2020-2021学年河北省石家庄市高二（下）期末数学试卷

2020-2021学年河北省石家庄市高二（下）期末数学试卷

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）复数的实部与虚部之和为　　

A． B． C． D．

2．（5分）已知函数，是的导函数，则（2）　　

A．24 B．26 C．32 D．28

3．（5分）函数在，上的平均变化率为　　

A． B． C．1 D．

4．（5分）展开式中的第3项为　　

A． B． C．216 D．

5．（5分）某学校高三年级总共有800名学生，学校对高三年级的学生进行一次体能测试．这次体能测试满分为100分，已知测试结果服从正态分布．若在，内取值的概率为0.2，则估计该学校高三年级体能测试成绩在80分以上的人数为　　

A．160 B．200 C．240 D．320

6．（5分）从1，2，3，4，5，6，7，8中不放回地依次取2个数，事件为“第一次取到的数是偶数”，事件为“第二次取到的数是偶数”，则　　

A． B． C． D．

7．（5分）已知复数，，且在复平面内对应的点在第一，三象限的角平分线上，则　　

A． B． C． D．

8．（5分）某学校安排甲、乙，丙、丁、戊五位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲不参加数学竞赛，则不同的安排方法有　　

A．86种 B．100种 C．112种 D．134种

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．（5分）已知复数，则　　

A． 

B． 

C．在复平面内对应的点在第四象限 

D．

10．（5分）已知，，则下列结论正确的有　　

A．若，则 B．若，则 

C． D．若，则

11．（5分）下面四个结论中正确的有　　

A．展开式中各项的二项式系数之和为16 

B．用4个0和3个1可以组成35个不同的七位数 

C．的展开式中不存在有理项 

D．方程有36组正整数解

12．（5分）已知函数，若函数恰有4个零点，则的取值可以是　　

A． B．3 C．4 D．

三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13．（5分）若随机变量的分布列为．

则　　．

14．（5分）写出一个恰有1个极值点，且其图象经过坐标原点的函数　　．

15．（5分）某电影院的一个放映室前3排的位置如图所示，甲和乙各自买了1张同一个场次的电影票，已知他们买的票的座位都在前3排，则他们观影时座位相邻（相邻包括左右相邻和前后相邻）的概率为 　　．

16．（5分）若，则的最小值是 　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）马拉松赛事是当下一项非常火爆的运动项目，受到越来越多人的喜爱．现随机在“马拉松跑友群”中选取100人，记录他们在某一天马拉松训练中的跑步公里数，并将数据整理如下：

（1）分别估计“马拉松跑友群”中的人在一天的马拉松训练中的跑步公里数为，，，，，的概率；

（2）已知一天的跑步公里数不少于20公里的跑友被“跑友群”评定为“高级”，否则为“初级”，根据题意完成给出的列联表，并据此判断能否有的把握认为“评定级别”与“性别”有关．

附：，．

18．（12分）已知函数的导函数是，且（1）．

（1）求的解析式；

（2）求经过点且与曲线相切的直线方程．

19．（12分）已知．

（1）求的值；

（2）求的值；

（3）求的值．

20．（12分）某小型企业在开春后前半年的利润情况如表所示：

设第个月的利润为万元．

（1）根据表中数据，求关于的回归方程（系数精确到；

（2）由（1）中的回归方程预测该企业第7个月的利润是多少万元？（结果精确到整数部分，如98.1万元万元）

（3）已知关于的线性相关系数为0.8834．从相关系数的角度看，与的拟合关系式更

适合用还是，说明你的理由．

参考数据：，，取．

附：样本，，2，，的相关系数，

线性回归方程中的系数，．

21．（12分）在一个不透明的盒中，装有大小、质地相同的两个小球，其中1个是黑色，1个是白色，甲、乙进行取球游戏，两人随机地从盒中各取一球，两球都取出之后再一起放回盒中，这称为一次取球，约定每次取到白球者得1分，取到黑球者得0分，一人比另一人多3分或取满9次时游戏结束，并且只有当一人比另一人多3分时，得分高者才能获得游戏奖品．已知前3次取球后，甲得2分，乙得1分．

（1）求甲获得游戏奖品的概率；

（2）设表示游戏结束时所进行的取球次数，求的分布列及数学期望．

22．（12分）已知函数．

（1）求在，上的单调区间；

（2）设函数，若，，，，求的取值范围．

2020-2021学年河北省石家庄市高二（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）复数的实部与虚部之和为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

故的实部与虚部之和为．

故选：．

2．（5分）已知函数，是的导函数，则（2）　　

A．24 B．26 C．32 D．28

【解答】解：，

，

（2）．

故选：．

3．（5分）函数在，上的平均变化率为　　

A． B． C．1 D．

【解答】解：根据题意，在，上的平均变化率，

故选：．

4．（5分）展开式中的第3项为　　

A． B． C．216 D．

【解答】解：展开式中的第3项为，

故选：．

5．（5分）某学校高三年级总共有800名学生，学校对高三年级的学生进行一次体能测试．这次体能测试满分为100分，已知测试结果服从正态分布．若在，内取值的概率为0.2，则估计该学校高三年级体能测试成绩在80分以上的人数为　　

A．160 B．200 C．240 D．320

【解答】解：因为测试结果服从正态分布，

所以，

则，

即该学校高三年级体能测试成绩在80分以上的人数估计为．

故选：．

6．（5分）从1，2，3，4，5，6，7，8中不放回地依次取2个数，事件为“第一次取到的数是偶数”，事件为“第二次取到的数是偶数”，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：

．

故选：．

7．（5分）已知复数，，且在复平面内对应的点在第一，三象限的角平分线上，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：

，

在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上，

，，

．

故选：．

8．（5分）某学校安排甲、乙，丙、丁、戊五位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲不参加数学竞赛，则不同的安排方法有　　

A．86种 B．100种 C．112种 D．134种

【解答】解：根据题意，分3种情况讨论：

若只有1人参加数学竞赛，有种安排方法；

若恰有2人参加数学竞赛，有种安排方法；

若有3人参加数学竞赛，有种安排方法．

所以共有种安排方法．

故选：．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．（5分）已知复数，则　　

A． 

B． 

C．在复平面内对应的点在第四象限 

D．

【解答】解：，

在复平面内对应的点在第四象限，

，．

结合选项可知正确，

故选：．

10．（5分）已知，，则下列结论正确的有　　

A．若，则 B．若，则 

C． D．若，则

【解答】解：，，

若，则，，故选项错误，选项正确，

，，故选项正确，

，，

化简整理可得，解得，故选项正确．

故选：．

11．（5分）下面四个结论中正确的有　　

A．展开式中各项的二项式系数之和为16 

B．用4个0和3个1可以组成35个不同的七位数 

C．的展开式中不存在有理项 

D．方程有36组正整数解

【解答】解：展开式中各项的二项式系数之和为，故正确．

用4个0和3个1可以组成个不同的七位数，故错误．

因为，

所以展开式中的第5项为常数项，故错误．

方程正整数解的组数等价于问题：10瓶相同的矿泉水分给3个人，每人至少分得1瓶，共有

多少种不同的分法？

所以此问题可以用隔板法解决，将10瓶相同的矿泉水排成一排，中间有9个空，

选取两个空插入两块隔板，则不同分法数为，故正确．

故选：．

12．（5分）已知函数，若函数恰有4个零点，则的取值可以是　　

A． B．3 C．4 D．

【解答】解：因为的零点为，

所以由，

得或，即或．

因为，

所以在上单调递增，在上单调递减，

则的极大值为，极小值为，

因为，

所以，

结合的图象可得，解得．

故选：．

三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13．（5分）若随机变量的分布列为．

则　0.25　．

【解答】解：，

．

故答案为：0.25．

14．（5分）写出一个恰有1个极值点，且其图象经过坐标原点的函数　（答案不唯一）　．

【解答】解：令（答案不唯一），

则，且恰有1个极值点，

故答案为：（答案不唯一）．

15．（5分）某电影院的一个放映室前3排的位置如图所示，甲和乙各自买了1张同一个场次的电影票，已知他们买的票的座位都在前3排，则他们观影时座位相邻（相邻包括左右相邻和前后相邻）的概率为 　　．

【解答】解：若他们的座位左右相邻，则有种可能；若他们的座位前后相邻，则有种可能．

所以他们观影时座位相邻的概率．

故答案为：．

16．（5分）若，则的最小值是 　2　．

【解答】解：由，

得，，

则问题转化为曲线上的点与直线上的点之间的距离平方的最小值，

利用切线以及平行线间的距离公式计算即可，

令，设曲线上一点，，

在点处的切线斜率为，

依题意，得，解得，或（舍去），

所以，

函数图象在点处的切线方程为，又，

所以切线方程为，

直线方程为，

由平行线间的距离公式，得，

所以的最小值为2．

故答案为：2．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）马拉松赛事是当下一项非常火爆的运动项目，受到越来越多人的喜爱．现随机在“马拉松跑友群”中选取100人，记录他们在某一天马拉松训练中的跑步公里数，并将数据整理如下：

（1）分别估计“马拉松跑友群”中的人在一天的马拉松训练中的跑步公里数为，，，，，的概率；

（2）已知一天的跑步公里数不少于20公里的跑友被“跑友群”评定为“高级”，否则为“初级”，根据题意完成给出的列联表，并据此判断能否有的把握认为“评定级别”与“性别”有关．

附：，．

【解答】解：（1）由频数分布表可知，估计“马拉松跑友群”中的人在一天的马拉松训练中的跑步公里数为，的概率为，

跑步公里数为，的概率为，跑步公里数为，的概率为；

（2）列联表如下：

因为，

所以没有的把握认为“评定级别”与“性别”有关．

18．（12分）已知函数的导函数是，且（1）．

（1）求的解析式；

（2）求经过点且与曲线相切的直线方程．

【解答】解：（1）由（1），得（1）（1），

，解得，

；

（2）设该切线的切点坐标为，

，

该切线方程为．

将代入方程，整理得，解得

当时，切线方程为；

当时，切线方程为．

综上，经过点且与曲线相切的直线方程为或．

19．（12分）已知．

（1）求的值；

（2）求的值；

（3）求的值．

【解答】解：（1）因为，

所以，

所以

（2）令，得．

令，得，

又，

所以，，．

（3）由题可知，，

，，

所以．

20．（12分）某小型企业在开春后前半年的利润情况如表所示：

设第个月的利润为万元．

（1）根据表中数据，求关于的回归方程（系数精确到；

（2）由（1）中的回归方程预测该企业第7个月的利润是多少万元？（结果精确到整数部分，如98.1万元万元）

（3）已知关于的线性相关系数为0.8834．从相关系数的角度看，与的拟合关系式更

适合用还是，说明你的理由．

参考数据：，，取．

附：样本，，2，，的相关系数，

线性回归方程中的系数，．

【解答】解：（1）关于的回归方程，

设，，

则，

所以，

故关于的回归方程为．

（2）当时，，

故可预测第7个月的利润约为114万元．

（3）由（1）知，关于的线性相关系数

，

因为，

所以与的拟合关系式更适合用．

21．（12分）在一个不透明的盒中，装有大小、质地相同的两个小球，其中1个是黑色，1个是白色，甲、乙进行取球游戏，两人随机地从盒中各取一球，两球都取出之后再一起放回盒中，这称为一次取球，约定每次取到白球者得1分，取到黑球者得0分，一人比另一人多3分或取满9次时游戏结束，并且只有当一人比另一人多3分时，得分高者才能获得游戏奖品．已知前3次取球后，甲得2分，乙得1分．

（1）求甲获得游戏奖品的概率；

（2）设表示游戏结束时所进行的取球次数，求的分布列及数学期望．

【解答】解：（1）设甲获得游戏奖品为事件，

所以甲获得游戏奖品的概率为；

（2）可能的取值为：5，7，9；，，，

的分布列为

的数学期望．

22．（12分）已知函数．

（1）求在，上的单调区间；

（2）设函数，若，，，，求的取值范围．

【解答】解：（1），

当，时，，函数在，上的零点为，

当时，；

当时，；

当时，；

当时，．

故在，上的单调递增区间为

单调递减区间为．

（2）由（1）知，在，上的最大值为．

当时，

设函数，

则

当时，；

当时，．

故

设函数，

因为，

所以．

所以当时，，

因为，，，，

所以，

故，即的取值范围是．

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