2020-2021学年河北省保定三中高二（下）期末数学试卷

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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知集合，，则　　

A． B．，， 

C．，， D．，，

2．（5分）方程（其中的根所在的区间为　　

A． B．， C． D．，

3．（5分）设集合，，若，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

4．（5分）设且，则“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．（5分）若定义在的奇函数在单调递减，且（2），则满足的的取值范围是　　

A．，， B．，， C．，， D．，，

6．（5分）函数的图象大致为　　

A． B． 

C． D．

7．（5分）已知，，，则　　

A． B． C． D．

8．（5分）已知为奇函数，为偶函数，若当，时，，则　　

A． B．0 C．1 D．2

9．（5分）幂函数在上单调递增，则的值为　　

A．2 B．3 C．4 D．2或4

10．（5分）对于任意的两个实数对和，规定，，当且仅当，；

运算“”为：，，，，

运算“⊕”为：⊕，，，

设，，若，，，，则⊕，　　

A． B． C． D．

11．（5分）如图，某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润（单位：10万元）与营运年数为二次函数关系，若使营运的年平均利润最大，则每辆客车应营运　　

A．3年 B．4年 C．6年 D．5年

12．（5分）已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为　　

A．或 B．1或 C．或2 D．或1

二、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的选项中。有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分；有选错的得0分．

13．（5分）若直线与函数的图象有两个公共点，则的取值可以是　　

A． B． C． D．2

14．（5分）下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的是　　

A．若，则 B．若，则 

C．若，则 D．若，则

15．（5分）已知函数，则正确的选项为　　

A．（4） 

B．函数的图象与轴有两个交点 

C．函数的最小值为 

D．函数的最大值为4

16．（5分）已知实数，，满足，则下列说法正确的是　　

A． B． C． D．

17．（5分）具有性质的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数中满足“倒负”变换的函数是　　

A． 

B． 

C． 

D．

18．（5分）已知定义域为的奇函数，当时，，下列说法中正确的是　　

A．当时，恒有 

B．若当，时，的最小值为，则的取值范围为 

C．不存在实数，使函数有5个不相等的零点 

D．若关于的方程所有实数根之和为0，则

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

19．（5分）已知函数，则　　．

20．（5分）已知且，函数的图象恒过定点，若在幂函数的图象上，则（8）　　．

21．（5分）已知正数，满足，则的最大值为 　　．

22．（5分）已知为定义在上的奇函数，且，当，时，，则当，时，的所有解的和为 　　．

四、解答题：．本题共4小题，：每小题10分，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

23．（10分）设命题：实数满足，命题：实数满足．

（1）若，为真命题，求的取值范围；

（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

24．（10分）已知二次函数的最小值为3，且（1）（3）．

（1）求的解析式；

（2）若的图像恒在直线的上方，求实数的取值范围．

25．（10分）设，且（1）．

（1）求的值及的定义域；

（2）求在区间，上的最大值和最小值．

26．（10分）已知定义在上的函数是奇函数．

（1）求，的值；

（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

2020-2021学年河北省保定三中高二（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知集合，，则　　

A． B．，， 

C．，， D．，，

【解答】解：集合或，

，

或，，．

故选：．

2．（5分）方程（其中的根所在的区间为　　

A． B．， C． D．，

【解答】解：函数在上为增函数，

由，（1），（1）

结合函数零点存在定理可得方程的解在，内．

故选：．

3．（5分）设集合，，若，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解答】解：由已知可得，，，

因为，则只需，

故选：．

4．（5分）设且，则“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【解答】解：充分性：当时，“”时“”故充分性不成立．

必要性：当时，若，则，故充分性不成立．

综上，“”是“”的既不充分也不必要条件．

故选：．

5．（5分）若定义在的奇函数在单调递减，且（2），则满足的的取值范围是　　

A．，， B．，， C．，， D．，，

【解答】解：定义在的奇函数在单调递减，且（2），的大致图象如图：

在上单调递减，且；

故；

当时，不等式成立，

当时，不等式成立，

当或时，即或时，不等式成立，

当时，不等式等价为，

此时，此时，

当时，不等式等价为，

即，得，

综上或，

即实数的取值范围是，，，

故选：．

6．（5分）函数的图象大致为　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：函数的定义域为，

，则函数是奇函数，图象关于原点对称，排除，

当时，（1），排除，

当，排除，

故选：．

7．（5分）已知，，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：由，，可得，，

则有，所以；，

则．

故选：．

8．（5分）已知为奇函数，为偶函数，若当，时，，则　　

A． B．0 C．1 D．2

【解答】解：根据题意，为奇函数，则．

为偶函数，则，变形可得，

则有，

则有，即函数是周期为4的周期函数，

则（1），

为奇函数，当，时，，则，必有，

则当，时，，（1），

故（1），

故选：．

9．（5分）幂函数在上单调递增，则的值为　　

A．2 B．3 C．4 D．2或4

【解答】解：由题意得：

，

解得，

．

故选：．

10．（5分）对于任意的两个实数对和，规定，，当且仅当，；

运算“”为：，，，，

运算“⊕”为：⊕，，，

设，，若，，，，则⊕，　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，，，

，，，

，解得

则⊕，，，．

故选：．

11．（5分）如图，某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润（单位：10万元）与营运年数为二次函数关系，若使营运的年平均利润最大，则每辆客车应营运　　

A．3年 B．4年 C．6年 D．5年

【解答】解：设二次函数为，

将点代入，得，

故二次函数为，

则年平均利润为

当且仅当，即时，取等号，

每辆客车营运5年，年平均利润最大，最大值为2万元．

故选：．

12．（5分）已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为　　

A．或 B．1或 C．或2 D．或1

【解答】解：因为①，

又函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，

则，即②，

①②可得，，

由于关于直线对称，

则关于直线对称，

因为为偶函数，则关于轴对称，

所以关于对称，

由于函数有唯一零点，

则必有，且，

即，

解得或．

故选：．

二、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的选项中。有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分；有选错的得0分．

13．（5分）若直线与函数的图象有两个公共点，则的取值可以是　　

A． B． C． D．2

【解答】解：当时，作出函数的图象，

要使直线与函数的图象有两个公共点，

则

解得；

综上，可知无解；

当时，作出函数的图象，

要使直线与函数的图象有两个公共点，

则，

解得；

综上，可得可以取，；

故选：．

14．（5分）下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的是　　

A．若，则 B．若，则 

C．若，则 D．若，则

【解答】解：对于：若，则，所以为既不充分也不必要条件，故错误；

对于：若，则，所以为的必要条件，故正确；

对于：若，则，所以为的必要条件，故正确；

对于：若，则，所以为的充要条件，故错误．

故选：．

15．（5分）已知函数，则正确的选项为　　

A．（4） 

B．函数的图象与轴有两个交点 

C．函数的最小值为 

D．函数的最大值为4

【解答】解：由，得（4），即选项正确，

令，即，解得或，即或，即选项正确，

由，即函数的最小值为，无最大值，即选项正确，选项错误，

故选：．

16．（5分）已知实数，，满足，则下列说法正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：由于实数，，满足，

所以，，

故正确，、错误，

对于：由于，，

故，故正确；

故选：．

17．（5分）具有性质的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数中满足“倒负”变换的函数是　　

A． 

B． 

C． 

D．

【解答】解：由题意可知，，即，

对于，，定义域为，则在定义域内，不符合题意，故选项错误；

对于，因为，则，符合题意，故选项正确；

对于，因为，则，不符合题意，故选项错误；

对于，当时，，此时，

当时，，此时，

当时，，此时．

综上所述，满足“倒负”变换，故选项正确．

故选：．

18．（5分）已知定义域为的奇函数，当时，，下列说法中正确的是　　

A．当时，恒有 

B．若当，时，的最小值为，则的取值范围为 

C．不存在实数，使函数有5个不相等的零点 

D．若关于的方程所有实数根之和为0，则

【解答】解：根据定义域为的奇函数，当时，，

如图所示：

对于：当时，根据函数的图象不一定成立，故错误；

对于：要使的最小值为，令，解得，故的取值范围为，故正确；

对于：令，故，整理得，由于△，解得或，故存在两个交点，还有一个原点，故有3个零点，故正确；

对于或，解得或，所以，当时，即，此时所有的根之和，由于当，时，，

故也满足题意，故错误；

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

19．（5分）已知函数，则　4　．

【解答】解：根据题意，函数，

则，

则（2），

故答案为：4．

20．（5分）已知且，函数的图象恒过定点，若在幂函数的图象上，则（8）　　．

【解答】解：，

，即时，，

点的坐标是．

由题意令，由于图象过点，

得，

，

（8）

故答案为：．

21．（5分）已知正数，满足，则的最大值为 　　．

【解答】解：因为，所以，

当时，，不符合题意，

所以，

则，

因为,则，所以，

则，

当且仅当，即时取等号，

所以,

则的最大值为．

故答案为：．

22．（5分）已知为定义在上的奇函数，且，当，时，，则当，时，的所有解的和为 　4　．

【解答】解：当，时，，，则，

又为奇函数，

所以当，时，，

即，时，，

又，

所以的图象关于直线对称，

又，所以的周期为4，

作出函数的图象如图所示，

由图可知，在，上，函数的图象与共有四个交点，

所以在，上共有四个解，从左到由分别记为，，，，

则与，与都关于直线对称，

所以，

则，

所以当，时，的所有解的和为4．

故答案为：4．

四、解答题：．本题共4小题，：每小题10分，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

23．（10分）设命题：实数满足，命题：实数满足．

（1）若，为真命题，求的取值范围；

（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）当时，不等式，即为，解得．

不等式等价于，解得．

若为真命题，则、均为真命题，所以，，

因此，实数的取值范围为，；

（2）当时，解不等式，得，解不等式，可得，

则或，或，

由于是的充分不必要条件，所以，，解得，

因此，实数的取值范围是．

24．（10分）已知二次函数的最小值为3，且（1）（3）．

（1）求的解析式；

（2）若的图像恒在直线的上方，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）根据题意得二次函数的顶点坐标为，

设，然后把点代入得，

；

（2）的图像恒在直线的上方恒成立，

令，

若恒成立，

则△，解得：，

故的取值范围为．

25．（10分）设，且（1）．

（1）求的值及的定义域；

（2）求在区间，上的最大值和最小值．

【解答】解：（1）由题意知，，

解得；

故的定义域为；

再由（1）得，

；

故；

（2），

，，

，，

故在区间，上的最大值为（1）；

在区间，上的最小值为．

26．（10分）已知定义在上的函数是奇函数．

（1）求，的值；

（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）由题意可得，解得，

再由（1），

得，解得，

当，时，的定义域为，

由，可得为奇函数，

所以，；

（2）由，得，

因为，所以，

所以．

令，则，此时不等式可化为，

记，因为当时，和均为减函数，

所以为减函数，故，

因为恒成立，所以．

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