2020-2021学年湖北省部分省级示范高中高二（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年湖北省部分省级示范高中高二（下）期末数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年湖北省部分省级示范高中高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）设全集为，集合，，则　　A． B． C． D．2．（5分）若复数满足为虚数单位），则所对应的复平面内的点位于复平面的　　A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（5分）已知函数的定义域为，则函数的定义域为　　A． B． C． D．4．（5分）中国古代的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课相邻排课，则“六艺”课程讲座排课顺序共有　　A．12种 B．24种 C．36种 D．48种5．（5分）2021年3月20日，“沉睡三千年，一醒惊天下”的三星堆遗址向世人展示了其重大考古新发现个三星堆文化“祭祀坑”现已出土500余件重要文物．为推测文物年代，考古学者通常用碳14测年法推算，碳14测年法是根据碳14的衰变程度来计算出样品的大概年代的一种测量方法年，考古专家对某次考古的文物样本上提取的遗存材料进行碳14年代测定，检测出碳14的残留量约为初始量的，已知碳14的半衰期（放射性物质质量衰减一半所用的时间）是5730年，以此推算出该文物大致年代是　　（参考数据：，A．公元前1400年到公元前1300年 B．公元前1300年到公元前1200年 C．公元前1200年到公元前1100年 D．公元前1100年到公元前1000年6．（5分）在平行四边形中，，，，，若，则　　A． B． C． D．7．（5分）在研究某高中高三年级学生的性别与是否喜欢某学科的关系时，总共调查了个学生，其中男女学生各半，男生中表示喜欢该学科，其余表示不喜欢；女生中表示喜欢该学科，其余表示不喜欢．若有把握认为性别与是否喜欢该学科有关，则可以推测的最小值为　　附．0.0500.0100.0013.8416.63510.828A．400 B．300 C．200 D．1008．（5分）过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，其中，，圆，若抛物线与圆交于，两点，且，则点的横坐标为　　A．2 B．3 C．4 D．5二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．（5分）已知数列中，，则下列说法正确的是　　A． B．是等比数列 C． D．10．（5分）已知函数在区间，上恰能取到2次最大值，且最多有4个零点，则下列说法中正确的有　　A．在上恰能取到2次最小值 B．的取值范围为 C．在上一定有极值 D．在上不单调11．（5分）已知偶函数满足：，且当时，，则下列说法正确的是　　A．时， B．点是图象的一个对称中心 C．在区间，上有10个零点 D．对任意，，都有12．（5分）截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体．如图，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体，则　　A．该截角四面体一共有12条棱 B．该截角四面体一共有8个面 C．该截角四面体的表面积为 D．该截角四面体的体积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）某圆柱两个底面面积之和等于其侧面面积，则该圆柱底面半径与高的比值为　　．14．（5分）若的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项为　　（用数字作答）15．（5分）已知定义域为的函数恒满足，且在内单调递减，写出一个满足条件的函数解析式　　．16．（5分）在对表面为曲面的工件进行磨削时应当选用尺寸适当的圆形砂轮，如果砂轮半径太大，则磨削时工件与砂轮接触处附近的那部分会磨去太多．现有一工件，其截面内表面是一实轴长为4，离心率为的椭圆，在对其内表面进行抛光时，所选用砂轮的半径最大为 　　．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知的角，，对边分别为，，且，而且_____．（1）求；（2）求面积的最大值．18．（12分）已知等差数列和等比数列满足，，，，．（1）求和的通项公式；（2）若数列满足，求的前项之和．19．（12分）为做好精准扶贫工作，农科所经实地考察，发现某贫困村的土地适合种植药材，村民可以通过种植药材增加收入，达到脱贫标准．通过大量考察研究得到如下统计数据：药材的收购价格处于上涨趋势，最近五年的价格如表：年份20162017201820192020年份编号12345单价（元公斤）1820232529药材的亩产量在2020年的频率分布直方图如图：（Ⅰ）若药材的单价（单位：元公斤）与年份编号间具有线性相关关系，请求出关于的回归直线方程，并估计2021年药材的单价；（Ⅱ）利用上述频率分布直方图估计药材的平均亩产量（同组数据以该数据所在区间的中点值为代表）；（Ⅲ）称亩产量不高于390公斤的田地为“待改良田”，将频率视为概率，现农科所研究员从这个村的地中随机选取3块面积为1亩的田地进行试验，记其中“待改良田”的个数为，求随机变量的数学期望．参考公式：回归直线方程，其中：，．20．（12分）如图，是边长为2的等边三角形，四边形为菱形，平面平面，，，．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．21．（12分）已知函数．（1）若，试求曲线在点，处的切线方程；（2）讨论的单调性．22．（12分）已知椭圆上任一点到两个焦点，的距离之和为，短轴长为4．动点在双曲线（顶点除外）上运动，直线和与椭圆的交点分别为、和、．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）证明：为定值，并求出此定值．
2020-2021学年湖北省部分省级示范高中高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）设全集为，集合，，则　　A． B． C． D．【解答】解：，，，．故选：．2．（5分）若复数满足为虚数单位），则所对应的复平面内的点位于复平面的　　A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：因为，所以，所以所对应的复平面内的点位于复平面第三象限．故选：．3．（5分）已知函数的定义域为，则函数的定义域为　　A． B． C． D．【解答】解：的定义域为，，则，则，即的定义域为，由，得，得，则函数的定义域为，故选：．4．（5分）中国古代的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课相邻排课，则“六艺”课程讲座排课顺序共有　　A．12种 B．24种 C．36种 D．48种【解答】解：由题意，“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻时，可排在第1节和第2节或第4节和第5节或第5节和第6节，有3种，再考虑两者的顺序，有种，剩余的3门全排列，安排在剩下的3个位置，有种，所以“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有种不同的排法．故选：．5．（5分）2021年3月20日，“沉睡三千年，一醒惊天下”的三星堆遗址向世人展示了其重大考古新发现个三星堆文化“祭祀坑”现已出土500余件重要文物．为推测文物年代，考古学者通常用碳14测年法推算，碳14测年法是根据碳14的衰变程度来计算出样品的大概年代的一种测量方法年，考古专家对某次考古的文物样本上提取的遗存材料进行碳14年代测定，检测出碳14的残留量约为初始量的，已知碳14的半衰期（放射性物质质量衰减一半所用的时间）是5730年，以此推算出该文物大致年代是　　（参考数据：，A．公元前1400年到公元前1300年 B．公元前1300年到公元前1200年 C．公元前1200年到公元前1100年 D．公元前1100年到公元前1000年【解答】解：设样本中碳14初始值为，衰减率为，经过年后，残留量为，则有，由碳14的半衰期是5730年，则，即，所以，由题意可知，，所以，2021年之间的3188年大致是公元前1167年，则大致年代为公元前1200年到公元前1100年．故选：．6．（5分）在平行四边形中，，，，，若，则　　A． B． C． D．【解答】解：因为，，，，所以，所以，所以，即，又，所以，故选：．7．（5分）在研究某高中高三年级学生的性别与是否喜欢某学科的关系时，总共调查了个学生，其中男女学生各半，男生中表示喜欢该学科，其余表示不喜欢；女生中表示喜欢该学科，其余表示不喜欢．若有把握认为性别与是否喜欢该学科有关，则可以推测的最小值为　　附．0.0500.0100.0013.8416.63510.828A．400 B．300 C．200 D．100【解答】解：由题意，设男、女学生的人数分别为，，建立列联表如下： 喜欢课程不喜欢课程总计男生女生总计由表中的数据，，由题意可得，，解得，又，所以，．故选：．8．（5分）过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，其中，，圆，若抛物线与圆交于，两点，且，则点的横坐标为　　A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：易知圆过原点，设，，，由，可得，又，联立可解得，，将代入中，解得，物线的方程为，焦点，准线．过，分别作于，于，可得，，即，由梯形的中位线性质得点到准线的距离，则点的横坐标为3．故选：．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．（5分）已知数列中，，则下列说法正确的是　　A． B．是等比数列 C． D．【解答】解：依题意，所以，则，，，所以数列的奇数项和偶数项，分别是以2为公比的等比数列．所以，、正确．，正确，错误．故选：．10．（5分）已知函数在区间，上恰能取到2次最大值，且最多有4个零点，则下列说法中正确的有　　A．在上恰能取到2次最小值 B．的取值范围为 C．在上一定有极值 D．在上不单调【解答】解：①，，，，函数在区间，上恰能取到2次最大值，，函数在区间，上最多有4个零点，，可得：．②由，在区间上只能取得1次最小值．③当时，，，由，，函数在上无极值．④当时，，，，函数在上不单调．综上只有正确．故选：．11．（5分）已知偶函数满足：，且当时，，则下列说法正确的是　　A．时， B．点是图象的一个对称中心 C．在区间，上有10个零点 D．对任意，，都有【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于，时，有，则，又由为偶函数，则，正确；对于，当时，，，（2），点，和，（2）不关于点对称，故点不是图象的一个对称中心，错误对于，函数满足，则有，又由为偶函数，则，则是周期为4的周期函数，当时，，有（1），为偶函数，则，则在区间，上，即一个周期内有2个零点，在区间，上，有5个周期，有10个零点，正确；对于，当时，，则在区间，上，（2），，此时（2），错误；故选：．12．（5分）截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体．如图，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体，则　　A．该截角四面体一共有12条棱 B．该截角四面体一共有8个面 C．该截角四面体的表面积为 D．该截角四面体的体积为【解答】解：对于，可知截角四面体是由4个边长为1的正三角形，4个边长为1的正六边形构成，故该截角四面体一共有8个面，18条棱，故错误，正确；对于，边长为1的正三角形的面积，边长为1的正六边形的面积，故该截角四面体的表面积为，故正确；对于，棱长为1的正四面体的高，利用等体积法可得该截角四面体的体积为：，故正确．故选：．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）某圆柱两个底面面积之和等于其侧面面积，则该圆柱底面半径与高的比值为　1　．【解答】解：设圆柱的底面半径为，高为，则圆柱的底面面积为，侧面面积为，由题意知，，所以，所以该圆柱底面半径与高的比值为1．故答案为：1．14．（5分）若的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项为　　（用数字作答）【解答】解：的展开式中只有第5项的二项式系数最大，，故展开式的通项公式，令，求得，可得展开式中常数项为，故答案为：．15．（5分）已知定义域为的函数恒满足，且在内单调递减，写出一个满足条件的函数解析式　（答案不唯一）　．【解答】解：根据题意，函数恒满足，则函数的图象关于直线对称，若，则函数的图象关于直线对称，若，即函数是周期为2的周期函数，又由在内单调递减，则可以为余弦函数的变形形式，故函数可以为，故答案为：（答案不唯一）．16．（5分）在对表面为曲面的工件进行磨削时应当选用尺寸适当的圆形砂轮，如果砂轮半径太大，则磨削时工件与砂轮接触处附近的那部分会磨去太多．现有一工件，其截面内表面是一实轴长为4，离心率为的椭圆，在对其内表面进行抛光时，所选用砂轮的半径最大为 　　．【解答】解：设椭圆的标准方程为：，，由，，，解得，．在对其内表面进行抛光时，所选用砂轮的半径为椭圆的最小曲率半径，在顶点处，曲率半径．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知的角，，对边分别为，，且，而且_____．（1）求；（2）求面积的最大值．【解答】解：（1）选①，，，，，即，又，，故，即；选②，，，即，，，；（2）由（1）可知，，在中，由余弦定理得，即，，，当且仅当那个时取等号，．18．（12分）已知等差数列和等比数列满足，，，，．（1）求和的通项公式；（2）若数列满足，求的前项之和．【解答】解：（1），即，，即，解得，，故；（2），，则，两式相减得到：，故．19．（12分）为做好精准扶贫工作，农科所经实地考察，发现某贫困村的土地适合种植药材，村民可以通过种植药材增加收入，达到脱贫标准．通过大量考察研究得到如下统计数据：药材的收购价格处于上涨趋势，最近五年的价格如表：年份20162017201820192020年份编号12345单价（元公斤）1820232529药材的亩产量在2020年的频率分布直方图如图：（Ⅰ）若药材的单价（单位：元公斤）与年份编号间具有线性相关关系，请求出关于的回归直线方程，并估计2021年药材的单价；（Ⅱ）利用上述频率分布直方图估计药材的平均亩产量（同组数据以该数据所在区间的中点值为代表）；（Ⅲ）称亩产量不高于390公斤的田地为“待改良田”，将频率视为概率，现农科所研究员从这个村的地中随机选取3块面积为1亩的田地进行试验，记其中“待改良田”的个数为，求随机变量的数学期望．参考公式：回归直线方程，其中：，．【解答】解：（Ⅰ），，，．关于的线性回归方程为．当时，．故估计2021年药材的单价为31.1元公斤；（Ⅱ）组距为20，自左向右各组的频率依次为0.1，0.2，0.35，0.25，0.1．从而药材的平均亩产量为公斤；（Ⅲ）由题意知，．故数学期望．20．（12分）如图，是边长为2的等边三角形，四边形为菱形，平面平面，，，．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：因为，所以四边形是菱形，所以，且平面，所以平面．（3分）又，平面，所以平面，，所以平面平面，所以平面．（6分）（2）如图，取中点，连接，，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间坐标系，则，（7分）所以，所以，，，所以，所以．设平面的法向量为，由题意得，不妨取，则所以．（9分）易知平面的一个法向量为（10分）所以，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．（12分）21．（12分）已知函数．（1）若，试求曲线在点，处的切线方程；（2）讨论的单调性．【解答】解：（1），，，，故切线方程为：；（2），故，当时，，当时，，当时，，故函数在上单调递增，在上单调递减；当时，由，得到，当时，，当和时，，函数单调递增，当，，时，，函数单调递减；当时，，恒成立，函数在单调递增；当时，，当和，时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减；综上所述：当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在和，上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在，上单调递减．22．（12分）已知椭圆上任一点到两个焦点，的距离之和为，短轴长为4．动点在双曲线（顶点除外）上运动，直线和与椭圆的交点分别为、和、．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）证明：为定值，并求出此定值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，，则，，椭圆方程为．（Ⅱ）证明：设，，，则，由题意椭圆的两个焦点，刚好是双曲线的两个顶点，不妨取，，则，设直线的方程为，直线的方程为，则，，联立，，设，，，，则，，，同理，，，为定值，此定值为．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/6/14 16:54:46；用户：13159259195；邮箱：13159259195；学号：39016604