07填空题(中档题) 2020-2021学年上海市各区高一(下)期末数学知识点分类汇编
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07 填空题(中档题) 2020-2021学年上海市各区高一(下)期末数学知识点分类汇编
一.函数的值域(共1小题)
1.(2021春•宝山区期末)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=30°,b=2,且满足条件的△ABC有两解,设边a的所有可能取值构成集合D,则函数的值域为 .
二.函数解析式的求解及常用方法(共1小题)
2.(2021春•宝山区期末)写出一个最小正周期是1,值域是[0,1]的函数解析式 (不用分段函数表示).
三.函数的零点与方程根的关系(共3小题)
3.(2021春•宝山区期末)已知关于x的实系数一元二次方程x2+(1﹣k)x+k2﹣1=0有两个虚根x1,x2,且|x1|+|x2|=2,则满足条件的实数k的值为 .
4.(2021春•上海期末)方程16sinπxcosπx=16x+的解的集合是 .
5.(2021春•虹口区校级期末)设φ∈[0,2π),若关于x的方程cos(2x+φ)=a在区间[0,2π]上有5个解,且它们的和为,则φ= .
四.数列的极限(共1小题)
6.(2021春•徐汇区校级期末)(1+++……+)= .
五.平面向量数量积的性质及其运算(共14小题)
7.(2021春•宝塔区校级期末)如图是某自行车的平面结构示意图,已知圆A(前轮)、圆D(后轮)的半径均为,△ABE,△BEC,△ECD均是边长为4的等边三角形;设点P为后轮上的一点,则在骑动该自行车的过程中,的最大值为 .
8.(2021春•松江区期末)如图,O是线段AB外一点,|OA|=3,|OB|=2,P是线段AB的垂直平分线l上的动点,则•的值为 .
9.(2021春•松江区期末)已知、满足||=4,在方向上的数量投影为﹣2,则|﹣3|的最小值为 .
10.(2021春•宝山区期末)已知向量=(5,3),=(﹣1,2),则在上的投影向量的坐标为 .
11.(2021春•虹口区校级期末)已知、为单位向量,,则在方向上的投影为 .
12.(2021春•宝山区校级期末)如图所示,半径为1的圆O内接于正方形ABCD,点P是圆O上的一个动点,点P′与P关于直线AC成轴对称,若=,则||的取值范围是 .
13.(2021春•浦东新区校级期末)如图,在三角形ABC中,点D是边BC的中点,O是AD的中点,若BO=AD=2,则= .
14.(2021春•浦东新区校级期末)定义两个平面向量的一种新运算:sin<,>,其中<,>表示,的夹角.对于平面上的任意,,向量,λ∈R,下列运算性质一定成立的是 .
①若,则与共线;
②;
③;
④.
15.(2021•宝坻区模拟)在平行四边形ABCD中,AB=2,∠ABC=60°,AC,BD相交于点O,E为线段AC上的动点,若,则的最小值为 .
16.(2021春•宝山区期末)如图,在直角三角形△ABC中,斜边AB=4,以斜边AB为一边向外作矩形ABMN,且BM=2(其中点M,N与C在直线AB两侧),则的取值范围是 .
17.(2021春•虹口区校级期末)向量数列满足,且满足,,若.则当Sn取最大值时,n的值为 .
18.(2021春•松江区期末)已知x∈[0,π],向量=(sinx,1),=(2,cosx),当取到最大值时,x的值是 .
19.(2021春•上海期末)正方形ABCD的边长为4,O是正方形ABCD的中心,过中心O的直线l与边AB交于点M,与边CD交于点N,P为平面上一点,满足,则的最小值为 .
20.(2021春•浦东新区校级期末)△ABC中,三边a,b,c满足成等差数列,三角A,B,C满足sinB=cosA•sinC,且,若存在动点P满足,且,则xy的最大值为 .
六.虚数单位i、复数(共1小题)
21.(2021春•上海期末)已知复数Zn=an+bni(an、bn∈R),满足Z1=1,Zn+1=+1+2i(n∈N*),其中i为虚数单位,表示Zn的共轭复数,则Z100= .
七.复数的代数表示法及其几何意义(共2小题)
22.(2021春•宝塔区校级期末)已知复数﹣3+3i在复平面上所对应的向量是,将绕原点O顺时针旋转120°得到向量,则向量所对应的复数为 (结果用复数的代数形式表示).
23.(2021春•虹口区校级期末)在复平面内,复数6﹣5i、﹣2+3i对应的点分别为A、B,若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是 .
八.复数的运算(共2小题)
24.(2021春•虹口区校级期末)已知复数z满足,则z= .
25.(2021春•嘉定区校级期末)在复平面内,复数(i为虚数单位)对应的点与原点的距离是 .
九.复数的模(共2小题)
26.(2021春•嘉定区校级期末)已知关于x的方程x2+zx+4+3i=0有实数根,则复数z的模的最小值为 .
27.(2021春•浦东新区校级期末)已知k+2个两两互不相等的复数z1、z2、…、zk、w1、w2,满足﹣=,且|wj﹣za|∈{1,3}(其中j=1、2;a=0、1、2、…、k),则k的最大值为 .
一十.计数原理的应用(共1小题)
28.(2021春•徐汇区校级期末)某天,一个班级只有四门学科教师都布置了晚自习作业,晚自习上,在同一时刻3名学生都做作业的可能情形有 种(用数字作答).
一十一.排列、组合及简单计数问题(共1小题)
29.(2021春•徐汇区校级期末)市内某公共汽车站有10个候车位(成一排),现有4名乘客随便坐在某个座位上候车,则恰好有5个连续空座位的候车方式共有 种.(用数字作答)
一十二.弧长公式(共1小题)
30.(2021春•松江区期末)已知一扇形的弧所对的圆心角为60°,半径r=20cm,则扇形的周长为 cm.
一十三.扇形面积公式(共1小题)
31.(2021春•金山区校级期末)已知一扇形的周长为20cm,当这个扇形的面积最大时,半径R的值为 .
一十四.任意角的三角函数的定义(共1小题)
32.(2021春•宝山区期末)设点P是以原点为圆心的单位圆上的一个动点,它从初始位置P0(0,1)出发,沿单位圆顺时针方向旋转角后到达点P1,然后继续沿单位圆顺时针方向旋转角到达点P2,若点P2的纵坐标是,则点P1的坐标是 .
一十五.三角形的形状判断(共1小题)
33.(2021春•松江区期末)在△ABC中,若c=2acosB,则△ABC的形状是 三角形.
一十六.正弦函数的图象(共2小题)
34.(2021春•浦东新区校级期末)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ<2π)是R上的偶函数,图象关于点M(π,0)对称,在[0,]是单调函数,则符合条件的数组(ω,φ)有 对.
35.(2021春•松江区期末)已知函数f(x)=4sin(2x﹣),x∈[0,],若F(x)=f(x)﹣3的所有零点依次记为x1,x2,x3,…,xn,且x1<x2<x3<…<xn,则x1+2x2+2x3+…+2xn﹣1+xn= .
一十七.正弦函数的奇偶性和对称性(共1小题)
36.(2021春•嘉定区校级期末)若f(x)=2sin(ωx+φ)+m,对任意实数t都有,且,则实数m的值等于 .
一十八.余弦函数的图象(共1小题)
37.(2021春•徐汇区期末)已知函数y=a+cosωx,x∈[﹣π,π](其中a、ω为常数,且ω>0)有且仅有三个零点,则ω的取值范围是 .
一十九.正切函数的图象(共1小题)
38.(2021春•宝塔区校级期末)已知函数y=tanωx在区间上是严格减函数,则实数ω的取值范围是 .
二十.由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式(共1小题)
39.(2021春•松江区期末)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|≤)的部分图象如图所示,则f(x)= .
二十一.y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义(共1小题)
40.(2021春•上海期末)若函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图,则ω= .
二十二.三角函数的最值(共1小题)
41.(2021春•浦东新区校级期末)定义:对于任意实数p、q,max{p,q}=.设函数y=g(x)的表达式为g(x)=max{x,acosx}(x∈R,常数a>0),函数y=f(x)的表达式为f(x)=2sinx+1,若对于任意x1∈R,总存在x2∈R使得g(x1)=f(x2)成立,则实数a的取值范围是 .
二十三.实系数多项式虚根成对定理(共1小题)
42.(2021春•虹口区校级期末)若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根,则c= .
参考答案与试题解析
一.函数的值域(共1小题)
1.(2021春•宝山区期末)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=30°,b=2,且满足条件的△ABC有两解,设边a的所有可能取值构成集合D,则函数的值域为 .
【解答】解:在△ABC中,A=30°,b=2,
所以bsinA=2×,
因为满足条件的△ABC有两解,
所以1<a<2,即D=(1,2),
因为函数为单调递减函数,
则f(2)<f(x)<f(1),
所以,
则f(x)的值域为.
故答案为:.
二.函数解析式的求解及常用方法(共1小题)
2.(2021春•宝山区期末)写出一个最小正周期是1,值域是[0,1]的函数解析式 f(x)=|sinπx|(答案不唯一) (不用分段函数表示).
【解答】解:最小正周期为1且值域是[0,1]的函数可以考虑y=|sinπx|,
则f(x)=|sinπx|.
故答案为:f(x)=|sinπx|(答案不唯一).
三.函数的零点与方程根的关系(共3小题)
3.(2021春•宝山区期末)已知关于x的实系数一元二次方程x2+(1﹣k)x+k2﹣1=0有两个虚根x1,x2,且|x1|+|x2|=2,则满足条件的实数k的值为 .
【解答】解:依题意,设x1=a+bi(b≠0),x2=a﹣bi,
由根与系数的关系可得,,则,
又|x1|+|x2|=2,
∴,即k2﹣1=1,解得,
又Δ=(1﹣k)2﹣4(k2﹣1)<0,解得k>1或,
∴.
故答案为:.
4.(2021春•上海期末)方程16sinπxcosπx=16x+的解的集合是 {﹣,} .
【解答】解:当x>0时,16x+≥2=8,
当且仅当x=时,取得等号;
而16sinπxcosπx=8sin2πx≤8,
当且仅当2πx=2kπ+,即x=k+,k∈Z,
于是,当x>0时,有且只有一个实数解x=,
由于y=16sinπxcosπx﹣16x﹣为奇函数,
可得x=﹣也是方程y=0的一个解,
则原方程的解集为{﹣,},
故答案为:{﹣,}.
5.(2021春•虹口区校级期末)设φ∈[0,2π),若关于x的方程cos(2x+φ)=a在区间[0,2π]上有5个解,且它们的和为,则φ= 或 . .
【解答】解:令 f(x)=cos(2x+φ),则 ,
因为关于 x 的方程 cos(2x+φ)=a 在区间[0,2π]上有 5 个解,
则函数 f(x) 在[0,2π]上有 5 个零点,记为 x1,x2,x3,x4,x5,不妨设 x1<x2<x3<x4<x5,
因为 ,即[0,2π]的区间长度等于 2 个周期,
所以必有 x1=0,x3=π,x5=2π,如下图所示,
结合三角函数的图象可知 ⇒,
于是 ,又因为函数 y=cosx 的对称轴为 x=kπ(k∈Z),
所以 ,即 (k∈Z),
又因为 φ∈[0,2π),所以 或 .
故答案为: 或 .
四.数列的极限(共1小题)
6.(2021春•徐汇区校级期末)(1+++……+)= 2 .
【解答】解:==2(),
∴(1+++……+)=2(1﹣+…)=(2﹣)=2.
故答案为:2.
五.平面向量数量积的性质及其运算(共14小题)
7.(2021春•宝塔区校级期末)如图是某自行车的平面结构示意图,已知圆A(前轮)、圆D(后轮)的半径均为,△ABE,△BEC,△ECD均是边长为4的等边三角形;设点P为后轮上的一点,则在骑动该自行车的过程中,的最大值为 36 .
【解答】解:据题意:圆D(后轮)的半径均为,△ABE,△BEC,△ECD均是边长为4的等边三角形.点P为后轮上的一点,如图建立平面直角坐标系:
则A(﹣8,0),B(﹣6,2),C(﹣2,2).
圆D的方程为x2+y2=3,
可设P(cosα,sinα),0≤α<2π,
所以=(6,),=(cosα+6,sinα﹣2).
故=6sinα+6cosα+24=12(sinα+cosα)+24
=12sin(α+)+24≤12+24=36,当且仅当α=时,取得最大值36.
故答案为:36.
8.(2021春•松江区期末)如图,O是线段AB外一点,|OA|=3,|OB|=2,P是线段AB的垂直平分线l上的动点,则•的值为 .
【解答】解:如图,设l与AB交于C,即C为AB的中点,连接OC,
则•=()•=,
∵l⊥AB,∴,
∴
=
=.
故答案为:﹣.
9.(2021春•松江区期末)已知、满足||=4,在方向上的数量投影为﹣2,则|﹣3|的最小值为 10 .
【解答】解:因为||=4,在方向上的数量投影为﹣2,所以||cosθ=﹣2,其中θ为,夹角,
即=﹣2,∴=﹣2||=﹣8,
则|﹣3|====10.
则|﹣3|的最小值为10,当θ=0时取等号.
10.(2021春•宝山区期末)已知向量=(5,3),=(﹣1,2),则在上的投影向量的坐标为 .
【解答】解:向量=(5,3),=(﹣1,2),
∴在上的投影向量的坐标为:==(﹣1,2)=.
故答案为:(,).
11.(2021春•虹口区校级期末)已知、为单位向量,,则在方向上的投影为 .
【解答】解:由题意可得2+2=2﹣4+2,
所以=,所以=1+=,
设与的夹角为α,则||•||cosα=,
所以||==,
所以||cosα==.
所以在方向上的投影为.
故答案为:.
12.(2021春•宝山区校级期末)如图所示,半径为1的圆O内接于正方形ABCD,点P是圆O上的一个动点,点P′与P关于直线AC成轴对称,若=,则||的取值范围是 [] .
【解答】解:以点O为坐标原点,建立平面直角坐标系如图所示,
则A(1,1),故圆O为x2+y2=1,直线AC的方程为y=x,
设P(x,y),则点P关于直线AC的对称点P'(y,x),
故,
又=,
所以,
又点A(1,1),所以Q(y+1,x+1),
则,
故,
动点P在圆x2+y2=1上,则0≤(y﹣x)2≤2,
所以2≤2(y﹣x)2+2≤6,
则,
所以||的取值范围是.
故答案为:.
13.(2021春•浦东新区校级期末)如图,在三角形ABC中,点D是边BC的中点,O是AD的中点,若BO=AD=2,则= ﹣6 .
【解答】解:以D为原点,以BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,如图所示,
设BD=a,∠OBD=θ,则D(0,0),B(﹣a,0),O(﹣a+2cosθ,2sinθ),A(﹣2a+4cosθ,4sinθ),
∴=(a﹣4cosθ,﹣4sinθ),=(2a,0),
∵OD=1,∴(﹣a+2cosθ)2+4sin2θ=1,整理得:a2﹣4acosθ=﹣3,
∴=2a2﹣8acosθ=﹣6.
故答案为:﹣6.
14.(2021春•浦东新区校级期末)定义两个平面向量的一种新运算:sin<,>,其中<,>表示,的夹角.对于平面上的任意,,向量,λ∈R,下列运算性质一定成立的是 ①④ .
①若,则与共线;
②;
③;
④.
【解答】解:由若得sin<,>=0,得<,>=0或π,∴与共线,∴①对;
例如:=﹣,与(或)不共线,+=,∴②中等式左边为0,右边不为0,∴②错;
当λ<0时,③中等式左边为负,右边为正,∴③错;
④中等式左边=||2||2sin2<,>+||2||2cos2<,>
=||2||2(sin2<,>+cos2<,>)=||2||2=右边.∴④对.
故答案选:①④.
15.(2021•宝坻区模拟)在平行四边形ABCD中,AB=2,∠ABC=60°,AC,BD相交于点O,E为线段AC上的动点,若,则的最小值为 ﹣ .
【解答】解:平行四边形ABCD中,AB=2,∠ABC=60°,AC,BD相交于点O,,
可得==﹣,
可得﹣2﹣=﹣,
解得|BC|=3,建立如图所示的坐标系,
则C(0,0),A(﹣2,),B(﹣3,0),D(1,),AC的方程为:y=﹣x
设E(m,),m∈[﹣2,0],=(m+3,),=(m﹣1,﹣)
==≥﹣.当且仅当m=﹣1时取等号.
故答案为:﹣.
16.(2021春•宝山区期末)如图,在直角三角形△ABC中,斜边AB=4,以斜边AB为一边向外作矩形ABMN,且BM=2(其中点M,N与C在直线AB两侧),则的取值范围是 .
【解答】解:设∠ABC=θ∈(,),以C为原点直线CB、CA分别为x轴、y轴,建立平面直角坐标系,如图所示:
则M(4cosθ+2sinθ,2cosθ),N(2sinθ,4sinθ+2cosθ),C(0,0),
∴=(4cosθ+2sinθ)•2sinθ+2cosθ(4sinθ+2cosθ)
=8sinθcosθ+4sin2θ+8sinθcosθ+4cos2θ=8sin2θ+4.
∵θ∈(,),∴2θ∈(,),∴sin2θ∈[,1],
∴8sin2θ+4∈(4+4,12].
故答案为:(4+4,12].
17.(2021春•虹口区校级期末)向量数列满足,且满足,,若.则当Sn取最大值时,n的值为 6或7 .
【解答】解:向量数列满足,
所以,,…,,
所有的式子相加得到,
所以,
因为,,
所以==
==
=9n﹣+=
=,其对称轴方程为n==(n为整数),
所以n=6或7时,Sn取最大值.
故答案为:6或7.
18.(2021春•松江区期末)已知x∈[0,π],向量=(sinx,1),=(2,cosx),当取到最大值时,x的值是 ﹣arcsin .
【解答】解:=2sinx+cosx=sin(x+∅),其中sin∅=,
可得∅=arcsin,当x+∅=时取到最大值,
此时x=﹣arcsin,
故答案为:﹣arcsin.
19.(2021春•上海期末)正方形ABCD的边长为4,O是正方形ABCD的中心,过中心O的直线l与边AB交于点M,与边CD交于点N,P为平面上一点,满足,则的最小值为 ﹣7 .
【解答】解:如图,以O为坐标原点,以过O且平行于AB的直线为x轴,以过O且垂直于AB的直线为y轴建立坐标系,
则B(2,﹣2),C(2,2),
∴2=+(1﹣λ)=λ(2,﹣2)+(1﹣λ)(2,2)=(2,2﹣4λ),∴=(1,1﹣2λ)
即P点坐标为(1,1﹣2λ),
设M(a,﹣2),则N(﹣a,2),﹣2≤a≤2,
∴=(a﹣1,2λ﹣3),=(﹣a﹣1,2λ+1)
∴=(a﹣1)(﹣a﹣1)+(2λ﹣3)(2λ+1)=1﹣a2+4λ2﹣4λ﹣3,
当a=±2且λ=﹣=时,有最小值﹣7.
故答案为:﹣7.
20.(2021春•浦东新区校级期末)△ABC中,三边a,b,c满足成等差数列,三角A,B,C满足sinB=cosA•sinC,且,若存在动点P满足,且,则xy的最大值为 .
【解答】解:由△ABC中,三边a,b,c满足成等差数列得2b=a+c,由正弦定理得2sinB=sinA+sinC,
由sinB=cosA•sinC得sin(A+C)=cosAsinC得C=,由2sinB=sinA+sinC得2cosA=sinA+1,
代入sin2A+cos2A=1可得sinA=,cosA=,由,得bccosA=16,得bc=20,
可令a=3,b=4,c=5,以A为原点、CA、CB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图:
则A(4,0),B(0,3),C(0,0),设P(s,t),
根据得(s﹣4,t)=λ(﹣s,3﹣t)∴3s+4t=12,
由得(s,t)=(2x,0)+(0,3y),∴,
∴12=6x+4y≥2,得xy≤,∴xy的最大值为 .
故答案为:.
六.虚数单位i、复数(共1小题)
21.(2021春•上海期末)已知复数Zn=an+bni(an、bn∈R),满足Z1=1,Zn+1=+1+2i(n∈N*),其中i为虚数单位,表示Zn的共轭复数,则Z100= 100+2i .
【解答】解:因为Z1=1,Zn+1=+1+2i,
则Z2=a2+b2i=,
所以a1=1,a2=2,b1=0,b2=2,
则,
所以,
又Zn=an+bni,
则Zn+1=an+1+bn+1i,
所以an+1=an+1,bn+1=2﹣bn,
故an+1﹣an=1,bn+1+bn=2,
所以数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列,
则an=n,
故a100=100,
因为b1=0,b2=2,所以b3=0,b4=2,•••,b100=2,
则Z100=a100+b100i=100+2i.
故答案为:100+2i.
七.复数的代数表示法及其几何意义(共2小题)
22.(2021春•宝塔区校级期末)已知复数﹣3+3i在复平面上所对应的向量是,将绕原点O顺时针旋转120°得到向量,则向量所对应的复数为 (结果用复数的代数形式表示).
【解答】解:向量与复数﹣3+3对应,把绕原点O按顺时针方向旋转120°得到,
可得与对应的复数为(﹣3+3i)•[cos(﹣120°)+isin(﹣120°)]
=(﹣3+3i)(﹣)=,
故答案为:.
23.(2021春•虹口区校级期末)在复平面内,复数6﹣5i、﹣2+3i对应的点分别为A、B,若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是 2﹣i .
【解答】解:∵复数6﹣5i、﹣2+3i对应的点分别为A、B,
∴A(6,﹣5),B(﹣2,3),
∵C为线段AB的中点,∴C(2,﹣1),
∴点C对应的复数是2﹣i.
故答案为:2﹣i.
八.复数的运算(共2小题)
24.(2021春•虹口区校级期末)已知复数z满足,则z= ±2i .
【解答】解:设z=a+bi,a,b∈R,
∵,
∴a+bi+=0,∴a+bi+=0,化为:a+bi+=0,
∴a++(b﹣)i=0,
∴a+=0,b﹣=0,
解得:a=0,b=±2.
则z=±2i,
故答案为:±2i.
25.(2021春•嘉定区校级期末)在复平面内,复数(i为虚数单位)对应的点与原点的距离是 .
【解答】解:∵=,
∴复数对应的点的坐标为(1,﹣1),与原点的距离是.
故答案为:.
九.复数的模(共2小题)
26.(2021春•嘉定区校级期末)已知关于x的方程x2+zx+4+3i=0有实数根,则复数z的模的最小值为 3 .
【解答】解:由题意可设方程的实数根为x,且x≠0,
则z=﹣=﹣﹣,
∴|z|==≥3,当且仅当,即x=时,等号成立,
∴复数z的模的最小值为3,
故答案为:3.
27.(2021春•浦东新区校级期末)已知k+2个两两互不相等的复数z1、z2、…、zk、w1、w2,满足﹣=,且|wj﹣za|∈{1,3}(其中j=1、2;a=0、1、2、…、k),则k的最大值为 5 .
【解答】解:设w1=a+bi,w2=c+di(a,b,c,d∈R),
∵﹣=,∴(﹣)•(w1﹣w2)=4,即((a﹣b)﹣(c﹣d)i)((a﹣b)+(c﹣d)i)=4,
即(a﹣b)2+(c﹣d)2=4,故w1、w2对应平面内距离为2的点,如图F、G,
∵|wj﹣za|∈{1,3},∴za与w1、w2对应的点的距离为1或3,
构成了点A、B、C、D、E共5个点,
故k的最大值为5,
故答案为:5.
一十.计数原理的应用(共1小题)
28.(2021春•徐汇区校级期末)某天,一个班级只有四门学科教师都布置了晚自习作业,晚自习上,在同一时刻3名学生都做作业的可能情形有 64 种(用数字作答).
【解答】解:每一名学生做作业的情况有4种,
故在同一时刻3名学生都做作业的可能情形43=64种,
故答案为:64.
一十一.排列、组合及简单计数问题(共1小题)
29.(2021春•徐汇区校级期末)市内某公共汽车站有10个候车位(成一排),现有4名乘客随便坐在某个座位上候车,则恰好有5个连续空座位的候车方式共有 480 种.(用数字作答)
【解答】解:把四位乘客当作4个元素作全排列有A44种排法,
将一个空位和余下的5个空位作为一个元素插空有A52种排法,
∴A44•A52=480;
故答案为480.
一十二.弧长公式(共1小题)
30.(2021春•松江区期末)已知一扇形的弧所对的圆心角为60°,半径r=20cm,则扇形的周长为 40+π cm.
【解答】解:由题意,扇形的弧长为=πcm,
∴扇形的周长为(40+π)cm.
故答案为:40+π.
一十三.扇形面积公式(共1小题)
31.(2021春•金山区校级期末)已知一扇形的周长为20cm,当这个扇形的面积最大时,半径R的值为 5cm .
【解答】解:∵扇形的周长为20cm,
∴l=20﹣2R,
∴S=lR=(20﹣2R)•R=﹣R2+10R=﹣(R﹣5)2+25,
∴当半径R=5cm时,扇形的面积最大为25cm2.
故答案为:5cm
一十四.任意角的三角函数的定义(共1小题)
32.(2021春•宝山区期末)设点P是以原点为圆心的单位圆上的一个动点,它从初始位置P0(0,1)出发,沿单位圆顺时针方向旋转角后到达点P1,然后继续沿单位圆顺时针方向旋转角到达点P2,若点P2的纵坐标是,则点P1的坐标是 .
【解答】解:初始位置P0(0,1)在的终边上,
P1所在射线对应的角为,
P2所在射线对应的角为,
由题意可知,,
又,
则,解得,
P1所在的射线对应的角为=,
由任意角的三角函数的定义可知,点P1的坐标是,即.
故答案为:.
一十五.三角形的形状判断(共1小题)
33.(2021春•松江区期末)在△ABC中,若c=2acosB,则△ABC的形状是 等腰 三角形.
【解答】解:由正弦定理可得 sin(A+B)=2sinAcosB,由两角和的正弦公式可得 sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB,
∴sin(A﹣B)=0,又﹣π<A﹣B<π,∴A﹣B=0,故△ABC的形状为等腰三角形,
故答案为:等腰三角形.
一十六.正弦函数的图象(共2小题)
34.(2021春•浦东新区校级期末)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ<2π)是R上的偶函数,图象关于点M(π,0)对称,在[0,]是单调函数,则符合条件的数组(ω,φ)有 4 对.
【解答】解:函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ<2π)是R上的偶函数,
∴φ= 或φ=,
故当φ=时,f(x)=cosωx,
∵它的图象关于点M(π,0)对称,∴ω×=kπ+,k∈Z,即ω=.
在[0,]是单调函数,∴=≥﹣0,∴0<ω≤2.
当k=0,ω=;当k=1,ω=2.
则符合条件的数组(ω,φ)有:(,)、(2,).
当φ= 时,f(x)=﹣cosωx,同理求得符合条件的数组(ω,φ)有:(,)、(2,).
综上可得,符合条件的数组(ω,φ)有4对,
故答案为:4.
35.(2021春•松江区期末)已知函数f(x)=4sin(2x﹣),x∈[0,],若F(x)=f(x)﹣3的所有零点依次记为x1,x2,x3,…,xn,且x1<x2<x3<…<xn,则x1+2x2+2x3+…+2xn﹣1+xn= .
【解答】解:令,可得,
∴函数的对称轴为,
又∵f(x)的周期为,
∴令,解得k=8,
∴函数在x∈[0,]上有9条对称轴,
由正弦函数的性质可知,,,
将以上各式相加可得,x1+2x2+2x3+…+2xn﹣1+xn=.
故答案为:.
一十七.正弦函数的奇偶性和对称性(共1小题)
36.(2021春•嘉定区校级期末)若f(x)=2sin(ωx+φ)+m,对任意实数t都有,且,则实数m的值等于 ﹣3或1 .
【解答】解:∵f(t+)=f(﹣t),
用﹣t替换上式中的t,得f(t)=f(﹣t),
∴f(x)=2sin(ωx+Φ)+m的图象关于直线x=对称,
∴y=f(x)在对称轴x=处取到最值,
∵f()=﹣1,
∴2+m=﹣1或﹣2+m=﹣1,
解得:m=﹣3或m=1,
故答案为:﹣3或1.
一十八.余弦函数的图象(共1小题)
37.(2021春•徐汇区期末)已知函数y=a+cosωx,x∈[﹣π,π](其中a、ω为常数,且ω>0)有且仅有三个零点,则ω的取值范围是 [2,4) .
【解答】解:函数y=a+cosωx在[﹣π,π]上为偶函数,且函数有且仅有三个零点,
故必有一个零点为x=0,
所以a+cos0=0,解得a=﹣1,
所以函数y=cosωx﹣1,
则函数y=cosωx﹣1在[﹣π,π]上有且仅有三个零点,
等价于y=cosωx的图象与直线y=1在[﹣π,π]上有且仅有三个交点,
当ω=1时,函数y=cosx与y=1在[﹣π,π]上有且仅有一个交点,故ω>1;
当ω=2时,函数y=cos2x与y=1在[﹣π,π]上恰有3个交点,如图所示,故ω≥2,
当ω=4时,函数y=cos4x与y=1在[﹣π,π]上恰有5个交点,如图所示,故ω<4.
综上所述,ω的取值范围是[2,4).
故答案为:[2,4).
一十九.正切函数的图象(共1小题)
38.(2021春•宝塔区校级期末)已知函数y=tanωx在区间上是严格减函数,则实数ω的取值范围是 [﹣1,0) .
【解答】解:∵函数y=tanωx在区间上是严格减函数,
∴ω<0,且﹣≤•ω,﹣•ω≤,
求得﹣1≤ω<0,
故实数ω的取值范围为[﹣1,0),
故答案为:[﹣1,0).
二十.由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式(共1小题)
39.(2021春•松江区期末)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|≤)的部分图象如图所示,则f(x)= 2sin(x) .
【解答】解:由图象知A=2,周期T=8,即 =8,得ω=,
由五点对应法得2×+φ=,得φ=0,
则f(x)=2sin(x).
故答案为:2sin(x).
二十一.y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义(共1小题)
40.(2021春•上海期末)若函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图,则ω= 4 .
【解答】解:由函数的图象可知,(x0,y0)与(x0+,﹣y0),纵坐标相反,而且不是相邻的对称点,
所以函数的周期T=2(x0+﹣x0)=,
所以T==,所以ω=4.
故答案为:4.
二十二.三角函数的最值(共1小题)
41.(2021春•浦东新区校级期末)定义:对于任意实数p、q,max{p,q}=.设函数y=g(x)的表达式为g(x)=max{x,acosx}(x∈R,常数a>0),函数y=f(x)的表达式为f(x)=2sinx+1,若对于任意x1∈R,总存在x2∈R使得g(x1)=f(x2)成立,则实数a的取值范围是 (0,] .
【解答】解:因为2π是g(x)的周期,所以讨论[0,2π)上的解析式.
当x∈[0,2π)时,=.所以g(x)的值域为A=;
f(x)=2sinx+1的值域为B=[﹣1,3];
条件等价于A⊆B,所以,又a>0,解得.
故答案为:.
二十三.实系数多项式虚根成对定理(共1小题)
42.(2021春•虹口区校级期末)若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根,则c= 2 .
【解答】解:1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根,
则1﹣i也是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根,
可得﹣b=1+i+1﹣i,b=﹣2,
c=(1+i)(1﹣i)=2.
故答案为:2.