2022年辽宁省沈阳市大东区中考数学一模试卷（含解析）

2022年辽宁省沈阳市大东区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共9小题，共18分）

1. 实数的倒数是

A.  B.  C.  D.

2. 下列图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

3. 经过亿公里的飞行，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器于年月日在火星表面成功着陆，火星上首次留下了中国的印迹将亿用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

4. 如图是由个大小相同的正方体搭成的几何体，则这个几何体的左视图是

A.
B.
C.
D.

5. 下列根式中，是最简二次根式的是

A.  B.  C.  D.

6. 如图，直线，，则等于

A.
B.
C.
D.

7. 为了落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”等五项管理要求，了解学生的睡眠状况，调查了一个班名学生每天的睡眠时间，绘成睡眠时间频数分布直方图如图所示，则所调查学生睡眠时间的众数，中位数分别为

A. ， B. ， C. ， D. ，

8. 一个关于的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是

A.  B.  C.  D.

9. 设，则

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

10. 分解因式：______．
11. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______．
12. 若点，在反比例函数的图象上，则______填“”或“”或“”
13. 小明从家步行到学校需走的路程为米．图中的折线反映了小明从家步行到学校所走的路程米与时间分钟的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行分钟时，到学校还需步行______米．

14. 将一些相同的“”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“”的个数，则第个“龟图”中有______个“”．

15. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，则的长是______．
    
     

三、解答题（本大题共9小题，共82分）

16. 计算：．
17. 如图，在平行四边形中，点是对角线的中点，过点，交于点，交于点．
    求证：；
    求证：≌．

18. 某校利用课外活动时间，开设了书法、健美操、乒乓球和朗诵四个社团活动，每个学生选择一项活动参加，为了了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
    
    请直接填写抽取的学生有______人，______，______；
    补全条形统计图；
    若该校有学生人，估计参加书法社团活动的学生人数．
19. 某学校从名校三好学生中随机抽取名学生进行学习交流，已知名学生中，名来自七年级用表示，名来自八年级用表示，名来自九年级分别用、表示，请用列表法或画树状图法求抽到的名学生来自不同年级的概率．
20. 新冠病毒再次爆发，沈阳疾病防控指挥部组织医护人员共名支援吉林，如果用甲种客车，客车刚好坐满；如果用乙种客车可少用一辆，且余个空座位．已知甲种客车比乙种客车少个座位，求甲、乙两种客车各有多少个座位．
21. 如图，为圆的圆心，，为圆上的两点，且，连接并延长，与的延长线相交于点．
    求证：；
    如图，连接，，与，分别交于点，若圆的直径为，，请直接写出的值．

22. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴的正半轴上，点，在第一象限，，边点从原点出发，沿轴正半轴以每秒个单位长度的速度作匀速运动：点从点出发，沿边以每秒个单位长度的速度作匀速运动．过点作直线垂直于轴并交折线于，交对角线于，点和点同时出发，分别沿各自路线运动，点运动到原点时，和两点同时停止运动．
    请直接填写点的坐标______，______，的坐标______，______，的坐标______，______；
    当时，求线段的长；
    求为何值时，点与点重合；
    设的面积为，当，请直接写出与的函数关系式．

23. 已知正方形，在边所在的直线上有一动点，连接，一条与射线垂直的直线沿射线方向，从点开始向上平移，垂足为点，交边所在直线于点．
    如图所示，当直线经过正方形的顶点时．求证：；
    如图所示，当直线经过的中点时，与对角线交于点，连接，求证：；
    直线继续向上平移，当点恰好落在对角线所在的直线上时，交边所在的直线于点，当，，请直接写出的长．

24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于，两点，直线：交轴于点点为直线上方抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为，分别交直线，于点，．
    求抛物线的表达式；
    当时，连接，求的面积；
    是轴上一点，当四边形是矩形时，请直接写出点的坐标；
    在的条件下，第四象限有一动点，满足，请直接写出周长的最小值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：的倒数是，
故选：．
根据实数的倒数是进行求解．
此题考查了求实数的倒数的能力，关键是能准确理解相关知识，并能进行正确的求解．
 

2.【答案】

【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：．
中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点选择，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．
本题考查中心对称图形与轴对称图形，解题的关键是正确理解中心对称图形与轴对称图形的定义，本题属于基础题型．
 

3.【答案】

【解析】解：亿．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
此题考查科学记数法绝对值较大的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】

【解析】解：从左边看，底层是两个小正方形，上层的右边是一个小正方形．
故选：．
左视图是从物体的左边观察得到的图形，结合选项进行判断即可．
本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，解答本题的关键是掌握左视图的定义．
 

5.【答案】

【解析】解：、是最简二次根式，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义，即可判断．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：如图：

，，
，
，
．
故选：．
先求得的度数，又根据两直线平行，同位角相等即可求得的度数．
本题考查了平行线的性质．熟记平行线的性质是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：出现了次，出现的次数最多，
所调查学生睡眠时间的众数是；
共有名学生，中位数是第、个数的平均数，
所调查学生睡眠时间的中位数是．
故选：．
直接利用众数以及中位数的概念分别分析求出即可．
此题主要考查了众数、中位数的概念，正确把握中位数的概念是解题关键．
 

8.【答案】

【解析】解：由数轴知且，
其公共部分为，
故选：．
由数轴知且，再确定其公共部分即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：，
，
，
，
，
故选：．
先估算出的范围，再求的范围，最后求的范围，即可得出答案．
本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：．
故答案为：．
直接利用平方差公式进行因式分解即可．
本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．
 

11.【答案】且

【解析】解：根据题意得且，
解得且．
即实数的取值范围是且．
故答案为：且．
根据一元二次方程根的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

12.【答案】

【解析】解：，
反比例函数的图象在一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小，
、同在第一象限，且，
，
故答案为：．
反比例函数的图象在一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，判断出的值的大小关系．
本题考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的增减性是解决问题的关键，
 

13.【答案】

【解析】解：当时，设，
将、代入，得：
，
解得：，
；
当时，，
，
当小明从家出发去学校步行分钟时，到学校还需步行米，
故答案为：．
当时，设，将、代入求得，求出时的值，从而得出答案．
本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意，从实际问题中抽象出一次函数的模型，并熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式．
 

14.【答案】

【解析】解：第个图形中小圆的个数为；
第个图形中小圆的个数为；
第个图形中小圆的个数为；
第个图形中小圆的个数为；

第个图形中小圆的个数为．
第个“龟图”中的“”的个数为．
另一种解法：第个图形中小圆的个数为；
第个图形中小圆的个数为；
第个图形中小圆的个数为；
第个图形中小圆的个数为；

第个图形中小圆的个数为．
第个“龟图”中的“”的个数为．
故答案为：．
分析数据可得：第个图形中小圆的个数为；第个图形中小圆的个数为；第个图形中小圆的个数为；第个图形中小圆的个数为；由此得出第个图形中小圆的个数为据此可以求得答案．
本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键，注意公式必须符合所有的图形．
 

15.【答案】

【解析】解：如图，连接，设与于点，

，，
，
将绕点逆时针旋转，
，，
是等边三角形，
，
又，
是的中垂线，
，，
，
故答案为：．
由旋转的性质可得，，可证是的中垂线，即可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
 

16.【答案】解：．


．

【解析】先化简各数，然后再进行计算即可．
本题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

17.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
；

点是的中点，
，
在和中，
，
≌．

【解析】根据平行四边形的性质得到，然后利用平行线的性质证得结论即可；
利用即可证得≌．
本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定，解题的关键是了解平行四边形的对边平行且相等，难度不大．
 

18.【答案】   

【解析】解：抽取的学生有人，
，
，
，
，
故答案为：，，；
参加朗诵社团活动的学生人数为人，
补全条形统计图如图：
；
估计参加书法社团活动的学生人数为人．
答：估计参加书法社团活动的学生人数为人．
由参加乒乓球社团活动的学生人数及其所占百分比可得抽取的总人数，用乘以参加健美操社团活动的学生人数所占比例即可得，根据参加书法社团活动的学生人数和抽取的总人数求出参加书法社团活动的学生所占比例可得的值；
先根据参加四个社团活动的学生数之和等于总人数求出参加朗诵社团活动的学生人数，再补全条形统计图；
用总人数乘以样本中参加书法社团活动的学生人数对应的百分比可得答案．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

19.【答案】解：画树状图如下：

共有种等可能的情况数，其中抽到的名学生来自不同年级的情况有种，
所以抽到的名学生来自不同年级的概率是．

【解析】根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
本题考查了列表法与树状图法、条形统计图和扇形统计图，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

20.【答案】解：设甲种客车有个座位，则乙种客车有个座位，
依题意，得，
整理，得，
解得，不合题意，舍去，
，
经检验是原分式方程的解，且符合题意，
则，
答：甲种客车有个座位，乙种客车有个座位．

【解析】设甲种客车有个座位，则乙种客车有个座位，根据租用甲种客车辆数租用乙种客车辆数，租用客车辆数，列方程求解即可．
本题主要考查了分式方程的应用，找出等量关系：租用甲种客车辆数租用乙种客车辆数是解决问题的关键．
 

21.【答案】证明：如图，连接，

，
，
是的直径，
，
，
，
；
解：如图，连接交于点，

，
，
，
，
，
圆的直径为，，
，，
设，则，
在和中，
，，
，即，
解得：，
，
，，
．

【解析】连接，由，得出，由圆周角定理得出，由直角三角形的性质得出，即可证明；
连接交于点，由，得出，由等腰三角形的性质得出，由垂径定理得出，设，则，由勾股定理得出，，得出，求出，由三角形中位线的性质得出．
本题考查了圆的综合应用，掌握圆周角定理，直角三角形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形中位线的性质等知识是解决问题的关键．
 

22.【答案】         

【解析】解：如图，过点作轴于点，
，且在轴的正半轴上，
，
菱形中，，
，，，
，
，
，，
，
，，
故答案为：，，，，，；
当时，，
，
，
，
，
；
当时，点在边上，
，
，
当时，，，
即点到达点处，点到达点处，
，
解得：，
当时，点与点重合；
当时，点、均在边上，当时，点与点重合，此时不存在，
当时，
；
当时，
；
．
如图，过点作轴于点，解直角三角形求出、即可得出答案；
解直角三角形求出，即可解决问题；
根据点、的路程之和，构建方程即可解决问题；
分两种情形考虑问题即可解决问题；
本题考查四边形综合题、解直角三角形、三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

23.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，，
，
≌，
；
证明：如图，连接，

，，
，
四边形是正方形，
，，
，
≌，
，
；
解：若点在线段上时，过点作于点，

则四边形是矩形，
，，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，，
，
，
，
，
，
同理，若点在线段的延长线上时，，
综上，的长为或．

【解析】利用正方形的性质推出≌，根据全等三角形的性质即可得解；
连接，根据题意得到是的垂直平分线，即，利用正方形的性质推出≌，根据全等三角形的性质即可得解；
分点在线段上、点在线段的延长线上两种情况讨论即可得解．
此题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题关键是学会添加常用辅助线、构造全等三角形解决问题．
 

24.【答案】解：抛物线过，两点，
；

设的解析式为：，
，
解得：，
的解析式为：，
设，，
，
，
，
，
的面积；

如图，

四边形是矩形，
，
，，
，
，，
，，
，
设，，则，，
，
，
，
，
，
，
；

如图中，

，且，
的周长，
要使得的周长最小，只要的值最小，
，
当点在上时，的值最小，
，
的周长的最小值为．

【解析】利用待定系数法求解即可；
先根据可得，根据三角形面积公式可得结论；
根据三角函数设，，则，，由列方程可得的值，从而得点的坐标；
因为的周长，所以要使得的周长最小，只要的值最小，因为，所以当点在上时，的值最小．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，矩形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用三角函数的关系设参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．