第08讲简单几何体的表面积和体积（核心考点讲与练）-2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修）（原卷版）.docx

这是一份第08讲简单几何体的表面积和体积（核心考点讲与练）-2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修）（原卷版）.docx，共18页。试卷主要包含了棱柱，圆柱，柱体，球的表面积和体积，侧面积与体积的计算等内容，欢迎下载使用。
第08讲简单几何体的表面积和体积（核心考点讲与练）一、棱柱、棱锥、棱台的表面积    棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积之和。计算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和。棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形状如下表：项目名称底面侧面棱柱平面多边形平行四边形面积=底·高棱锥平面多边形三角形面积=·底·高棱台平面多边形梯形面积=·（上底+下底）·高要点诠释：求多面体的表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积．二、圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱、圆锥、圆台是旋转体，它们的底面是圆面，易求面积，而它们的侧面是曲面，应把它们的侧面展开为平面图形，再去求其面积．1．圆柱的表面积（1）圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为r，母线长，那么这个矩形的长等于圆柱底面周长C=2πr，宽等于圆柱侧面的母线长（也是高），由此可得S圆柱侧=C=2πr．        （2）圆柱的表面：．2．圆锥的表面积（1）圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r，母线长为，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C=πr，半径等于圆锥侧面的母线长为，由此可得它的侧面积是．（2）圆锥的表面积：S圆锥表=πr2+πr．        3．圆台的表面积（1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为r＇、r，母线长为，那么这个扇环的面积为π(r＇+r)，即圆台的侧面积为S圆台侧=π(r＇+r)．（2）圆台的表面积：．要点诠释：求旋转体的表面积时，可从旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系．4．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系如下图所示．          【高清课堂：空间几何体的表面积和体积395219 空间几何体的体积】三、柱体、锥体、台体的体积1．柱体的体积公式棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S和高h的乘积，即V棱柱=Sh．圆柱的体积：底面半径是r，高是h的圆柱的体积是V圆柱=Sh=πr2h．综上，柱体的体积公式为V=Sh．2．锥体的体积公式棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积．圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S，高是h，那么它的体积；如果底面积半径是r，用πr2表示S，则．综上，锥体的体积公式为．3．台体的体积公式棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S＇、S，高是h，那么它的体积是．圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r＇、r，高是h，那么它的体积是．综上，台体的体积公式为．4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系如下图所示．        【高清课堂：空间几何体的表面积和体积395219 球的体积与表面积】四、球的表面积和体积1．球的表面积（1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积．（2）球的表面积设球的半径为R，则球的表面积公式  S球=4πR2．即球面面积等于它的大圆面积的四倍．2．球的体积设球的半径为R，它的体积只与半径R有关，是以R为自变量的函数．球的体积公式为．五、侧面积与体积的计算1．多面体的侧面积与体积的计算在掌握直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积公式及其推导过程的基础上，对于一些较简单的几何组合体的表面积与体积，能够将其分解成柱、锥、台、球，再进一步分解为平面图形（正多边形、三角形、梯形等），以求得其表面积与体积．要注意对各几何体相重叠部分的面积的处理，并要注意一些性质的灵活运用．（1）棱锥平行于底的截面的性质：在棱锥与平行于底的截面所构成的小棱锥中，有如下比例关系：对应线段（如高、斜高、底面边长等）的平方之比．要点诠释：这个比例关系很重要，在求锥体的侧面积、底面积比时，会大大简化计算过程．在求台体的侧面积、底面积比时，将台体补成锥体，也可应用这个关系式．（2）有关棱柱直截面的补充知识．在棱柱中，与各侧棱均垂直的截面叫做棱柱的直截面，正棱柱的直截面是其上下底面及与底面平行的截面．棱柱的侧面积与直截面周长有如下关系式：S棱柱侧=C直截（其中C直截、分别为棱柱的直截面周长与侧棱长），V棱柱=S直截（其中S直截、分别为棱柱的直截面面积与侧棱长）．2．旋转体的侧面积和体积的计算（1）圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形式及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解决有关问题的关键．（2）计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关问题的关键．考点一、简单几何体的表面积例1．已知正四棱锥底面正方形的边长为4 cm，高与斜高的夹角为30°，求正四棱锥的侧面积和表面积．       例2．圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等，求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比．     例3．一个直角梯形的上底、下底、高的比为，求由它旋转而成的圆台的上底面积，下底面积和侧面积的比．      考点二、简单几何体的体积例4．如图，在长方体中，已知AD==1，AB=2，点E是AB的中点．        求三棱锥的体积．      例5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）A．       B．       C．       D．【变式1】 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是A．      B． C． D．   考点三、球的表面积与体积例6．求体积为的正方体的外接球的表面积和体积．      【变式1】已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（    ）A．36π    B．64π    C．144π    D．256π【变式2】圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是         cm．  题组A  基础过关练一、单选题1．（2020·天津市红桥区教师发展中心高一期末）已知四面体的各棱长均为，则该四面体的表面积为（       ）A． B．C． D．2．（2021·河北大名·高一期中）已知圆台的上底面面积是下底面面积的倍，母线长为4，若圆台的侧面积为，则圆台的高为（       ）A．2 B． C．5 D．3．（2021·浙江·宁波咸祥中学高一期中）一个球的体积为，则此球的半径是（       ）A． B． C． D．4．（2021·山西高平·高一期中）已知一个圆锥的母线长为，其母线与底面所成的角为，则这个圆锥的体积为（       ）A． B． C． D．5．（2020·新疆·乌鲁木齐市第三十一中学高一期末）一个球的体积为36π，则这个球的表面积为（　　）A．9π B．18π C．36π D．72π二、多选题6．（2021·广东白云·高一期末）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，下列说法正确的有（       ）A．该圆台轴截面面积为B．该圆台的体积为C．该圆台的母线与下底面所成的角为30°D．沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为7．（2021·全国·高一课时练习）（多选）圆柱的侧面展开图是边长分别为2a，a的矩形，则圆柱的体积为（       ）A． B． C． D．8．（2022·全国·高一）正三棱锥的外接球半径为2，底面边长为，则此三棱锥的体积为（       ）A． B． C． D．9．（2021·河北·衡水市冀州区第一中学高一期末）已知一圆锥底面圆的直径为3，高为，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在圆锥内可以任意转动，则a的值可以为（       ）A． B． C．1 D．三、填空题10．（2020·天津市红桥区教师发展中心高一期末）将棱长为的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为______.11．（2021·山东枣庄·高一期中）已知一个健身球放在房屋的墙角处，紧靠墙面和地面，即健身球与围成墙角的三个两两互相垂直的面都相切，若墙角顶点到球面的点的最远距离，则球的体积是___________.12．（2022·内蒙古·呼和浩特市第十四中学高一期末）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为______.13．（2021·河北张家口·高一期末）已知圆锥的底面圆的半径为2，高为，则该圆锥的侧面积为______.     四、解答题14．（2020·黑龙江齐齐哈尔·高一期中）如图，一个圆柱形的纸篓（有底无盖），它的母线长为，底面的半径长为.（1）求纸篓的容积；（2）现有制作这种纸篓的塑料制品，请问最多可以做这种纸篓多少个？（假设塑料制品没有浪费）.15．（2020·陕西宝鸡·高一期末）如图，已知圆锥的顶点为P，O是底面圆心，AB是底面圆的直径，，．（1）求圆锥的表面积；（2）经过圆锥的高PO的中点作平行于圆锥底面的截面，求截得的圆台的体积．16．（2021·浙江·高一期末）已知按照斜二测画法画出的直观图如图所示，其中，，．（Ⅰ）画出的原图并求其面积：（Ⅱ）若以的边BA为旋转轴旋转一周，求所得几何体的体积和表面积． 17．（2021·宁夏·海原县第一中学高一期末）如图是边长为1的正方体，H、G、F分别是棱AB、AD、的中点，现在沿三角形GFH所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉的这块的体积是原正方体的几分之几？18．（2021·广东惠州·高一期末）如图，一块边长为的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器．（1）请在答卷指定位置的空间直角坐标系中按比例画出该正四棱锥的直观图；（不需要写步骤及作图过程）（2）求该正四棱锥形容器的体积．19．（2021·黑龙江·鹤岗一中高一期末）正棱锥S﹣ABCD的底面边长为4，高为1.求：（1）棱锥的侧棱长和侧面的高；（2）棱锥的表面积与体积.   20．（2021·江苏南京·高一期末）如图，在五面体ABCDEF中，已知平面ABCD，，，，．（1）求证：；（2）求三棱锥的体积．题组B  能力提升练一、单选题1．（2021·全国·高一课时练习）“迪拜世博会”于2021年10月1日至2022年3月31日在迪拜举行，中国馆建筑名为“华夏之光”，外观取型中国传统灯笼，寓意希望和光明．它的形状可视为内外两个同轴圆柱，某爱好者制作了一个中国馆的实心模型，已知模型内层底面直径为，外层底面直径为，且内外层圆柱的底面圆周都在一个直径为的球面上.此模型的体积为（       ）A． B． C． D．2．（2021·全国·高一课时练习）扇子，作为中华民族文化的代表产物，在我国已经有四、五千年的历史了.折扇出现铰晚，因可折叠，方便随身携带，流传最广，经研究发现采用黄金分割方式设计的折扇（将一个圆面按黄金分割比例进行分割后得到的较小扇形）最为美观和实用，已知一把黄金分割扇的半径为，则以此扇面围成的圆锥的体积为（       ）A． B． C． D．  3．（2021·安徽蚌埠·高一期末）粽子，古时北方也称“角黍”，是由粽叶包裹糯米､泰米等馅料蒸煮制成的食品，是中国汉族传统节庆食物之一，端午食粽的风俗，千百年来在中国盛行不衰，粽子形状多样，馅料种类繁多，南北方风味各有不同，某四角蛋黄粽可近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄，若粽子的棱长为，则其内可包裹的蛋黄的最大体积约为（       ）(参考数据：)A． B． C． D．二、多选题4．（2021·浙江·高一期中）已知圆锥底面半径为3，高为4，则（       ）A．圆锥的体积是B．圆锥的侧面积是C．圆锥的内切球体积是D．圆锥侧面展开图扇形的圆心角为5．（2021·山东烟台·高一期末）已知圆锥的底面半径为1，高为，为顶点，，为底面圆周上两个动点，则（       ）A．圆锥的体积为B．圆锥的侧面展开图的圆心角大小为C．圆锥截面的面积的最大值为D．从点出发绕圆锥侧面一周回到点的无弹性细绳的最短长度为6．（2021·江苏南通·高一期末）已知圆台上、下底面的圆心分别为，，半径为，，圆台的母线与下地面所成角的正切值为，为上一点，则（       ）A．圆台的母线长为B．当圆锥的圆锥的体积相等时，C．圆台的体积为D．当圆台上、下底面的圆周都在同一球面上，该球的表面积为7．（2021·广东普宁·高一期末）如图所示，是圆锥底面圆的一条直径，点在底面圆周上运动（异于两点），以下说法正确的是（       ）A．恒为定值B．三棱锥的体积存在最大值C．圆锥的侧面积大于底面圆的面积D．的面积大于的面积8．（2021·安徽屯溪·高一期中）一个棱长为2的正方体，用过同一顶点三条棱的中点平面截去各个顶点得到的一个新的几何体，对这个新的几何体说法错误的是（       ）A．所有截面面积和为 B．新几何体表面积为C．新几何体表面积为 D．新几何体的体积为三、填空题9．（2021·黑龙江齐齐哈尔·高一期末）如图1所示的几何模型是由一个半圆和矩形组成的平面图形，将半圆沿直径折成直二面角（如图2）后发现，在半圆弧（不含、点）上运动时，三棱锥的外接球始终保持不变，若，，则该三棱锥外接球的表面积为______．10．（2021·浙江·诸暨中学高一期中）如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则该圆台的体积为_________；侧面积为_________．11．（2022·湖南·高一课时练习）边长为5的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离为________.四、解答题12．（2021·全国·高一课时练习）某市政府为确保在“十四五”开局之年做好城市基础设施配套建设，优化公园环境，方便市民休闲活动．计划在城市公园内的一条小河上建造一座桥，如图为建造该桥所用的钢筋混凝土预制件模型（该模型是由一个长方体挖去一个直四棱柱而成）及尺寸（单位：米）（Ⅰ）问：浇制一个这样的预制件需要多少立方米混凝士（钢筋体积略去不计）？（Ⅱ）为防止该预制件桥梁风化腐蚀，需要在其表面涂上一层保护液（假定保护液涂层均匀、单位面积使用的保护液一定），为合理购买保护液数量，请计算该预制件的表面积是多少？注：，结果精确到0.01．        13．（2022·湖南·高一课时练习）某单位购置了一批红外半球高速自动对焦一体摄像机（如图（1）所示），作为安防用品．在安装及做防护装置时，需要了解单个产品的体积，产品的数据指标如图（2）所示，求红外半球摄像机的体积（π取3.14，精确到）．    14．（2022·湖南·高一课时练习）某人买了一罐容积为V L，高为a m的直三棱柱形罐装进口液体车油，由于不小心摔落地上，结果有两处破损并发生渗漏，它们的位置分别在两条棱上且距下底面高度分别为b m，c m的地方（如图）．为了减少罐内液体车油的损失，该人采用破口朝上，倾斜罐口的方式拿回家．试问罐内液体车油最多还能剩多少？15．（2022·湖南·高一课时练习）我国已出现了用3D打印技术打印出来的房子，其耗时只有几个小时，其中有一尺寸如图所示的房子．不计屋檐，求其表面积和体积．  16．（2021·福建·厦门双十中学高一期中）（1）如图1，正四棱锥，．（ⅰ）求此四棱锥的外接球的体积；（ⅱ）为上一点，求的最小值；（2）将边长为4的正方形铁皮用剪刀剪切后，焊接成一个正四棱锥（含底面），并保持正四棱锥的表面与正方形的面积相等，在图2中用虚线画出剪刀剪切的轨迹，并求焊接后的正四棱锥的体积．             17．（2021·江苏省天一中学高一期中）四面体中，（1）．求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形；（2）有4条长为2的线段和2条长为的线段，用这6条线段作为棱，构成一个三梭锥，问为何值时，可构成一个最大体积的三棱锥，最大值为多少？(参考公式：三元均值不等式，当且仅当时取得等号)     18．（2021·全国·高一课时练习）早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球体积时，就创造性地提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，意思是两个同高的几何体，若在任意给定的等高处的截面积相等，则体积相等，在推导半径为R的球的体积公式时，可以先构造如下如图所示的圆柱体，圆柱体的底面半径和高都为R，其底面和半球体的底面同在平面内，然后挖去一个圆锥后运用祖暅原理来推导，请你把如图补充完整并写出球的体积公式的证明.          19．（2022·湖南·高一课时练习）查找并阅读关于蜂房结构的资料，建立数学模型说明蜂房正面采用正六边形面，底端是封闭的六角棱锥体的底，由三个相同的菱形组成（菱形的锐角为，钝角为）的原因．