2022年四川省南充市中考数学试卷（含解析）

2022年四川省南充市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 下列计算结果为的是

A.  B.  C.  D.

2. 如图，将直角三角板绕顶点顺时针旋转到，点恰好落在的延长线上，，，则为

A.
B.
C.
D.

3. 下列计算结果正确的是

A.  B.
C.  D.

4. 孙子算经中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设鸡有只，可列方程为

A.  B.
C.  D.

5. 如图，在正五边形中，以为边向内作正，则下列结论错误的是

A.
B.
C.
D.
 

6. 为了解“睡眠管理”落实情况，某初中学校随机调查名学生每天平均睡眠时间时间均保留整数，将样本数据绘制成统计图如图，其中有两个数据被遮盖．关于睡眠时间的统计量中，与被遮盖的数据无关的是

A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差

7. 如图，在中，，的平分线交于点，，交于点，于点，，，则下列结论错误的是

A.  B.  C.  D.

8. 如图，为的直径，弦于点，于点，，则为

A.
B.
C.
D.

9. 已知，且，则的值是

A.  B.  C.  D.

10. 已知点，在抛物线上，当且时，都有，则的取值范围为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. 比较大小：______选填，，
12. 老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将种生活现象制成看上去无差别卡片如图从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率是______．

13. 数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的，两点的距离，同学们在外选择一点，测得，两边中点的距离为如图，则，两点的距离是______

14. 若为整数，为正整数，则的值是______．
15. 如图，水池中心点处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距点；喷头高时，水柱落点距点那么喷头高______时，水柱落点距点．

16. 如图，正方形边长为，点在边上不与，重合，将沿直线折叠，点落在点处，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，，C.给出下列四个结论：≌；；点是直线上动点，则的最小值为；当时，的面积为其中正确的结论是______填写序号

三、解答题（本大题共9小题，共86分）

17. 先化简，再求值：，其中．
18. 如图，在菱形中，点，分别在边，上，，，分别与交于点，．
    求证：≌．
    ．

19. 为传播数学文化，激发学生学习兴趣，学校开展数学学科月活动，七年级开展了四个项目：阅读数学名著；讲述数学故事；制作数学模型；挑战数学游戏．要求七年级学生每人只能参加一项．为了解学生参加各项目情况，随机调查了部分学生，将调查结果制作成统计表和扇形统计图如图，请根据图表信息解答下列问题：

______，______．
扇形统计图中“”项目所对应的扇形圆心角为______度．
在月末的展示活动中，“”项目中七班有人获得一等奖，七班有人获得一等奖，现从这名学生中随机抽取人代表七年级参加学校制作数学模型比赛，请用列表或画树状图法求抽中的名学生来自不同班级的概率．

20. 已知关于的一元二次方程有实数根．
    求实数的取值范围．
    设方程的两个实数根分别为，，若，求的值．
21. 如图，直线与双曲线交于，两点，直线与双曲线在第一象限交于点，连接．
    求直线与双曲线的解析式．
    求的面积．

22. 如图，为的直径，点是上一点，点是外一点，，连接交于点．
    求证：是的切线．
    若，，求的值．

23. 南充市被誉为中国绸都，本地某电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品，它们的进价和售价如下表．用元可购进真丝衬衣件和真丝围巾件．利润售价进价

求真丝衬衣进价的值．
若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共件，据市场销售分析，真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？
按中最大利润方案进货与销售，在实际销售过程中，当真丝围巾销量达到一半时，为促销并保证销售利润不低于原来最大利润的，衬衣售价不变，余下围巾降价销售，每件最多降价多少元？

24. 如图，在矩形中，点是的中点，点是射线上动点，点在线段上不与点重合，．
    判断的形状，并说明理由．
    当点为边中点时，连接并延长交于点求证：．
    点在边上，，，，当时，求的长．

25. 抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点．
    求抛物线的解析式．
    如图，▱顶点在抛物线上，如果▱面积为某值时，符合条件的点有且只有三个，求点的坐标．
    如图，点在第二象限的抛物线上，点在延长线上，，连接并延长到点，使交轴于点，与均为锐角，，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
故选：．
根据相反数判断，，选项；根据绝对值判断选项．
本题考查了相反数，绝对值，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：，，
，
将直角三角板绕顶点顺时针旋转到，
．
点恰好落在的延长线上，
．
故选：．
利用旋转不变性，三角形内角和定理和平角的意义解答即可．
本题主要考查了图形旋转的性质，三角形的内角和定理，平角的意义，利用旋转不变性解答是解题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
故选：．
根据合并同类项判断选项；根据单项式除以单项式判断选项；根据同底数幂的除法判断选项；根据积的乘方判断选项．
本题考查了合并同类项，单项式除以单项式，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，掌握是解题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：上有三十五头，且鸡有只，
兔有只．
依题意得：．
故选：．
由上有三十五头且鸡有只，可得出兔有只，利用足的数量鸡的只数兔的只数，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：在正五边形中内角和：，
，
不符合题意；
以为边向内作正，
，，
，
，，
、不符合题意；
，
符合题意；
故选：．
根据正多边形定义可知，每一个内角相等，每一条边相等，再根据内角和公式求出每一个内角，根据以为边向内作正，得出，，从而选择正确选项．
此题主要考查正多边形的计算问题、等边三角形的性质，掌握正多边形定义及内角和公式、等边三角形的性质的综合应用是解题关键．
 

6.【答案】

【解析】解：由统计图可知，
平均数无法计算，众数无法确定，方差无法计算，而中位数是，
故选：．
根据条形统计图中的数据，可以判断出平均数、众数、方差无法计算，可以计算出中位数，本题得以解决．
本题考查条形统计图、平均数、中位数、众数、方差，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

7.【答案】

【解析】解：平分，，，
，，，
，
，
，
，
，，
，，故选项B、C正确；
，
，故选项D正确；
，，
，
，
，
，
，，
≌，
，故选项A错误；
故选：．
根据角平分线的性质和和勾股定理，可以求得和的长，再根据平行线的性质，即可得到的长，从而可以判断和，然后即可得到的长，即可判断；再根据全等三角形的判定和性质即可得到的长，从而可以判断．
本题考查勾股定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

8.【答案】

【解析】解：，
，
，
，
弦，为的直径，
，
．
故选：．
先根据三角形的内角和定理可得，由垂径定理得：，最后由圆周角定理可得结论．
本题考查垂径定理，圆周角定理，直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，属于中考常考题型．
 

9.【答案】

【解析】解：


，
，
，，
，
，，
，
故选：．
利用分式的加减法法则，乘除法法则把分式进行化简，由，得出，，由，得出，，代入计算，即可得出答案．
本题考查了分式的化简求值，掌握分式的加减法法则，分式的乘除法法则，把分式正确化简是解决问题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：抛物线，
该抛物线的对称轴为直线，
当且时，都有，
当时，
，
解得；
当时，
，
此时无解；
由上可得，的取值范围为，
故选：．
根据题意和题目中的抛物线，可以求得抛物线的对称轴，然后分类讨论即可得到的取值范围．
本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

11.【答案】

【解析】解：，，
，
故答案为：．
先分别计算和的值，再进行比较大小，即可得出答案．
本题考查了负整数指数幂，零指数幂，掌握负整数指数幂的意义，零指数幂的意义是解决问题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：从中随机抽取一张卡片共有种等可能结果，抽中生活现象是物理变化的有种结果，
所以从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率为，
故答案为：．
用物理变化的张数除以总张数即可．
本题主要考查概率公式，随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
 

13.【答案】

【解析】解：，，
是的中位线，
，
，
，
故答案为：．
利用三角形中位线定理解决问题即可．
本题考查三角形中位线定理，解题的关键是掌握三角形中位线定理，属于中考常考题型．
 

14.【答案】或或

【解析】解：，为正整数，
且为正整数，
为整数，
或或，
当时，，
当时，，
当时，，
综上，的值是或或，
故答案为：或或．
利用二次根式的性质求得的取值范围，利用算术平方根的意义解答即可．
本题主要考查了算术平方根的意义，二次根式的性质，利用二次根式的性质求得的取值范围是解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，
当喷头高时，可设，
将代入解析式得出；
喷头高时，可设；
将代入解析式得，
联立可求出，，
设喷头高为时，水柱落点距点，
此时的解析式为，
将代入可得，
解得．
故答案为：．
由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高时，可设，将代入解析式得出；喷头高时，可设；将代入解析式得，联立可求出和的值，设喷头高为时，水柱落点距点，则此时的解析式为，将代入可求出．
本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质是解题关键．
 

16.【答案】

【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
≌，故正确，
过点作于点，
，
，
，，
，
，，
，
，故正确．
连接，．
，关于对称，
，
，
的最小值为，故正确，
过点作于点，
，
，
，
，
，
，故错误．
故答案为：．
正确．根据证明三角形全等即可；
正确．过点作于点，证明，即可；
正确．连接，因为，关于对称，推出，推出，可得结论；
错误．过点作于点，求出，，可得结论．
本题考查正方形的性质，解直角三角形，翻折变换，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

17.【答案】解：原式

，
当时，
原式．

【解析】提取公因式，再利用平方差公式计算，再代入计算．
本题考查整数的混合运算化简求值，解题的关键是熟练灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

18.【答案】证明：四边形是菱形，
，，，
，
，
在和中，
，
≌；
由知≌，
，，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
．

【解析】根据菱形的性质和全等三角形的判定，可以证明结论成立；
根据中的结论和等腰三角形的性质，可以得到，，从而可以得到．
本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

19.【答案】   

【解析】解：被调查的总人数为人，
人，
则，
故答案为：、；
扇形统计图中“”项目所对应的扇形圆心角为，
故答案为：；
七班人分别用、、表示，七班人分别、表示，
根据题意画图如下：

共有种等可能的情况数，其中这两人来自不同班级的有种，
则这两人来自不同班级的概率是．
由项目人数及其所占百分比可得总人数，总人数乘以项目人数所占比例求出，再根据四个项目人数之和等于总人数得出；
用乘以项目人数所占比例即可；
七班人分别用、、表示，七班人分别、表示，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

20.【答案】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得，
即的取值范围是；
方程的两个实数根分别为，，
，，
，
，
，
解得，
即的值是．

【解析】根据一元二次方程有实数根，可知，即可求得的取值范围；
根据根与系数的关系和，可以求得的值．
本题考查根与系数的关系、根的判别式，解答本题的关键是明确一元二次方有根时，以及根与系数的关系．
 

21.【答案】解：设双曲线的解析式为，
点在该双曲线上，
，
解得，
，
在双曲线上，
，
解得，
设直线的函数解析式为，
，
解得，
即直线的解析式为；
作轴，轴，和交于点，作轴，轴，和交于点，如右图所示，
直线的解析式为，
点，
，
解得，
直线的解析式为，
，
解得或，
点的坐标为，
点，，，
，，，，，，



．

【解析】根据点的坐标可以求得双曲线的解析式，然后即可求得点的坐标，再用待定系数法即可求得直线的解析式；
先求出直线的解析式，然后求出点的坐标，再用割补法即可求得的面积．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

22.【答案】证明：连接，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
为的半径，
是的切线；

解：过点作于点．
，
可以假设，，则，
，
，
，
，
，
．

【解析】连接，证明即可；
过点作于点由，可以假设，，则，用表示出，，可得结论．
本题考查切线的判定，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
 

23.【答案】解：依题意得：，
解得：．
答：的值为．
设购进真丝衬衣件，则购进真丝围巾件，
依题意得：，
解得：．
设两种商品全部售出后获得的总利润为元，则．
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值，此时．
答：当购进真丝衬衣件，真丝围巾件时，才能使本次销售获得的利润最大，最大利润是元．
设每件真丝围巾降价元，
依题意得：，
解得：．
答：每件真丝围巾最多降价元．

【解析】利用总价单价数量，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值；
设购进真丝衬衣件，则购进真丝围巾件，根据真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的倍，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，设两种商品全部售出后获得的总利润为元，利用总利润每件的销售利润销售数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题；
设每件真丝围巾降价元，利用总利润每件的销售利润销售数量，结合要保证销售利润不低于原来最大利润的，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

24.【答案】解：是直角三角形，理由如下：
点是的中点，
，
，
，
，，
，
，
，
是直角三角形；
证明：如图，延长，交于点，

是的中点，
，
，，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
；
解：分两种情况：
如图，点在上时，过点作，交于，交于，

设，，则，，
，
∽，
，即，
，
，
，
，
，
，即，
，
同理得：，
，即，
，
，即，
，
，
，
解得：舍，，
；
如图，当在的延长线上时，同理得：，

综上，的长是或．

【解析】由已知得：，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得结论；
如图，延长，交于点，先证明≌，得，根据直角三角形斜边中线的性质可得，由等边对等角和等量代换，及角的和差关系可得结论；
分两种情况：作辅助线，构建相似三角形，设，，则，，如图，点在上时，如图，当在的延长线上时，根据同角的三角函数和三角形相似可解答．
本题主要考查了四边形综合题，涉及相似三角形的性质，动点问题，三角函数，三角形全等的性质和判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是正确的画出图形，分情况讨论，难度较大．
 

25.【答案】解：由题意得，
，
，
；
如图，

作直线且与抛物线相切于点，直线交轴于，作直线且直线到的距离等于直线到的距离，
的解析式为，
设直线的解析式为：，
由得，
，
，
，
，
，，
，，
，
，，
，
即，
直线的解析式为：，
，
，，
，，
综上所述：点或或；
如图，

作轴于，作轴于，作，交的延长线于，
设点的横坐标为，
，
，点的横坐标为：，
，
，
∽，
，
，
同理可得：∽，
，
，，
，

，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
当时，，
 

【解析】将、两点坐标代入抛物线的解析式，从而求得，，进而得出抛物线的解析式；
在的下方存在一个点，在的上方时两个，其中过下方的点的直线与平行的直线与抛物线相切，根据直线的解析式与抛物线解析式可以得出一个一元二次方程，该一元二次方程的根的判别式为，从而求得的值，进而得出在的上方的直线解析式，与抛物线联立成方程组，进一步求得结果；
作轴于，作轴于，作，交的延长线于，设点的横坐标为，根据∽得出，根据∽得出，，从而，根据可表示出，根据∽可得出的值，进一步求得结果．
本题考查了求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，一次函数和二次函数图象的交点与方程组之间的关系，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是利用相似三角形寻找线段间的数量关系．