2020-2021学年河南省郑州市高二（下）期末数学试卷（理科）

2020-2021学年河南省郑州市高二（下）期末数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）若复数，则　　

A． B．3 C． D．5

2．（5分）已知函数的导函数是，且满足（1），则（1）　　

A． B．0 C．1 D．2

3．（5分）已知随机变量的分布列如表．则实数的值为　　

A． B． C． D．

4．（5分）下列四个命题：

（1）两个变量相关性越强则相关系数就越接近于1；

（2）两个模型中，残差平方和越小的模型拟合的效果越好；

（3）在回归模型中，相关指数表示解释变量对于预报变量的贡献率，越接近于1，表示回归效果越好；

（4）在独立性检验中，随机变量的观测值越小，判断“与有关系”的把握程度越大．

其中正确命题的个数是　　

A．1 B．2 C．3 D．4

5．（5分）校园歌手大赛共有5名同学成功进人决赛，其中2名男同学，3名女同学．现在他们站成一排合影留念，要求2名男同学站在两端，则有　　种不同的站法．

A．2 B．6 C．12 D．24

6．（5分）用反证法证明命题：若，则，应提出的假设为　　

A．，至少有一个不等于1 B．，至多有一个不等于1 

C．，都不等于1 D．，只有一个不等于1

7．（5分）“关注夕阳，爱老敬老”，某商会从2016年开始向晚晴山庄养老院捐赠物资和现金．如表记录了第年年为第一年）捐赠现金（万元）的数据情况．由表中数据得到了关于的线性回归方程为，预测2021年该商会捐赠现金______万元　　

A．4.25 B．5.25 C．5.65 D．4.75

8．（5分）2021年5月11日和12日进行了郑州市第三次质量检测．对全市的理科数学成绩进行统计分析，发现数学成绩近似地服从正态分布，．据此估计：在全市抽取6名高三学生的数学成绩，恰有2名同学的成绩超过96分的概率为　　

A． B． C． D．

9．（5分）九月是某集团校的学习交流活动月，来自兄弟学校的4名同学（甲校2名，乙校、丙校各1名）到总校交流学习．现在学校决定把他们分到1，2，3三个班，每个班至少分配1名同学．为了让他们能更好的融入新的班级，规定来自同一学校的同学不能分到同一个班，则不同的分配方案种数为　　

A．12 B．18 C．24 D．30

10．（5分）如图，第1个图形是由正三边形“扩展”而来，第2个图形是由正四边形“扩展”而来．以此类推，第个图形是由正边形“扩展”而来，其中，那么第8个图形共有　　个顶点

A．72 B．90 C．110 D．132

11．（5分）若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．，

12．（5分）已知函数是自然对数）在定义域上有三个零点，则实数的取值范围是　　

A． B． C．， D．，

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）平面内一点，到直线的距离为：．由此类比，空间中一点，1，到平面的距离为 　　．

14．（5分）已知，是不相等的两个实数，且，，1，5，．在方程所表示的曲线中任取一个，此曲线是焦点在轴上的双曲线的概率为 　　．

15．（5分）2021年7月1日是中国共产党成立100周年纪念日，2021年也是“十四五”开局之年，必将在中国历史上留下浓墨重彩的标注．作为当代中学生，需要发奋图强，争做四有新人，首先需要学好文化课．现将标有数字2，0，2，1，7，1的六张卡片排成一排，组成一个六位数，则共可组成 　　个不同的六位数．

16．（5分）已知关于的方程在上有解，则实数的取值范围是 　　．

三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答题应写文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知复数．

（Ⅰ）当实数取什么值时，复数是纯虚数；

（Ⅱ）当实数取什么值时，复平面内表示复数的点位于第一、三象限．

18．（12分）在二项式的展开式中，第三项系数是倒数第三项系数的．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求展开式中所有的有理项．

19．（12分）已知数列满足，，．

（Ⅰ）计算，，的值；

（Ⅱ）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明．

20．（12分）已知函数．

（Ⅰ）当时，求函数的极值；

（Ⅱ）讨论函数的单调性．

21．（12分）2021年5月14日，郑州国际会展中心举办了关于“服务教育共筑梦想暨中小学书香校园发展论坛”的活动．某中学为进一步推进书香校园系列活动，增加学生对古典文学的学习兴趣，随机抽取160名学生做统计调查．统计显示，被调查的学生中，喜欢阅读古典文学的男生有40人，占男生调查人数的一半，不喜欢阅读古典文学的女生有20人．

（Ⅰ）完成下面列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.005的情况下认为学生喜欢阅读古典文学与性别有关？

（Ⅱ）为鼓励学生阅读古典文学书籍，学校特开展一场古典文学趣味有奖活动，并设置六个奖项（每个人只获一项奖项每项只有一个人获奖，每个人等可能获奖）现从这160名同学中选出4名男生，6名女生参加活动，记为参加活动的同学中获奖的女生人数，求的分布列及数学期望．

附：

，

22．（12分）已知函数，，其中．

（Ⅰ）若曲线在处的切线斜率为0，求的值；

（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

2020-2021学年河南省郑州市高二（下）期末数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）若复数，则　　

A． B．3 C． D．5

【解答】解：由复数，得．

故选：．

2．（5分）已知函数的导函数是，且满足（1），则（1）　　

A． B．0 C．1 D．2

【解答】解：，所以（1）（1），解得（1）．

故选：．

3．（5分）已知随机变量的分布列如表．则实数的值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由题意可知，解得．

故选：．

4．（5分）下列四个命题：

（1）两个变量相关性越强则相关系数就越接近于1；

（2）两个模型中，残差平方和越小的模型拟合的效果越好；

（3）在回归模型中，相关指数表示解释变量对于预报变量的贡献率，越接近于1，表示回归效果越好；

（4）在独立性检验中，随机变量的观测值越小，判断“与有关系”的把握程度越大．

其中正确命题的个数是　　

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：对于（1），两个变量相关性越强则相关系数就越接近于，故（1）错误；

对于（2），两个模型中，残差平方和越小的模型拟合的效果越好，故（2）正确；

对于（3），在回归模型中，相关指数表示解释变量对于预报变量的贡献率，越接近于1，表示回归效果越好，故（3）正确；

对于（4），在独立性检验中，随机变量的观测值越小，判断“与有关系”的把握程度越小，故（4）错误．

故选：．

5．（5分）校园歌手大赛共有5名同学成功进人决赛，其中2名男同学，3名女同学．现在他们站成一排合影留念，要求2名男同学站在两端，则有　　种不同的站法．

A．2 B．6 C．12 D．24

【解答】解：根据题意，分2步进行分析：

①将2名男生安排在两端，有种排法，

②将3名女生安排在中间三个位置，有种排法，

则有种排法；

故选：．

6．（5分）用反证法证明命题：若，则，应提出的假设为　　

A．，至少有一个不等于1 B．，至多有一个不等于1 

C．，都不等于1 D．，只有一个不等于1

【解答】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．

命题“，，若，则”，用反证法证明时应假设或，即，至少有一个不等于1．

故选：．

7．（5分）“关注夕阳，爱老敬老”，某商会从2016年开始向晚晴山庄养老院捐赠物资和现金．如表记录了第年年为第一年）捐赠现金（万元）的数据情况．由表中数据得到了关于的线性回归方程为，预测2021年该商会捐赠现金______万元　　

A．4.25 B．5.25 C．5.65 D．4.75

【解答】解：，

因为即：，解得，

所以回归方程为，

2021年为第6年，所以当时，．

故选：．

8．（5分）2021年5月11日和12日进行了郑州市第三次质量检测．对全市的理科数学成绩进行统计分析，发现数学成绩近似地服从正态分布，．据此估计：在全市抽取6名高三学生的数学成绩，恰有2名同学的成绩超过96分的概率为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由题意可知，数学成绩近似地服从正态分布，，

所以抽取1名高三学生，数学成绩超过96分的概率为，

故所求概率为．

故选：．

9．（5分）九月是某集团校的学习交流活动月，来自兄弟学校的4名同学（甲校2名，乙校、丙校各1名）到总校交流学习．现在学校决定把他们分到1，2，3三个班，每个班至少分配1名同学．为了让他们能更好的融入新的班级，规定来自同一学校的同学不能分到同一个班，则不同的分配方案种数为　　

A．12 B．18 C．24 D．30

【解答】解：根据题意，分2步进行分析：

①将4名同学分为3组，要求甲校2名不在同一组，有种分组方法，

②将分好的3组安排到3个班级，有种安排方法，

则有种分配方法，

故选：．

10．（5分）如图，第1个图形是由正三边形“扩展”而来，第2个图形是由正四边形“扩展”而来．以此类推，第个图形是由正边形“扩展”而来，其中，那么第8个图形共有　　个顶点

A．72 B．90 C．110 D．132

【解答】解：由题意可得

故选：．

11．（5分）若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．，

【解答】解：因为函数，所以，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以当时，取得最大值，

又（2），且在区间上有最大值，

所以，解得，

所以实数的取值范围是，．

故选：．

12．（5分）已知函数是自然对数）在定义域上有三个零点，则实数的取值范围是　　

A． B． C．， D．，

【解答】解：函数，

当时，由，解得，

当时，由，解得，

令，

则，

当时，，则单调递减，

当时，，则单调递增，

又（1），

所以当时，在区间上有两个零点，

由于在上有三个零点，

所以，解得，

综上所述，的取值范围为，．

故选：．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）平面内一点，到直线的距离为：．由此类比，空间中一点，1，到平面的距离为 　　．

【解答】解：类比点，到直线的距离为：，可计算空间中一点

，1，到平面的距离为．

故答案为：．

14．（5分）已知，是不相等的两个实数，且，，1，5，．在方程所表示的曲线中任取一个，此曲线是焦点在轴上的双曲线的概率为 　　．

【解答】解：由题意，任取，的方法有，

双曲线的焦点在轴上的取法有：，

所以线是焦点在轴上的双曲线的概率为：；

故答案为：．

15．（5分）2021年7月1日是中国共产党成立100周年纪念日，2021年也是“十四五”开局之年，必将在中国历史上留下浓墨重彩的标注．作为当代中学生，需要发奋图强，争做四有新人，首先需要学好文化课．现将标有数字2，0，2，1，7，1的六张卡片排成一排，组成一个六位数，则共可组成 　150　个不同的六位数．

【解答】解：根据题意，先不考虑0不能在首位的限制，

用数字2，0，2，1，7，1组成六位数，有个六位数，

其中0在首位的六位数，有个六位数，

则有个不同的六位数；

故答案为：150．

16．（5分）已知关于的方程在上有解，则实数的取值范围是 　，　．

【解答】解：令，

则，

又在上单调递增，

设为方程的根，即满足，

所以，两边同时取对数，可得，

因为，，

故当时，，则单调递减，

当，时，，则单调递增，

且当时，，

又，

所以当时，有解，即关于的方程在上有解，

故实数的取值范围是，．

故答案为：，．

三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答题应写文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知复数．

（Ⅰ）当实数取什么值时，复数是纯虚数；

（Ⅱ）当实数取什么值时，复平面内表示复数的点位于第一、三象限．

【解答】解：

（Ⅰ）当复数是纯虚数时，有，解得．

所以当实数时，复数是纯虚数．

（Ⅱ）当表示复数的点位于第一、三象限时，有，解得或，

所以当实数时，表示复数的点位于第一、三象限．

18．（12分）在二项式的展开式中，第三项系数是倒数第三项系数的．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求展开式中所有的有理项．

【解答】解：（Ⅰ）展开式的通项为：，

依题可得：，解得．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，展开式的通项为，

当，2，4，6时，对应项是有理项，

所以展开式中所有的有理项为：

，

，

，

．

19．（12分）已知数列满足，，．

（Ⅰ）计算，，的值；

（Ⅱ）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明．

【解答】解：（Ⅰ）数列满足，，．

时，，时，解得，时，解得．

（Ⅱ）猜想：．

证明：①当时，，猜想成立；

②假设当时猜想成立，即．

那么，依题可得．

所以，当时猜想成立．

根 ①和 ②，可知猜想对任何都成立．

20．（12分）已知函数．

（Ⅰ）当时，求函数的极值；

（Ⅱ）讨论函数的单调性．

【解答】解：（Ⅰ）当时，，定义域为，

，

令，解得，或，

当变化时，，的变化情况如下表：

当时，有极大值，且极大值为；

当时，有极小值，且极小值为（2）．

（Ⅱ）函数定义域为，

，

令得或，

①若，则当时，，单调递减；

当时，，单调递增．

②若，即，则当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

③若，即，则当时，，单调递增，

④若，即，则当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增．

综上：当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；

当时，的单调递增区间是，，递减区间是；

当时，的单调递增区间是，无单调递减区间；

当时，的单调递增区间是，，单调递减区间是．

21．（12分）2021年5月14日，郑州国际会展中心举办了关于“服务教育共筑梦想暨中小学书香校园发展论坛”的活动．某中学为进一步推进书香校园系列活动，增加学生对古典文学的学习兴趣，随机抽取160名学生做统计调查．统计显示，被调查的学生中，喜欢阅读古典文学的男生有40人，占男生调查人数的一半，不喜欢阅读古典文学的女生有20人．

（Ⅰ）完成下面列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.005的情况下认为学生喜欢阅读古典文学与性别有关？

（Ⅱ）为鼓励学生阅读古典文学书籍，学校特开展一场古典文学趣味有奖活动，并设置六个奖项（每个人只获一项奖项每项只有一个人获奖，每个人等可能获奖）现从这160名同学中选出4名男生，6名女生参加活动，记为参加活动的同学中获奖的女生人数，求的分布列及数学期望．

附：

，

【解答】解：（Ⅰ）由已知可得调查中男生共有80人，女生有80人，其中喜欢阅读古典文学的有60人

故列联表为：

．

故能在犯错误概率不超过0.005的情况下认为学生喜欢阅读古典文学与性别有关．

（Ⅱ）为参加活动的同学中获奖的女生人数：2，3，4，5，6，

，

，

，

，

．的分布列为

．

22．（12分）已知函数，，其中．

（Ⅰ）若曲线在处的切线斜率为0，求的值；

（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）依题可得且（1），

曲线在处的切线斜率为0，，

．

（Ⅱ）由，可得，

整理，得，

设，则上式即为，

，令，得，

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减．

又当时，，

，只需，即，

设，则，

令，得，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减．

，，

的取值范围为，．

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