥CD，
∴，
∴CD＝3
∴C点坐标为（4，0）．

一十三．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
18．（2022•宝山区模拟）如图，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于A，B，与双曲线y＝交于C（2，m），D（n，﹣2）．
（1）求直线AB的表达式；
（2）将点B向右平移到点M，点M恰好在双曲线y＝上．如果N（4，a）是第四象限内的点，且满足DN＝DM，求点N的坐标．

【解析】解：（1）由题意，m＝＝4，n＝＝﹣4，
∴C（2，4），D（﹣4，﹣2），
∴
∴解得，
∴直线解析为y＝x+2；
（2）由y＝x+2可知B（0，2），
由 ＝2，得x＝4，
∴M（4，2），
∵N（4，a），
∴MN∥y轴，
∵DN＝DM，
∴点D在MN的垂直平分线上，
设DH垂直MN于H，则DH∥x轴，
∴点H的纵坐标为为﹣2，
则H（4，﹣2），
∴点N的坐标为（4，﹣6）．

19．（2021•广安）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象交于A（﹣1，n），B（3，﹣2）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点P在x轴上，且满足△ABP的面积等于4，请直接写出点P的坐标．

【解析】解：（1）由题意可得：
点B（3，﹣2）在反比例函数图象上，
∴，则m＝﹣6，
∴反比例函数的解析式为，
将A（﹣1，n）代入，
得：，即A（﹣1，6），
将A，B代入一次函数解析式中，得
，解得：，
∴一次函数解析式为y1＝﹣2x+4；
（2）∵点P在x轴上，
设点P的坐标为（a，0），
∵一次函数解析式为y1＝﹣2x+4，令y＝0，则x＝2，
∴直线AB与x轴交于点（2，0），
由△ABP的面积为4，可得：
|a﹣2|＝4，即|a﹣2|＝4，
解得：a＝1或a＝3，
∴点P的坐标为（1，0）或（3，0）．
一十四．反比例函数的应用（共1小题）
20．（2022•嘉定区二模）某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木块，构筑成一条临时近道．木板对地面的压强P（Pa）是木板面积S（m2）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求出P与S之间的函数表达式；
（2）如果要求压强不超过3000Pa，木板的面积至少要多大？

【解析】解：（1）设p＝．
把A（3，200）代入，得200＝，
k＝3×200＝600，
则p＝（S＞0）；

（2）由题意知≤3000，
解得S≥0.2，
即木板面积至少要有0.2m2．
一十五．二次函数的应用（共2小题）
21．（2022•庐江县二模）某店旺季销售一种海鲜产品，为了寻求合适的销售量，试营销了4天，经市场调研发现，试营销日销量情况如下表：
时间x（天）
第1天
第2天
第3天
第4天
…
日销售量y（千克）
380
400
420
440
…
（1）根据表中数据的变化规律，选择一次函数、二次函数、反比例函数中的一种函数模型来确定y与x的函数关系式，并说明选择的理由．
（2）试营销后，公司对这种海产品每天进行定量销售，首批6000千克海产品很块销售一空，对于第二批次6000千克海产品，公司决定在第一批销售量的基础上每天增加100千克定量销售，结果还是比第一批次提前2天售完，求公司对第一批次每天的销售定量是多少千克？
【解析】解：（1）根据表中数据的变化规律可知：时间每增加1天，销售量就增加20千克，
∴选择一次函数模型来确定y与x的函数关系式．
故设函数的表达式为：y＝kx+b，
将（1，380）、（2，400）代入上式得：，
解得：，
故函数的表达式为：y＝20x+360．
（2）设公司对第一批次每天的销售定量是a千克，则公司对第二批次每天的销售定量是（100+a）千克，根据题意，
得＝+2，
整理，得，
a2+100a﹣300000＝0，
解方程，得，
a1＝500，a2＝﹣600，
经检验，a1、a2都是分式方程的解，但负值不合题意，应舍去，
∴a＝500．
即公司对第一批次每天的销售定量是500千克．
22．（2022•宝山区模拟）在一块等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮．如图，已有的铁皮是等腰直角三角形ABC，它的底边AB长20厘米．要截得的矩形EFGD的边FG在AB上，顶点E、D分别在边CA、CB上．设EF的长为x厘米，矩形EFGD的面积为y平方厘米，试写出y关于x的函数解析式及定义域，并求当EF的长为4厘米时所截得的矩形的面积．

【解析】解：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形EFGD是矩形，
∴△AFE和△DGB都是等腰直角三角形，
∴AF＝EF＝x，GB＝DG＝x，
FG＝AB﹣AF﹣GB＝20﹣2x，
矩形EFGD的面积y＝x（20﹣2x）
＝﹣2x2+20x，
由0＜20﹣2x＜20，
解得0＜x＜10，
∴y关于x的函数关系式是y＝﹣2x2+20x，
定义域是0＜x＜10，
当x＝4时，y＝﹣2×42+20×4＝48，
即当EF的长为4厘米时，所截得的矩形的面积为48平方厘米．
一十六．全等三角形的判定与性质（共1小题）
23．（2022•青浦区二模）如图，已知AB是⊙O的直径，P是AO上一点，点C、D在直径两侧的圆周上，若PB平分∠CPD，求证：劣弧BC与劣弧BD相等．

【解析】证明：过点O作OM⊥CP于点M，作ON⊥PD于点N，连接OC、OD，

∵PB平分∠CPD，OM⊥CP，ON⊥PD，
∴OM＝ON，
在Rt△OMC和Rt△OND中，
，
∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL），
∴∠MCO＝∠NDO，
∵PB平分∠CPD，
∴∠CPO＝∠DPO，
∴∠MCO+∠CPO＝∠NDO+∠DPO，
∵∠BOC＝∠MCO+∠CPO，∠BOD＝∠NDO+∠DPO，
∴∠BOC＝∠BOD，
∴＝，
∴劣弧BC与劣弧BD相等．
一十七．平行四边形的性质（共1小题）
24．（2022•嘉定区二模）如图，已知平行四边形ABCD中，E是边CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接AC．
（1）求证：AD＝CF；
（2）若AB⊥AF，且AB＝8，BC＝5，求sin∠ACE的值．

【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠D＝∠ECF，∠DAE＝∠F，
∵E是CD的中点，
∴DE＝CE，
∴△ADE≌△FCE（AAS）
∴AD＝CF；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝4，
∵△ADE≌△FCE，
∴AD＝CF＝BC＝5，
∵AB⊥AF
∴AC＝BF＝5，
∴AF＝＝＝6，
∴AE＝EF＝AF＝3，
∵AB∥CD，
∴CD⊥AF
∴sin∠ACE＝＝．
一十八．圆周角定理（共1小题）
25．（2022•普陀区二模）如图，已知⊙O的直径AB＝10，点P是弦BC上一点，联结OP，∠OPB＝45°，PC＝1，求弦BC的长．

【解析】解：过点O作OD⊥BC，

∴∠CDO＝∠BDO＝90°，
∵∠OPB＝45°，
∴∠POD＝45°，
∴OD＝DP，
设OD＝x，则DP＝x，
∵PC＝1，
∴CD＝1+x，
∵BC是⊙O的弦，OD⊥BC，
∴CD＝BD＝1+x，
∵⊙O的直径AB＝10，
∴OB＝5，
在Rt△OBD中，OB2＝OD2+BD2，
即52＝x2+（1+x）2，
∴x＝3或x＝﹣4（舍去），
即OD＝3，
∴BD＝CD＝4，
∴BC＝8．
一十九．相似三角形的判定与性质（共3小题）
26．（2022•宝山区模拟）已知：如图，正方形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，AE⊥BF．
（1）求证：AE＝BF；
（2）联结BE、EF，如果∠DEF＝∠ABE，求证：DF2＝AF•AD．

【解析】证明：（1）设BF与AE交于O点，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAF＝∠D＝90°，
∵AE⊥BF．
∴∠AOB＝90°，
∴∠ABO+∠BAO＝90°，∠BAO+∠DAE＝90°，
∴∠ABF＝∠DAE，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（ASA），
∴AE＝BF；
（2）∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠BEC，
∵∠DEF＝∠ABE，
∴∠DEF＝∠BEC，
∵∠D＝∠C，

∴△DEF∽△CEB，
∴，
由（1）得，△ABF≌△DAE，
∴AF＝DE，
∴CE＝DF，
∴DF2＝AF•AD．
27．（2022•青浦区二模）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于E，BD平分∠ABC，点G在底边BC上，联结DG交对角线AC于F，∠DGB＝∠DAB．
（1）求证：四边形ABGD是菱形．
（2）联结EG，求证：BG•EG＝BC•EF．

【解析】证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABG＝180°，∠DGB+∠ADG＝180°，
∵∠DGB＝∠DAB，
∴∠ABG＝∠ADG，
∴四边形ABGD是平行四边形，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ADB＝∠GDB，
∵AD∥BG，
∴∠ADB＝∠DBG＝∠BDG，
∴BG＝DG，
∴四边形ABGD是菱形；
（2）∵四边形ABGD是菱形，
∴AB＝BG＝AD，∠ABE＝∠GBE，
在△ABE和△GBE中，
，
∴△ABE≌△GBE（SAS），
∴EG＝AE，
∵AD∥BC，
∴△ADE∽△CBE，
∴，
∵DF∥AB，
∴，
∴，
∵AD＝BG，AE＝EG，
∴，
∴BG•EG＝BC•EF．
28．（2021•浦东新区三模）如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，BE平分∠ABC，交CD于点E，F是AB的中点，联结AE、EF，且AE⊥BE．
求证：（1）四边形BCEF是菱形；
（2）BE•AE＝2AD•BC．

【解析】证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠EBF＝∠BEC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠FBE，
∴∠BEC＝∠CBE，
∴CE＝CB，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB＝90°，
∵F是AB的中点，
∴AF＝EF＝BF，
∴∠FBE＝∠FEB，
∴∠FEB＝∠CBE，
∴EF∥BC，
而CE∥BF，
∴四边形BCEF为平行四边形，
∵CB＝CE，
∴四边形BCEF为菱形；
（2）过C点作CH⊥BE于H，如图，
∵CE＝CB，
∴BH＝EH，
∵∠AED+∠DAE＝90°，∠CEB+∠AED＝90°，
∴∠DAE＝∠CEB＝∠CBE，
∵∠D＝∠CBH，
∴△ADE∽△BHC，
∴＝，即BH•AE＝AD•BC，
∵BH＝BE，
∴BE•AE＝AD•BC，
即BE•AE＝2AD•BC．

二十．特殊角的三角函数值（共1小题）
29．（2022•宝山区模拟）计算：|2sin45°﹣tan45°|+．
【解析】解：原式＝|2×﹣1|+
＝﹣1+
＝．
二十一．解直角三角形（共1小题）
30．（2022•黄浦区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，sin∠ABC＝，D是边AB上一点，且CD＝CA，BE⊥CD，垂足为点E．
（1）求AD的长；
（2）求∠EBC的正切值．

【解析】解：（1）过C点作CH⊥AD于H，如图，
∵CD＝CA，
∴AH＝DH，
∵∠ABC+∠BCH＝90°，∠ACH+∠BCH＝90°，
∴∠ACH＝∠ABC，
∴sin∠ACH＝sin∠ABC＝，
在Rt△ACH中，sin∠ACH＝＝，
∴AD＝2AH＝2；
（2）在Rt△ABC中，sin∠ABC＝＝，
∴AB＝3AC＝9，
∴BD＝AB﹣AD＝9﹣2＝7，
∵∠E＝90°，
而∠EDB＝∠HDC，
∴∠HCD＝∠EBD，
∴sin∠EBD＝＝，
∴DE＝BD＝，
∴BE＝＝，
在Rt△EBC中，tan∠EBC＝＝＝．

二十二．解直角三角形的应用（共1小题）
31．（2022•黄浦区校级二模）如图所示为一个圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图．已知图中四边形ABCD为等腰梯形，AB∥DC，支点A与B相距8m，罐底最低点到地面CD距离为1m．设油罐横截面圆心为O，半径为5m，∠D＝56°，求：U型槽的底部CD的长．（参考数据：sin56°≈0.83，cos56°≈0.56，tan56°≈1.5，结果保留整数）

【解析】解：连接OA，过点O作ON⊥DC，垂足为N，交AB于点F，交⊙O于点M，过点A作AE⊥DC，垂足为E，过点B作BG⊥CD，垂足为G，

则AF＝BF＝AB＝4（m），FN＝AE，MN＝1m，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴DE＝GC，AB＝EG＝8m，
在Rt△AOF中，OA＝5m，
∴OF＝＝＝3（m），
∵OM＝5m，
∴FM＝OM﹣OF＝2（m），
∴AE＝FN＝FM+MN＝2+1＝3（m），
在Rt△ADE中，∠D＝56°，
∴DE＝≈＝2（m），
∴DE＝GC＝2m，
∴DC＝DE+EG+GC＝2+8+2＝12（m），
∴U型槽的底部CD的长约为12m．
二十三．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
32．（2022•宝山区模拟）为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，设备说明书中的部分内容如下所示．
设备名称
红外线体温检测仪
测温区域示意图
设备需安装在垂直于水平面的墙面上．

①水平面；
②竖直墙面；
③设备安装位置；
④OC的长是设备安装高度；
⑤AB的长是测温区域的宽度．
技术参数
设备测温过程中释放的红外线是直线传播，它与水平面的夹角称为探测角．
探测最小角：∠OAC＝31°
探测最大角：∠OBC＝72°
（1）如果该设备的安装高度为2m时，请求出图中线段AC的长度；（结果精确到0.1m）
（2）如果学校要求测温区域的宽度为3m时，请求出该设备的安装高度．（结果精确到0.1m）
（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.32，tan72°≈3.00，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）

【解析】解：（1）在Rt△OAC中，∠OAC＝31°，OC＝2m，
则AC＝≈≈3.3（m），
答：线段AC的长度约为3.3m；
（2）设OC的长为xm，
在Rt△OBC中，∠OBC＝72°，
则BC＝≈xm，
在Rt△OAC中，∠OAC＝31°，
则AC＝≈xm，
由题意得：x﹣x＝3，
解得：x≈2.3，
答：该设备的安装高度约为2.3m．