2020-2021学年福建省福州一中高二（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年福建省福州一中高二（下）期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年福建省福州一中高二（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合，则集合中的元素个数为　　A．4 B．5 C．6 D．72．（5分）已知函数，则　　A． B． C． D．3．（5分）命题“是奇函数”的否定是　　A．， B．， C．， D．，4．（5分）如图，半径为2的圆内有两条半圆弧，一质点自点开始沿弧做匀速运动，则其在水平方向（向右为正）的速度的图象大致为　　A． B． C． D．5．（5分）用，，表示，，三个数中的最小值，设，，  ，则的最大值为　　A．4 B．5 C．6 D．76．（5分）函数定义域为，且，（2），若函数的图象关于对称，且（1），则　　A．3 B． C．6 D．7．（5分）函数是定义在上的单调递增函数，的导函数存在且满足，令（1），（2），（4），则，，的大小关系为　　A． B． C． D．8．（5分）若对，，有，函数在区间，上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为　　A．4 B．8 C．12 D．16二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在毎小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（5分）若，则下列不等式正确的是　　A． B． C． D．10．（5分）以下关于函数，的四个命题中，正确的有　　A．若，则的图象关于直线对称 B．若，则的图象关于对称 C．若为偶函数，且，则的图象关于直线对称 D．若，则是周期函数，周期为211．（5分）已知正数，满足，若，则的值可以是　　A．2 B．3 C．4 D．512．（5分）将一条均匀柔软的链条两端固定，在重力的作用下它所呈现的形状叫悬链线，例如悬索桥等．建立适当的直角坐标系，可以写出悬链线的函数解析式为，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相应地双曲正弦函数的函数表达式为．下列判断正确的有　　A． B． C． D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分；其中第15题第一空2分，第二空3分．13．（5分）函数的定义域为 　　．14．（5分）如图，四边形是面积为8的平行四边形，，与交于点．某对数函数的图象经过点和点，则　　．15．（5分）根据国家统计局发布的第七次全国人口普查结果显示，截止2020年底，我国总人口数约为14亿，同2010年第六次全国人口普查数据相比，年平均增长率约为．若按此增长率，30年后我国人口总数约为 　　亿；为应对人口老龄化带来的挑战，改善我国人口结构，保持我国人力资源禀赋优势，党中央进一步优化了生育政策：若希望30年后，在中华人民共和国建国百年左右，我国人口超过20亿，那么人口年平均增长率应不低于 　　．（精确到（参考数据：，，16．（5分）设函数，若方程在定义域上有解，则实数取值范围是 　　．四、解答题：本题共6小题，共70分，其中第17题10分、其他小题各12分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合．（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若存在实数，使得是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．18．（12分）已知函数．（Ⅰ）若在区间上单调递增，求的取值范围；（Ⅱ）讨论的单调性．19．（12分）为给“中国共产党建党100周年”献礼，某军工科研所加大了科研力度，对某类型榴弹炮进行了改良．如图，平面直角坐标系中，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度1千米；把改良后的榴弹炮置于坐标原点，则炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关，榴弹炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（Ⅰ）求证：该类型榴弹炮发射的高度不会超过25千米；（Ⅱ）求该类型榴弹炮的最大射程．20．（12分）已知函数．（Ⅰ）若，求曲线在点，（2）处的切线方程；（Ⅱ）若过点有且只有两条直线与曲线相切，求实数的值．21．（12分）已知函数，，为常数）．（Ⅰ）若，，求的极值；（Ⅱ）若的所有极值之和为0，求的极小值点．22．（12分）设函数．（Ⅰ）若，求在区间，的最小值；（Ⅱ）若，对于，恒成立，求的取值范围．
2020-2021学年福建省福州一中高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合，则集合中的元素个数为　　A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：，，是4的因数，即，2，1，，，故，1，2，7，5，4，故集合中的元素个数为6，故选：．2．（5分）已知函数，则　　A． B． C． D．【解答】解：因为，所以，且所以故选：．3．（5分）命题“是奇函数”的否定是　　A．， B．， C．， D．，【解答】解：命题“是奇函数”的否定，，，故选：．4．（5分）如图，半径为2的圆内有两条半圆弧，一质点自点开始沿弧做匀速运动，则其在水平方向（向右为正）的速度的图象大致为　　A． B． C． D．【解答】解：弧弧弧弧，弧弧，质点自点开始沿弧做匀速运动时，所用的时间比为；又在水平方向上向右的速度为正，速度在弧段为负，弧段为正，弧段先正后负，弧段先负后正，弧段为正，弧段为负；满足条件的函数图象是．故选：．5．（5分）用，，表示，，三个数中的最小值，设，，  ，则的最大值为　　A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：画出，，的图象，观察图象可知，当时，，当时，，当时，，的最大值在时取得为7，故选：．6．（5分）函数定义域为，且，（2），若函数的图象关于对称，且（1），则　　A．3 B． C．6 D．【解答】解：由，（2），令代入上式可得（2）①，又函数的图象关于对称，故的图象关于轴对称，即函数为偶函数，所以（2），结合①式，解得（2），故恒成立，故，所以（1）．故选：．7．（5分）函数是定义在上的单调递增函数，的导函数存在且满足，令（1），（2），（4），则，，的大小关系为　　A． B． C． D．【解答】解：为上的单调递增函数，，又，，设，则为上的单调增函数，，，．为上的单调递增函数，，得（1）（4），（2）（4），（1）（2），即，，，，故选：．8．（5分）若对，，有，函数在区间，上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为　　A．4 B．8 C．12 D．16【解答】解：当时，，整理得，当时，，所以，令，所以，故函数为奇函数，设，故故为奇函数，则该函数的最大值和最小值互为相反数，所以，所以函数函数在区间，上存在的最大值和最小值之和为8．故选：．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在毎小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（5分）若，则下列不等式正确的是　　A． B． C． D．【解答】解：由已知若可得：，故错误，则，错误，而，，所以，正确，因为，所以，正确，故选：．10．（5分）以下关于函数，的四个命题中，正确的有　　A．若，则的图象关于直线对称 B．若，则的图象关于对称 C．若为偶函数，且，则的图象关于直线对称 D．若，则是周期函数，周期为2【解答】解：对于：函数，若，则的图象关于直线对称，故正确；对于：若，则的图象关于点，即关于点对称，故正确；对于：由于函数为偶函数，故，故函数关于对称，故正确；对于：若时，则是周期函数，周期为4，故错误；故选：．11．（5分）已知正数，满足，若，则的值可以是　　A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：因为，所以，故，则，又，，所以，当时，，此时，不符合题意，若，则的值可以是1，3，4．故选：．12．（5分）将一条均匀柔软的链条两端固定，在重力的作用下它所呈现的形状叫悬链线，例如悬索桥等．建立适当的直角坐标系，可以写出悬链线的函数解析式为，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相应地双曲正弦函数的函数表达式为．下列判断正确的有　　A． B． C． D．【解答】解：对于，，故选项正确；对于，，故选项正确；对于，，故选项错误；对于，，，故选项正确．故选：．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分；其中第15题第一空2分，第二空3分．13．（5分）函数的定义域为 　，　．【解答】解：要使有意义，则，解得，的定义域为，．故答案为：，．14．（5分）如图，四边形是面积为8的平行四边形，，与交于点．某对数函数的图象经过点和点，则　　．【解答】解：设点，则，，，则，解得，，故答案为：．15．（5分）根据国家统计局发布的第七次全国人口普查结果显示，截止2020年底，我国总人口数约为14亿，同2010年第六次全国人口普查数据相比，年平均增长率约为．若按此增长率，30年后我国人口总数约为 　16.4　亿；为应对人口老龄化带来的挑战，改善我国人口结构，保持我国人力资源禀赋优势，党中央进一步优化了生育政策：若希望30年后，在中华人民共和国建国百年左右，我国人口超过20亿，那么人口年平均增长率应不低于 　　．（精确到（参考数据：，，【解答】解：因为2020年底，我国总人口数约为14亿，且年平均增长率约为，所以30年后我国人口总数约为；设年平均增长率为，由题意得：，则，两边取对数得，即，所以，解得，所以人口年平均增长率应不低于，故答案为：16.4，1.2．16．（5分）设函数，若方程在定义域上有解，则实数取值范围是 　，　．【解答】解：由得，，即，令，，则，故方程在，上有解，当，即时，△，故方程在，上无解，当，即时，只需使，解得，．综上所述，实数取值范围是，．故答案为：，．四、解答题：本题共6小题，共70分，其中第17题10分、其他小题各12分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合．（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若存在实数，使得是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．【解答】解：，．（1）若，则，，，；（2）根据题意得，当时成立，此时△，解得：．显然，当时，成立，当时，，，由得，解得，当时，，，由得，解得，综上，实数的取值范围是，．18．（12分）已知函数．（Ⅰ）若在区间上单调递增，求的取值范围；（Ⅱ）讨论的单调性．【解答】解：（Ⅰ），若在区间上单调递增，则在上，恒成立，所以在上，恒成立，所以在上，恒成立，所以在上，恒成立，所以，所以的取值范围为，．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，，在上单调递增，当时，在，上，，单调递增，在上，，单调递减，当时，在，上，，单调递增，在上，，单调递减．19．（12分）为给“中国共产党建党100周年”献礼，某军工科研所加大了科研力度，对某类型榴弹炮进行了改良．如图，平面直角坐标系中，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度1千米；把改良后的榴弹炮置于坐标原点，则炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关，榴弹炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（Ⅰ）求证：该类型榴弹炮发射的高度不会超过25千米；（Ⅱ）求该类型榴弹炮的最大射程．【解答】解：（Ⅰ）方法一：二次函数性质因为，令，解得，即函数的定义域为，二次函数的对称轴为，所以，该类型榴弹炮发射的高度不会超过25千米，得证．方法二：导数证明：由题意且定义域为，令，则，时，时，，极大值也是最大值且，故，该类型榴弹炮发射的高度不会超过25千米，得证．（Ⅱ）由题意，令，则有或，最大射程为，当且仅当时等号成立，该类型榴弹炮的最大射程为50千米．20．（12分）已知函数．（Ⅰ）若，求曲线在点，（2）处的切线方程；（Ⅱ）若过点有且只有两条直线与曲线相切，求实数的值．【解答】解：（Ⅰ）若，则，，曲线在点，（2）处的切线的斜率（2），又（2），在点，（2）处的切线方程为：，整理，得．（Ⅱ），过点且与曲线相切的直线有且仅有两条，令切点是，，则切线方程为，由切线过点，所以有，整理得，关于的方程有两个不等实根，令，，令，得，或，，，即，解得，即为所求．21．（12分）已知函数，，为常数）．（Ⅰ）若，，求的极值；（Ⅱ）若的所有极值之和为0，求的极小值点．【解答】解：（Ⅰ）若，，则，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，．（Ⅱ），则，令，得，△，所以方程有两个根，不妨设为，，所以，，所以极值之和为，所以为，所以，所以在上，，单调递减，在上，，单调递增，在上，，单调递减，所以的极小值点为．22．（12分）设函数．（Ⅰ）若，求在区间，的最小值；（Ⅱ）若，对于，恒成立，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为，①当时，，在，上单调递减，所以在区间，上的最小值为（2）②当时，令，解得，令，解得，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当，即时，此时在上单调递减，在 上单调递增，所以在区间，上的最小值为． 当，即时，此时在，上单调递减，所以在区间，上的最小值为（2）．综上所述，当时，在区间，上的最小值为；当时，在区间，上的最小值为．（Ⅱ），则，令，，又（1），结合题意有（1），解得．下面证明当时满足题意，先证明当时，恒成立，因为，令，，所以在上单调递增，所以（1），故 在上恒成立．命题得证，即当时，恒成立，所以在上单调递增，所以，（1）．综上所述，的取值范围为，．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/6/14 16:56:00；用户：13159259195；邮箱：13159259195；学号：39016604