09解答题（中档题） 2020-2021学年上海市各区高一（下）期末数学知识点分类汇编

这是一份09解答题（中档题） 2020-2021学年上海市各区高一（下）期末数学知识点分类汇编，共28页。试卷主要包含了且是纯虚数，＝4+4i，若z1＝2﹣2i等内容，欢迎下载使用。
09解答题（中档题）
一十三．复数的运算（共7小题）
26．（2021春•金山区校级期末）设复数z＝a﹣i，其中i为虚数单位，a∈R．
（1）若z（1+i）是纯虚数，求实数a的值；
（2）若a＝2，求复数+i的模．
27．（2021春•浦东新区校级期末）已知复数z1＝sin2x﹣ti，，i为虚数单位，t，a，x∈R，且z1＝z2．
（1）若t＝0且，求x的值；
（2）设t＝f（x），已知，求．
28．（2021春•宝塔区校级期末）若在复数范围内，关于x的方程x2﹣2ax+a2﹣a＝0至少有一个模为2的根，求实数a的值．
29．（2021春•虹口区校级期末）已知复数zn满足：（1+2i）＝4+3i，zn+1﹣zn＝2+2i（n∈N*）．
（1）求复数z1，并指出z1的实部和虚部；
（2）求满足|zn|≤13的最大正整数n的值．
30．（2021春•宝山区校级期末）设复数z＝a+bi（其中a、b∈R），z1＝z+ki，z2＝•ki（其中k∈R）．
（1）设a＝b＝，若|z1|＝|z2|，求出实数k的值；
（2）若复数z满足条件：存在实数k，使得z1与z2是某个实系数一元二次方程的两个虚数根，求符合条件的复数z的模的取值范围．
31．（2021春•普陀区校级期末）已知关于x的实系数一元二次方程x2+ax+b＝0（a，b∈R）．
（1）若一根为1﹣2i，求a，b的值；
（2）若存在模为1的虚数根，求a，b满足的条件；
（3）设a＝b＝2，z0是虚数根，记z0，，在复平面上对应点分别为A，B，C，求的值．
32．（2021春•嘉定区校级期末）设复数z1，z2满足z1z2+2i•z1﹣2i•z2+1＝0．
（1）若z1，z2满足，求z1，z2；
（2）若z1，z2是实系数一元二次方程的两个虚根，求实数p的值；
（3）若，是否存在常数k，使得等式|z2﹣4i|＝k恒成立，若存在，试求出k；若不存在说明理由．
一十四．复数的模（共3小题）
33．（2021春•浦东新区校级期末）已知复数z＝a+bi（其中a、b∈R），存在实数t，使＝﹣3ati成立．
（1）求证：2a+b＝6；
（2）求|z|的取值范围．
34．（2021春•嘉定区校级期末）i为虚数单位，z＝a+bi（a，b∈R）且是纯虚数．
（1）求|z﹣2|的取值范围；
（2）若，求4v﹣u2的最小值．
35．（2021春•徐汇区校级期末）已知f（z）＝﹣1，且f（z1﹣z2）＝4+4i，若z1＝2﹣2i．
（1）求复数z1＝2﹣2i的三角形式，并且复数z1的辐角主值argz1；
（2）求|．
一十五．三角函数恒等式的证明（共1小题）
36．（2021春•松江区期末）（1）已知角α终边上有一点P的坐标是（3a，﹣4a），其中a＞0，求2sinα+cosα的值；
（2）证明恒等式：＝．
一十六．三角函数中的恒等变换应用（共2小题）
37．（2021春•浦东新区校级期末）已知ω＞0，函数f（x）＝sin2ωx﹣sinωxcosωx的最小值为m，且y＝f（x）图象的两条相邻对称轴之间的距离是．
（1）求m的值；
（2）求y＝f（x）在[0，π]上的单调减区间；
（3）求使得f（x）≥1成立的x的取值范围．
38．（2021春•宝山区校级期末）设函数y＝f（x）的表达式为f（x）＝2cos（ωx+）cos（ωx﹣）+sin（2ωx），其中常数ω＞0．
（1）求函数y＝f（x）的值域；
（2）设实数x1、x2满足|x1﹣x2|＝＜，若对任意x∈R，不等式f（x1）≤f（x）≤f（x2）都成立，求ω的值以及方程f（x）＝1在闭区间[0，π]上的解．
一十七．两角和与差的三角函数（共3小题）
39．（2021春•浦东新区校级期末）已知m∈R，α、β是关于x的方程x2+2x+m＝0的两根．
（1）若|α﹣β|＝2，求m的值；
（2）用m表示|α|+|β|．
40．（2021春•静安区期末）求函数 的值域与单调增区间．
41．（2021春•嘉定区校级期末）已知
（1）求f（x）的解析式及其最小正周期；
（2）求f（x）的单调增区间．
一十八．五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象（共1小题）
42．（2021春•静安区期末）用“五点法”作出函数y＝1﹣sinx，x∈[0，2π]的大致图象，并写出使得1≤y≤2的x的取值范围．
一十九．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换（共1小题）
43．（2021春•宝山区期末）已知函数．
（1）求函数f（x）的振幅、频率、初始相位，以及在x∈[0，2π]上的增区间；
（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，函数h（x）＝f（x）+g（x），当，且x1≠x2时，有h（x1）＝h（x2），求h（x1+x2）的值．
二十．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式（共1小题）
44．（2021春•徐汇区期末）主动降噪耳机工作的主要原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示）．已知某噪声声波曲线的解析式为f（x）＝Asin（x+φ）（A＞0，0≤φ＜π），其中振幅为2且经过点（1，﹣2）．
（1）求该噪声声波曲线的解析式f（x）以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式g（x）；
（2）证明：g（x）+g（x+1）+g（x+2）为定值．

二十一．正弦定理（共2小题）
45．（2021春•浦东新区校级期末）在△ABC中，已知BC＝a，CA＝2，A＝．
（1）若C＝，求a的值；
（2）若a＝3，求S△ABC．
46．（2021•虹口区二模）如图某公园有一块直角三角形ABC的空地，其中∠ACB＝，∠ABC＝，AC长a千米，现要在空地上围出一块正三角形区域DEF建文化景观区，其中D、E、F分别在BC、AC、AB上．设∠DEC＝θ．
（1）若θ＝，求△DEF的边长；
（2）当θ多大时，△DEF的边长最小？并求出最小值．

二十二．三角形中的几何计算（共1小题）
47．（2021春•宝山区期末）如图所示，平面四边形BCDE为某金鱼池区域，△ABE为观光区域，准备在AB、BE、AE三条边上修建观地训路，已知∠BCD＝∠CDE＝∠BAE＝，BC＝CD＝20米，DE＝80米．
（1）求四边形BCDE的面积（精确到0.1平方米）；
（2）求观光道路长度总和的最大值（精确到0.1米，不考虑道路的宽度）．

二十三．解三角形（共5小题）
48．（2021春•浦东新区校级期末）如图所示，在河对岸有两座垂直于地面的高塔CD和EF．小明在只有量角器（可以测量从测量人出发的两条射线的夹角）和直尺（可测量步行可抵达的两点之间的直线距离）且不渡过河的条件下，为了计算塔CD的高度，他在点A测得点D的仰角为30°，∠CAB＝75°，又选择了相距100米的B点，测得∠ABC＝60°．
（1）请你根据小明的测量数据求出塔CD高度；
（2）在完成（1）的任务后，小明想要计算两塔顶之间的距离DF，在测得∠BAE＝90°之后，小明准备再测量两个角的大小，并为此准备了如下四个方案：
方案①：测量∠ABF和∠DAF
方案②：测量∠ABE和∠EAF
方案③：测量∠ABE和∠ECF
方案④：测量∠ABF和∠AFB
请问：小明的备选方案中有哪些是可行的？写出所有可行方案的序号；
（3）选择（2）中的一种方案，并结合以下数据，计算出两塔顶DF之间的距离，精确到米．∠ABF＝58.0°，∠ABE＝50.2°，∠DAF＝16.7°，∠EAF＝41.5°，∠ECF＝53.8°，∠AFB＝32.0°．

49．（2021春•浦东新区校级期末）如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4米，于是选择沿A→B→C路线清扫，已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2米/秒，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10秒钟完成了清扫任务．
（1）B、C两处垃圾的距离是多少米？（精确到0.1）
（2）智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角∠ABC是多少弧度？（用反三角函数表示）

50．（2021春•上海期末）如图所示，甲船在距离A港口24海里，并在南偏西20°方向的C处驻留等候进港，乙船在A港口南偏东40°方向的B处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为31海里．
（1）求∠ABC的大小；
（2）当乙船行驶20海里到达D处，接到港口指令，前往救援忽然发生火灾的甲船，此时甲、乙两船之间的距离为多少？

51．（2021春•徐汇区期末）为了测量金茂大厦最高点A与上海中心大厦最高点B之间的距离，一架无人机在两座大厦的正上方飞行，无人机的飞行轨迹是一条水平直线MN，并且在飞行路线上选择C、D两点进行定点测量（如图），无人机能够测量的数据有：无人机的飞行高度h，CD间的距离d和俯角（即无人机前进正方向与无人机、测量目标连线所成的角）．
（1）若无人机在C处测得∠NCA＝α，在D处测得∠NDA＝β，其中α、β∈（0，），问：能否测得金茂大厦的高？若能，请求出金茂大厦的高度（用已知数据h、d、α、β表示），若不能，请说明理由；
（2）若要进一步计算金茂大厦最高点A与上海中心大厦最高点B之间的距离，还需测量哪些数据？请用文字和公式简要叙述测量与计算的步骤．

52．（2021春•金山区校级期末）某市需拍卖一块近似圆形的土地（如图），内接于圆的平面四边形ABCD作为建筑用地，周边需做绿化．因地面限制，只能测量出AB＝1km，AD＝2km，测角仪测得∠BAD＝120°．
（1）求BD的长；
（2）因地理条件限制，AB，AD不能变更，但点C可以调整．建筑商为利益最大化，要求在弧上设计一点C使得四边形ABCD面积最大，求四边形ABCD面积的最大值．

二十四．三角函数的最值（共1小题）
53．（2021春•松江区期末）已知函数f（x）＝sin2x+2cos2x+2，x∈[0，]．
（1）求函数y＝f（x）的值域；
（2）求函数y＝f（x）单调递减区间；
（3）若不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，求实数m的取值范围．
二十五．三角形的面积公式（共1小题）
54．（2021春•普陀区校级期末）已知点A（﹣1，﹣2），B（2，2），C（﹣2，﹣1）．
（1）求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
（2）求△ABC的面积．
二十六．实系数多项式虚根成对定理（共1小题）
55．（2021春•静安区期末）设z是实系数一元二次方程x2﹣2x+2＝0的根．
（1）求出所有z；
（2）选取（1）中求出的一个z值，计算 的值．
参考答案与试题解析
一十三．复数的运算（共7小题）
26．（2021春•金山区校级期末）设复数z＝a﹣i，其中i为虚数单位，a∈R．
（1）若z（1+i）是纯虚数，求实数a的值；
（2）若a＝2，求复数+i的模．
【解答】解：（1）∵z（1+i）＝（a﹣i）（1+i）＝（a+1）+（a﹣1）i是纯虚数，
∴，解得a＝﹣1；
（2）若a＝2，则＝，
∴复数+i的模为．
27．（2021春•浦东新区校级期末）已知复数z1＝sin2x﹣ti，，i为虚数单位，t，a，x∈R，且z1＝z2．
（1）若t＝0且，求x的值；
（2）设t＝f（x），已知，求．
【解答】解：（1）t＝0，z1＝z2．
∴sin2x＝a+（a﹣cos2x）i，
∴sin2x＝a，a﹣cos2x＝0，
∴sin2x﹣cos2x＝0，
∴tan2x＝，
∵，
∴0＜2x＜，
∴2x＝，或2x＝，
解得x＝，或x＝．
（2）z1＝z2．
∴sin2x﹣ti＝a+（a﹣cos2x）i，
∴sin2x＝a，t＝cos2x﹣a，
∴t＝﹣sin2x+cos2x＝f（x），
∴f（α）＝﹣sin2α+cos2α＝，
∴sin2α﹣cos2α＝﹣，
∴sin（2α﹣）＝﹣，
∴＝sin[2（2α﹣）+]＝﹣cos[2（2α﹣）]＝﹣[1﹣2]＝2×﹣1＝﹣．
28．（2021春•宝塔区校级期末）若在复数范围内，关于x的方程x2﹣2ax+a2﹣a＝0至少有一个模为2的根，求实数a的值．
【解答】解：①若两根为实根时，不妨设|x1|＝2，则x1＝±2，
当x1＝2时，则a2﹣5a+4＝0，解得a＝1或a＝4；
当x1＝﹣2时，则a2+3a+4＝0，由于Δ＝9﹣16＝﹣7＜0，可得a无解．
②若两根为虚根时，则 x1＝，x1•x2＝＝4，即a2﹣a＝4，求得a＝．
再根据此时Δ＝（﹣2a）2﹣4（a2﹣a）＝4a＜0，得a＜0，
所以a＝．
综上可得，a＝，或a＝4，或 a＝1．
29．（2021春•虹口区校级期末）已知复数zn满足：（1+2i）＝4+3i，zn+1﹣zn＝2+2i（n∈N*）．
（1）求复数z1，并指出z1的实部和虚部；
（2）求满足|zn|≤13的最大正整数n的值．
【解答】解：（1）设z1＝a+bi（a，b∈R），则，
由（1+2i）＝4+3i，得（1+2i）（a﹣bi）＝4+3i，
即a+2b+（2a﹣b）i＝4+3i，∴，解得：，
∴z1＝2+i，z1的实部和虚部分别为2，1；
（2）由zn+1﹣zn＝2+2i（n∈N*）得：z2﹣z1＝2+2i，
z3﹣z2＝2+2i，z4﹣z3＝2+2i，…，zn﹣zn﹣1＝2+2i（n∈z，n≥2）．
累加得zn﹣z1＝2（n﹣1）+（n﹣1）i（n∈N*），
∴zn＝2n+（2n﹣1）i（n∈N*），
则|zn|＝＝，
令|zn|≤13，即8n2﹣4n+1≤169，∴2n2﹣n﹣42≤0，
∴≤n≤＜5．
∴n的最大整数取值是4．
30．（2021春•宝山区校级期末）设复数z＝a+bi（其中a、b∈R），z1＝z+ki，z2＝•ki（其中k∈R）．
（1）设a＝b＝，若|z1|＝|z2|，求出实数k的值；
（2）若复数z满足条件：存在实数k，使得z1与z2是某个实系数一元二次方程的两个虚数根，求符合条件的复数z的模的取值范围．
【解答】解：（1）∵a＝b＝，∴，
∴，，
∵|z1|＝|z2|，∴，
解得k＝﹣1．
（2）z1＝a+（b+k）i，z2＝bk+aki，
∵z1与z2是某个实系数一元二次方程的两个虚数根，
∴z1与z2互为共轭复数，∴，
若b＝0，则a＝k＝0，由于z1，z2不为零，不符合题意，
若b≠0，则，整理得b2＝﹣a2﹣a，
∵b2＞0，∴a∈（﹣1，0），∴|z|2＝a2+b2＝﹣a，
∴复数z的模的取值范围为（0，1）．
31．（2021春•普陀区校级期末）已知关于x的实系数一元二次方程x2+ax+b＝0（a，b∈R）．
（1）若一根为1﹣2i，求a，b的值；
（2）若存在模为1的虚数根，求a，b满足的条件；
（3）设a＝b＝2，z0是虚数根，记z0，，在复平面上对应点分别为A，B，C，求的值．
【解答】解：（1）若一根为1﹣2i，则（1﹣2i）2+a（1﹣2i）+b＝0，∴a+b﹣3﹣（2a+4）i＝0，
∴，∴，
（2）设模为1的虚数根为m+ni（m，n∈R且n≠0），
则（m+ni）2+a（m+ni）+b＝0，∴m2﹣n2+am+b+（2mn+an）i＝0，
∴，∴b＝1，a＝﹣2m，
∵m2+n2＝1，∴m∈（﹣1，1），
∴a＝﹣2m∈（﹣2，2），b＝1．
（3）若a＝b＝2，则实系数一元二次方程为x2+2x+2＝0，
∵x＝＝﹣1±i，
①若z0＝﹣1+i，∴＝﹣2i，＝﹣1+3i，∴A（﹣1，1），B（0，﹣2），C（﹣1，3），
∴＝1﹣3＝﹣2，
②若z0＝﹣1﹣i，∴＝2i，＝﹣1﹣3i，∴A（﹣1，﹣1），B（0，2），C（﹣1，﹣3），
∴＝1﹣3＝﹣2，
综上，＝1﹣3＝﹣2．
32．（2021春•嘉定区校级期末）设复数z1，z2满足z1z2+2i•z1﹣2i•z2+1＝0．
（1）若z1，z2满足，求z1，z2；
（2）若z1，z2是实系数一元二次方程的两个虚根，求实数p的值；
（3）若，是否存在常数k，使得等式|z2﹣4i|＝k恒成立，若存在，试求出k；若不存在说明理由．
【解答】解：(1)设z1＝a+bi（a,b∈R），则z2＝a﹣（b+2）i，
∵z1z2+2i•z1﹣2i•z2+1＝0，
∴（a+bi）（a﹣（b+2）i）+2i(a+bi)﹣2i(a﹣（b+2）i)+1＝0，
∴a2+b(b+2)+1﹣4b﹣4﹣2ai＝0，
∴a2+b(b+2)+1﹣4b﹣4＝0，2a＝0，
解得，a＝0,b＝3或b＝﹣1，
故z1＝3i，z2＝﹣5i或z1＝﹣i，z2＝﹣i．
(2)∵z1，z2是实系数一元二次方程的两个虚根,
∴z1+z2＝2，z1z2＝p，
设z1＝+bi，则z2＝﹣bi，
由题意得，2+b2＝p，p+2i•2bi+1＝0,
解得,b＝1,p＝3或b＝3,p＝11；
故p＝3或p＝11．
(3)设z1＝a+bi（a,b∈R），则a2+b2＝3，
由z1z2+2i•z1﹣2i•z2+1＝0得，
z2﹣4i＝﹣4i＝﹣，
∴|z2﹣4i|＝|﹣|
＝|3i|•||＝3•
＝3＝3；
故k＝3．
一十四．复数的模（共3小题）
33．（2021春•浦东新区校级期末）已知复数z＝a+bi（其中a、b∈R），存在实数t，使＝﹣3ati成立．
（1）求证：2a+b＝6；
（2）求|z|的取值范围．
【解答】（1）证明：∵z＝a+bi（其中a、b∈R），存在实数t，使＝﹣3ati，
则a﹣bi＝﹣3ati，可得，消去t可得2a+b＝6；
（2）解：|z|2＝a2+b2＝a2+（6﹣2a）2＝5a2﹣24a+36
＝．
∴|z|∈[，+∞）．
34．（2021春•嘉定区校级期末）i为虚数单位，z＝a+bi（a，b∈R）且是纯虚数．
（1）求|z﹣2|的取值范围；
（2）若，求4v﹣u2的最小值．
【解答】解：（1）∵z＝a+bi（a，b∈R），
且＝a+bi﹣＝a+bi﹣＝（a﹣）+（b+）i是纯虚数，
∴a﹣＝0，且 b+≠0，
∴a＝0 或 a2+b2＝1，且 b≠0．
若a＝0，则z＝bi，满足 ＝bi﹣＝（b+）i 为纯虚数．
此时，|z﹣2|＝|bi﹣2|＝＞2，即|z﹣2|∈（2，+∞）．
若 a2+b2＝1，且b≠0，
所以a∈（﹣1，1），
故|z﹣2|＝|a+bi﹣2|＝，
＝＝，
由于a∈（﹣1，1），
故，
故|z﹣2|的范围为（1，3）．
综上，当a＝0时，|z﹣2|的范围为（2，+∞）；
当 a2+b2＝1时，|z﹣2|的范围为（1，3）．
（2）因为a2+b2＝1，所以，
，
所以＝
，（当且仅当a＝﹣时，等号成立）．
故最小值为﹣1．
35．（2021春•徐汇区校级期末）已知f（z）＝﹣1，且f（z1﹣z2）＝4+4i，若z1＝2﹣2i．
（1）求复数z1＝2﹣2i的三角形式，并且复数z1的辐角主值argz1；
（2）求|．
【解答】解：（1）z1＝2﹣2i＝＝，
则argz1＝；
（2）设z2＝x+yi（x，y∈R），
∵z1＝2﹣2i，∴z1﹣z2＝（2﹣x）﹣（y+2）i，
∵f（z）＝﹣1，∴f（z1﹣z2）＝（1﹣x）+（y+2）i＝4+4i，
∴，则x＝﹣3，y＝2，
∴z2＝﹣3+2i，则＝，
则|＝|﹣5+4i|＝．
一十五．三角函数恒等式的证明（共1小题）
36．（2021春•松江区期末）（1）已知角α终边上有一点P的坐标是（3a，﹣4a），其中a＞0，求2sinα+cosα的值；
（2）证明恒等式：＝．
【解答】解：（1）∵角α的终边上有一点P的坐标是（3a，﹣4a），其中a＞0，
∴x＝3a，y＝4a，r＝5a，
可得sinα＝＝﹣，cosα＝＝，
∴2sinα+cosα＝2×+＝﹣1；
（2）证明：左边＝＝＝＝＝＝右边，得证．
一十六．三角函数中的恒等变换应用（共2小题）
37．（2021春•浦东新区校级期末）已知ω＞0，函数f（x）＝sin2ωx﹣sinωxcosωx的最小值为m，且y＝f（x）图象的两条相邻对称轴之间的距离是．
（1）求m的值；
（2）求y＝f（x）在[0，π]上的单调减区间；
（3）求使得f（x）≥1成立的x的取值范围．
【解答】解：（1）f（x）＝sin2ωx﹣sinωxcos＝﹣sin2ωx＝sin（2ωx+），
由题意可得T＝2×＝π，
故2ω＝，即ω＝1，
∴，
当 时，，
∴m＝．
（2）令，
即，k∈Z，
当k＝0时，，当k＝1时，，
又∵x∈[0，π]，
∴y＝f（x）在[0，π]上的单调减区间为．
（3）∵f（x）≥1，
∴，即，
∴，k∈Z，
∴，k∈Z，
∴f（x）≥1成立的x的取值范围为．
38．（2021春•宝山区校级期末）设函数y＝f（x）的表达式为f（x）＝2cos（ωx+）cos（ωx﹣）+sin（2ωx），其中常数ω＞0．
（1）求函数y＝f（x）的值域；
（2）设实数x1、x2满足|x1﹣x2|＝＜，若对任意x∈R，不等式f（x1）≤f（x）≤f（x2）都成立，求ω的值以及方程f（x）＝1在闭区间[0，π]上的解．
【解答】解：（1）f（x）＝2cos（ωx+）cos（ωx﹣）+sin（2ωx）
＝2sin（ωx﹣）cos（ωx﹣）+sin（2ωx）
＝sin（2ωx）+cos（2ωx）
＝2sin（2ωx+），
因为sin（2ωx+）∈[﹣1，1]，
所以f（x）的值域为[﹣2，2]；
（2）对任意x∈R，不等式f（x1）≤f（x）≤f（x2）都成立，
则f（x1）＝﹣2，f（x2）＝2，
所以2ωx1+＝，2ωx2+＝，k1，k2∈Z，
所以＝，
则2k1﹣2k2＝2，解得ω＝1，
故，
因为x∈[0，π]，则，
因为f（x）＝1，则，
所以或或，
解得x＝0或x＝或x＝π，
故方程f（x）＝1在闭区间[0，π]上的解为x＝0或x＝或x＝π．
一十七．两角和与差的三角函数（共3小题）
39．（2021春•浦东新区校级期末）已知m∈R，α、β是关于x的方程x2+2x+m＝0的两根．
（1）若|α﹣β|＝2，求m的值；
（2）用m表示|α|+|β|．
【解答】解：（1）∵α、β是关于x的方程x2+2x+m＝0的两根．
∴α+β＝﹣2，αβ＝m，
若α，β为实数，
则2＝|α﹣β|＝＝，
化为：m＝﹣1．
若α，β为一对共轭复数，
则2＝|α﹣β|＝＝|i|，
化为：m＝3．
综上可得：m＝﹣1或3．
（2）x2+2x+m＝0，不妨设α≤β．
Δ＝4﹣4m≥0，即m≤1时，方程有两个实数根．
α+β＝﹣2，αβ＝m，
0≤m≤1时，|α|+|β|＝|α+β|＝2．
m＜0时，α与β必然一正一负，则|α|+|β|＝﹣α+β＝＝2．
Δ＝4﹣4m＜0，即m＞1时，方程有一对共轭虚根．
|α|+|β|＝2|α|＝2＝2
综上可得：|α|+|β|＝．
40．（2021春•静安区期末）求函数 的值域与单调增区间．
【解答】解：函数
＝＝2sin（x+），
因为，
所以y∈[﹣2，2]，故函数的值域为[﹣2，2]，
令，k∈Z，
解得k∈Z，
故函数的增区间为，k∈Z．
41．（2021春•嘉定区校级期末）已知
（1）求f（x）的解析式及其最小正周期；
（2）求f（x）的单调增区间．
【解答】解：（1）∵f（x）＝＝
＝
＝＝，
∴T＝π
（2）令，k∈Z
则，k∈Z
所以单调增区间为
一十八．五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象（共1小题）
42．（2021春•静安区期末）用“五点法”作出函数y＝1﹣sinx，x∈[0，2π]的大致图象，并写出使得1≤y≤2的x的取值范围．
【解答】解：用“五点法”作出函数y＝1﹣2sinx，x∈[0，2π]的简图如下：
列表为：
x
0

π

2π
sinx
0
1
0
﹣1
0
1﹣sinx
1
0
1
2
1
描点连线，可得函数图象如下：

观察函数图像，可得使得1≤y≤2的x的取值范围为：{0}∪[π，2π]．
一十九．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换（共1小题）
43．（2021春•宝山区期末）已知函数．
（1）求函数f（x）的振幅、频率、初始相位，以及在x∈[0，2π]上的增区间；
（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，函数h（x）＝f（x）+g（x），当，且x1≠x2时，有h（x1）＝h（x2），求h（x1+x2）的值．
【解答】解：（1）对于函数，它的振幅为A＝1，频率，初始相位，
在x∈[0，2π]上，它的增区间为和．
（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）＝sin（x+）＝cosx的图象，
函数h（x）＝f（x）+g（x）＝sin（x+）+cosx＝sinx+cosx＝sin（x+），
当，且x1≠x2时，有h（x1）＝h（x2），
即 sin（x1+）＝sin（x2+），sin（x1+）＝sin（x2+）．
再根据h（x）＝sin（x+）的图象的对称性，x1++x2+＝2×，
∴x1+x2＝，
故h（x1+x2）＝sin（x1+x2+）＝sin＝sin＝．
二十．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式（共1小题）
44．（2021春•徐汇区期末）主动降噪耳机工作的主要原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示）．已知某噪声声波曲线的解析式为f（x）＝Asin（x+φ）（A＞0，0≤φ＜π），其中振幅为2且经过点（1，﹣2）．
（1）求该噪声声波曲线的解析式f（x）以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式g（x）；
（2）证明：g（x）+g（x+1）+g（x+2）为定值．

【解答】解：（1）由题意，振幅为2，可得A＝2，且经过点（1，﹣2）．
则﹣2＝2sin（φ），
∵0≤φ＜π，
∴φ＝；
则f（x）解析式为f（x）＝2sin（）；
由于降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声，
可得g（x）＝﹣2sin（）；
证明（2）：由（1）可知g（x）＝﹣2sin（）；
则g（x）+g（x+1）+g（x+2）＝﹣2sin（）﹣2sin[]﹣2sin[]
＝﹣2（sincos+cossin）﹣2sin（+）﹣2sin（+）
＝sin﹣cos+2cos﹣2（sincos+cossin）
＝0．
∴g（x）+g（x+1）+g（x+2）＝0，即为定值．
二十一．正弦定理（共2小题）
45．（2021春•浦东新区校级期末）在△ABC中，已知BC＝a，CA＝2，A＝．
（1）若C＝，求a的值；
（2）若a＝3，求S△ABC．
【解答】解：（1）△ABC中，已知BC＝a，CA＝2，A＝．
若C＝，
所以，解得a＝2．
（2）在△ABC中，设AB＝x，
利用余弦定理：，解得，
当x＝3+时，＝
当x＝3时，＝．
46．（2021•虹口区二模）如图某公园有一块直角三角形ABC的空地，其中∠ACB＝，∠ABC＝，AC长a千米，现要在空地上围出一块正三角形区域DEF建文化景观区，其中D、E、F分别在BC、AC、AB上．设∠DEC＝θ．
（1）若θ＝，求△DEF的边长；
（2）当θ多大时，△DEF的边长最小？并求出最小值．

【解答】解：（1）设△DEF的边长为x千米，由 得CE＝，AE＝a﹣，
△AEF中，∠FEA＝＝，，
∴△AEF为等边三角形，AE＝x＝a﹣，
故x＝，
即△DEF的边长为；
（2）设△DEF的边长为x千米，
所以CE＝xcosθ，AE＝a﹣xcosθ，
△AEF中，∠FEA＝，∠A＝，∠EFA＝θ，
由正弦定理得，，
故x＝＝，
当时x取得最小值，即△DEF的边长最小值．
二十二．三角形中的几何计算（共1小题）
47．（2021春•宝山区期末）如图所示，平面四边形BCDE为某金鱼池区域，△ABE为观光区域，准备在AB、BE、AE三条边上修建观地训路，已知∠BCD＝∠CDE＝∠BAE＝，BC＝CD＝20米，DE＝80米．
（1）求四边形BCDE的面积（精确到0.1平方米）；
（2）求观光道路长度总和的最大值（精确到0.1米，不考虑道路的宽度）．

【解答】解：（1）如图，连接BD，∠BCD＝，BC＝CD＝20米，故三角形BCD为等腰三角形，
且∠CBD＝∠CDB＝，由∠CDE＝，故，所以BD⊥DE，
易知BD＝2CD×cos∠CDB＝×＝60，
所以S四边形BCDE＝S△BCD+S△BDE＝
＝≈2919.69（平方米）．
（2）由（1）可知＝，
在△ABE中，由余弦定理得BE2＝AB2+AE2﹣2AB•AE•cos∠BAE，
即10000＝AB2+AE2﹣2AE•AB＝AB2+AE2+AB•AE＝（AB+AE）2﹣AB•AE……①
因为，（当且仅当AB＝AE时，取等号），
故①式可化为：，即，
故观光道路长度总和的最大值约为BE+115.5＝215.5米．

二十三．解三角形（共5小题）
48．（2021春•浦东新区校级期末）如图所示，在河对岸有两座垂直于地面的高塔CD和EF．小明在只有量角器（可以测量从测量人出发的两条射线的夹角）和直尺（可测量步行可抵达的两点之间的直线距离）且不渡过河的条件下，为了计算塔CD的高度，他在点A测得点D的仰角为30°，∠CAB＝75°，又选择了相距100米的B点，测得∠ABC＝60°．
（1）请你根据小明的测量数据求出塔CD高度；
（2）在完成（1）的任务后，小明想要计算两塔顶之间的距离DF，在测得∠BAE＝90°之后，小明准备再测量两个角的大小，并为此准备了如下四个方案：
方案①：测量∠ABF和∠DAF
方案②：测量∠ABE和∠EAF
方案③：测量∠ABE和∠ECF
方案④：测量∠ABF和∠AFB
请问：小明的备选方案中有哪些是可行的？写出所有可行方案的序号；
（3）选择（2）中的一种方案，并结合以下数据，计算出两塔顶DF之间的距离，精确到米．∠ABF＝58.0°，∠ABE＝50.2°，∠DAF＝16.7°，∠EAF＝41.5°，∠ECF＝53.8°，∠AFB＝32.0°．

【解答】解：（1）在△ABC中，∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠CBA＝180°﹣75°﹣60°＝45°，
由正弦定理可得，，
所以米，
又由题意可知，DC⊥AC，∠DAC＝30°，
所以米；
（2）可行方案：①②③．理由如下：
由（1）知，米，
因为∠BAE＝90°，所以AB⊥AE，
由已知AB⊥EF，且AE∩EF＝E，
所以AB⊥平面AEF，又AF⊂平面AEF，
所以AB⊥AF，∠BAF＝90°，
①若已知∠ABF和∠DAF．
在直角△ABF中，AF＝AB•tan∠ABF，
在△ADF中，由余弦定理可得，．
②若已知∠ABE和∠EAF．
在直角△ABE中，AE＝AB•tan∠ABE，
因为∠EAC＝∠BAE﹣∠BAC＝90°﹣75°＝15°，
所以在△EAC中，由余弦定理可得，，
在直角△AEF中，EF＝AE•tan∠EAF，
在EF上截取EG＝CD，则FG＝EF﹣EG，且四边形DCEG为矩形，故EC＝DG，
在直角△DGF中，．
③若已知∠ABE和∠ECF．
在直角△ABE中，AE＝AB•tan∠ABE，
因为∠EAC＝∠BAE﹣∠BAC＝90°﹣75°＝15°，
所以在△EAC中，由余弦定理可得，，
在直角△ECF中，EF＝EC•tan∠ECF，
在EF上截取EG＝CD，则FG＝EF﹣EG，且四边形DCEG为矩形，故EC＝DG，
在直角△DGF中，．
④由于∠ABF和∠AFB在同一个三角形中，无法获取其他三角形中的边角关系，
故而无法利用正弦定理和余弦定理进行求解．
（3）选择方案①，解析如下：
∠ABF＝58.0°，∠DAF＝16.7°，
由（1）知，米．
由（2）中方案①知，在直角△ABF中，AF＝AB•tan∠ABF＝100•tan58.0°＝160.03米，
在△ADF中，由余弦定理可得，
＝，
故两塔顶DF之间的距离为47米．
49．（2021春•浦东新区校级期末）如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4米，于是选择沿A→B→C路线清扫，已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2米/秒，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10秒钟完成了清扫任务．
（1）B、C两处垃圾的距离是多少米？（精确到0.1）
（2）智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角∠ABC是多少弧度？（用反三角函数表示）

【解答】解：（1）设角A、B、C的对边分别为a，b，c．由条件有∠A＝120°，b﹣c＝0.4，c+a＝10×0.2＝2．
则c＝2﹣a，b＝0.4+c＝2.4﹣a，由余弦定理，得，
又0＜a＜2，解得a＝1.4，即B、C两点间的距离为1.4．
（2）b＝2.4﹣1.4＝1，由正弦定理得，因为∠B为锐角，所以．
即智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角∠ABC是．
50．（2021春•上海期末）如图所示，甲船在距离A港口24海里，并在南偏西20°方向的C处驻留等候进港，乙船在A港口南偏东40°方向的B处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为31海里．
（1）求∠ABC的大小；
（2）当乙船行驶20海里到达D处，接到港口指令，前往救援忽然发生火灾的甲船，此时甲、乙两船之间的距离为多少？

【解答】解：（1）根据题意知，AC＝24，BC＝31，∠CAD＝20°+40°＝60°，
在△ABC中，由正弦定理得，．
解得，由AC＜BC，知∠ABC为锐角，
则 ．
（2），
在△BCD中，由余弦定理得，（海里），
所以，此时甲、乙两船之间的距为21海里．
51．（2021春•徐汇区期末）为了测量金茂大厦最高点A与上海中心大厦最高点B之间的距离，一架无人机在两座大厦的正上方飞行，无人机的飞行轨迹是一条水平直线MN，并且在飞行路线上选择C、D两点进行定点测量（如图），无人机能够测量的数据有：无人机的飞行高度h，CD间的距离d和俯角（即无人机前进正方向与无人机、测量目标连线所成的角）．
（1）若无人机在C处测得∠NCA＝α，在D处测得∠NDA＝β，其中α、β∈（0，），问：能否测得金茂大厦的高？若能，请求出金茂大厦的高度（用已知数据h、d、α、β表示），若不能，请说明理由；
（2）若要进一步计算金茂大厦最高点A与上海中心大厦最高点B之间的距离，还需测量哪些数据？请用文字和公式简要叙述测量与计算的步骤．

【解答】解：（1）过点A作AE⊥MN，垂足为E，
由题意可知，∠CAD＝β﹣α，
在△ACD中，由正弦定理可得，
解得，
在Rt△ADE中，，
解得，
所以可以测得金茂大厦的高，金茂大厦的高度为；
（2）①测量∠NCB＝α'，∠NDB＝β'；
②在△BCD中，∠CBD＝β'﹣α'，对应的边为CD，sin∠CDB＝sinβ，
由正弦定理可得，，化简可得；
③在△ABC中，已知∠ACB＝α﹣α'，AC＝，
由②可知，因此由余弦定理可以求出AB的长，
故可得金茂大厦最高点A与上海中心大厦最高点B之间的距离．

52．（2021春•金山区校级期末）某市需拍卖一块近似圆形的土地（如图），内接于圆的平面四边形ABCD作为建筑用地，周边需做绿化．因地面限制，只能测量出AB＝1km，AD＝2km，测角仪测得∠BAD＝120°．
（1）求BD的长；
（2）因地理条件限制，AB，AD不能变更，但点C可以调整．建筑商为利益最大化，要求在弧上设计一点C使得四边形ABCD面积最大，求四边形ABCD面积的最大值．

【解答】解：（1）在△ABD中，由余弦定理可得：
BD2＝AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠BAD＝1+4﹣2×1×2×（﹣）＝7，
∴BD＝，
故BD的长为；
（2）在△BCD中，∠BCD＝60°，
则由余弦定理可得：BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD•cos∠BCD，
∴7＝BC2+CD2﹣2BC•CD≥2BC•CD﹣BC•CD＝BC•CD，
当且仅当BC＝CD时等号成立．
∴＝，
则S△ABCD＝S△ABD+S△BCD≤．
故四边形ABCD面积的最大值为km2．
二十四．三角函数的最值（共1小题）
53．（2021春•松江区期末）已知函数f（x）＝sin2x+2cos2x+2，x∈[0，]．
（1）求函数y＝f（x）的值域；
（2）求函数y＝f（x）单调递减区间；
（3）若不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）．
因为，所以，
所以，所以f（x）的值域为；
（2）因为，又y＝sinx在上递减，
所以当时，f（x）递减，
所以函数y＝f（x）单调递减区间为；
（3）因为f（x）+2＞0，所以不等式等价于；
因为，所以当时，有最大值；
所以实数m的取值范围为；
二十五．三角形的面积公式（共1小题）
54．（2021春•普陀区校级期末）已知点A（﹣1，﹣2），B（2，2），C（﹣2，﹣1）．
（1）求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
（2）求△ABC的面积．
【解答】解：（1）因为点A（﹣1，﹣2），B（2，2），C（﹣2，﹣1），
所以，
则，
故两条对角线的长分别为，；
（2）直线BC的方程为，即3x﹣4y+2＝0，
故点A到直线BC的距离d＝＝，
又|BC|＝，
所以△ABC的面积S＝＝．
二十六．实系数多项式虚根成对定理（共1小题）
55．（2021春•静安区期末）设z是实系数一元二次方程x2﹣2x+2＝0的根．
（1）求出所有z；
（2）选取（1）中求出的一个z值，计算 的值．
【解答】解：（1）x2﹣2x+2＝0，
可得（x﹣1）2＝﹣1，解得z＝1+i；z＝1﹣i，
（2）z＝1+i时，原式＝＝＝；
z＝1﹣i时，＝＝＝＝．