2020-2021学年湖北省武汉市武昌区高二（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年湖北省武汉市武昌区高二（下）期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年湖北省武汉市武昌区高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合，，则　　A． B．， C．，， D．，，2．（5分）复数的共轭复数是　　A． B． C． D．3．（5分）若，则的值为　　A． B． C． D．4．（5分）设，，，则，，的大小关系为　　A． B． C． D．5．（5分）如图是函数，，的部分图象，给出下列四种说法：①函数的周期为；②函数图象的一条对称轴方程为；③函数的递减区间为；④当时，函数的值域为．其中，正确的说法是　　A．①② B．①③ C．②③ D．③④6．（5分）已知椭圆的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为　　A． B． C． D．7．（5分）三棱锥的顶点均在一个半径为4的球面上，为等边三角形且其边长为6，则三棱锥体积的最大值为　　A． B． C． D．8．（5分）已知，，，则　　A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是　　A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳10．（5分）对于非零向量，下列命题中错误的是　　A．若，则 B．若，则 C． D．11．（5分）如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面的一边于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，以下命题正确的是　　A．有水的部分始终呈棱柱形 B．水面所在四边形的面积为定值 C．棱始终与水面所在平面平行 D．当容器倾斜如图（3）所示时，是定值12．（5分）已知双曲线的左，右焦点分别为，，过双曲线上的一点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，，若，则　　A．双曲线的离心率为 B．四边形的面积为为坐标原点） C．双曲线的渐近线方程为 D．直线与直线的斜率之积为定值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）的展开式中，的系数为 　　．（用数字作答）14．（5分）甲、乙、丙等5位同学随机站成一排合影留念，甲、乙两人相邻且甲站在丙的左侧，则不同的站法共有 　　种．（用数字作答）15．（5分），，为三个不重合的平面，，，为三条不同的直线，给出下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则．其中正确命题的序号是 　　．16．（5分）设函数，，其中，．若存在极值点，且，其中，则　　．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，，两点都在河的对岸（不可到达），为了测量，两点间的距离，在，两点的对岸选定两点，，测得，并且在点，两点分别测得，，，，试求，两点间的距离（精确到．附：，，．18．（12分）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率，（Ⅰ）记甲击中目标的次数为，求的概率分布及数学期望；（Ⅱ）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．19．（12分）已知数列是递增的等比数列，前3项和为7，且，，成等差数列．数列的首项为1，其前项和为，且．（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和．20．（12分）如图，在四棱锥中，已知底面是等腰梯形，，，侧面是等边三角形，，点在平面上的射影恰是线段的中点．求：（1）二面角的大小；（2）异面直线与所成角的余弦值．21．（12分）抛物线的方程为，过抛物线上一点，作斜率为，的两条直线分别交抛物线于，，，两点，，三点互不相同），且满足．（1）若线段的中点为，证明线段的中点在轴上；（2）若点的坐标为，求为钝角时点的纵坐标的取值范围．22．（12分）已知函数．（1）讨论函数零点的个数；（2）若函数恰有两个零点，，证明：．
2020-2021学年湖北省武汉市武昌区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合，，则　　A． B．， C．，， D．，，【解答】解：集合，或，．故选：．2．（5分）复数的共轭复数是　　A． B． C． D．【解答】解：，复数的共轭复数是．故选：．3．（5分）若，则的值为　　A． B． C． D．【解答】解：，，又，，．故选：．4．（5分）设，，，则，，的大小关系为　　A． B． C． D．【解答】解：，，．故选：．5．（5分）如图是函数，，的部分图象，给出下列四种说法：①函数的周期为；②函数图象的一条对称轴方程为；③函数的递减区间为；④当时，函数的值域为．其中，正确的说法是　　A．①② B．①③ C．②③ D．③④【解答】解：根据函数的图象：，，故，所以，当时，，故，故，当时，，时，，根据函数的图象，，故，对于①，函数的周期为，故①正确；对于②，当时，，故②错误；对于③，令，整理得：，故函数的递减区间为，故③正确；④当时，故，函数的值域为，故④错误．故选：．6．（5分）已知椭圆的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为　　A． B． C． D．【解答】解：以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，圆的方程为，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，整理可得，即，即，从而，则椭圆的离心率，故选：．7．（5分）三棱锥的顶点均在一个半径为4的球面上，为等边三角形且其边长为6，则三棱锥体积的最大值为　　A． B． C． D．【解答】解：三棱锥是半径为4的球面上四点，为等边三角形，所以，球心为，三角形 的外心为，显然是的延长线与球的交点，如图所示：计算，，所以三棱锥高的最大值为，所以三棱锥体积的最大值为．故选：．8．（5分）已知，，，则　　A． B． C． D．【解答】解：设，求导可得，在单调递减，在单调递增，，，（a）（4），同理可得（b）（5），（c）（6），当时，，且在单调递减，，，，又（4）（5）（6），（a）（b）（c），又在单调递减，．故选：．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是　　A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【解答】解：由已有中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据可得：月接待游客量逐月有增有减，故错误；年接待游客量逐年增加，故正确；各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故正确；各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故正确；故选：．10．（5分）对于非零向量，下列命题中错误的是　　A．若，则 B．若，则 C． D．【解答】解：选项，，由是非零向量，所以，，故，所以，即，故错误；选项，，，，不能得到，故错误；选项，表示与共线的向量，表示与共线的向量，故错误；选项，由平面向量数量积运算律可知，正确；故选：．11．（5分）如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面的一边于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，以下命题正确的是　　A．有水的部分始终呈棱柱形 B．水面所在四边形的面积为定值 C．棱始终与水面所在平面平行 D．当容器倾斜如图（3）所示时，是定值【解答】解：由棱柱的特征：有两个平面时相互平行且是全等的多边形，其余每相邻两个面的交线也相互平行，而这些面都是平行四边形，故选项正确；因为睡眠所在四边形的面积，从图2，图3可以发现，有条边长不变，而另外一条长随着倾斜度变化而变化，所以所在四边形的面积是变化的，故选项错误；因为棱始终与是平行的，与平面始终平行，故选项正确；因为水的体积是不变的，高始终是也不变，则底面也不变，即是定值，故选项正确．故选：．12．（5分）已知双曲线的左，右焦点分别为，，过双曲线上的一点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，，若，则　　A．双曲线的离心率为 B．四边形的面积为为坐标原点） C．双曲线的渐近线方程为 D．直线与直线的斜率之积为定值【解答】解：双曲线的两条渐近线分别为和，设，，则所以，又点在双曲线上，则，所以，因为，所以，即，又，所以，故正确；因为，所以，所以，所以四边形是矩形，故四边形的面积为，故正确；因为，所以双曲线的渐近线方程为，故错误；，故正确．故选：．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）的展开式中，的系数为 　60　．（用数字作答）【解答】解：的通项公式为：．令，得．可得项的系数为，故答案为：60．14．（5分）甲、乙、丙等5位同学随机站成一排合影留念，甲、乙两人相邻且甲站在丙的左侧，则不同的站法共有 　24　种．（用数字作答）【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①将除甲乙丙之外的2人全排列，有种情况，②将甲乙看成一个整体，和丙一起安排在空位中，有种情况，则有种不同的站法；故答案为：24，15．（5分），，为三个不重合的平面，，，为三条不同的直线，给出下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则．其中正确命题的序号是 　①④　．【解答】解：①若，，由平行公理可得，故①正确；②若，，则或与相交或与异面，故②错误；③若，，则或与相交，故③错误；④若，，由平面与平面平行的传递性可得，故④正确．故答案为：①④．16．（5分）设函数，，其中，．若存在极值点，且，其中，则　4　．【解答】解：，，因为是极值点，所以，即，又即，因为，所以，即，因为，所以，把代入化简得，因为，所以，即．故答案为：4．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，，两点都在河的对岸（不可到达），为了测量，两点间的距离，在，两点的对岸选定两点，，测得，并且在点，两点分别测得，，，，试求，两点间的距离（精确到．附：，，．【解答】解：在中，，，，所以，是直角三角形，求得．在中，，，所以．由正弦定理，得，所以．在中，，由余弦定理，得，所以，，两点间的距离为．18．（12分）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率，（Ⅰ）记甲击中目标的次数为，求的概率分布及数学期望；（Ⅱ）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题意知的可能取值是0，1，2，3，，，，的概率分布如下表：0123，（或；（Ⅱ）设甲恰比乙多击中目标2次为事件，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件，甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件，则，，为互斥事件．甲恰好比乙多击中目标2次的概率为19．（12分）已知数列是递增的等比数列，前3项和为7，且，，成等差数列．数列的首项为1，其前项和为，且．（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【解答】解：（1）设等比数列的公比为，因为前3项和为7，且，，成等差数列，所以，（其中舍去），所以数列的通项公式为；因为，所以，两式相减，得，化简得，于是，所以；（2）由（1）知，，则，所以，故，所以．20．（12分）如图，在四棱锥中，已知底面是等腰梯形，，，侧面是等边三角形，，点在平面上的射影恰是线段的中点．求：（1）二面角的大小；（2）异面直线与所成角的余弦值．【解答】解：设，则，（1）如图，取的中点，连接，，因为是等腰梯形，且为的中点，所以于．因为是等边三角形，为的中点，所以于．所以是二面角的平面角．点在平面上的射影为，，．于是中，，所以．即二面角的大小是．（2）过作的平行线交于，则等于异面直线与所成的角．由是平行四边形，得．在中，．在中，．在中，由余弦定理得，异面直线与所成角的余弦值为．21．（12分）抛物线的方程为，过抛物线上一点，作斜率为，的两条直线分别交抛物线于，，，两点，，三点互不相同），且满足．（1）若线段的中点为，证明线段的中点在轴上；（2）若点的坐标为，求为钝角时点的纵坐标的取值范围．【解答】解：（1）证明：设直线的方程为，直线的方程为，点，和点，的坐标是方程组的解，消去，整理得，于是，即，同理可得，，因为，所以，因为线段的中点为，所以，因为，所以线段的中点在轴上；（2）由（1）知，当点的坐标为时，，代入，求得，同理可得，，因此直线、分别与抛物线的交点、的坐标为，，于是，，所以，因为为钝角且、、三点互不相同，所以，即，解得或，又，所以当时，；当时，，综上所述，为钝角时点的纵坐标的取值范围为．22．（12分）已知函数．（1）讨论函数零点的个数；（2）若函数恰有两个零点，，证明：．【解答】解：（1）．当时，；当时，．所以，函数在单调递增；在单调递减．所以，当时，有最大值．当时，，函数无零点；当时，，函数有1个零点：当时，，，（a），（a）．当时，（a）；当时，（a）．所以，（a）在单调递增，在单调递减．所以，即（a）．所以在和各有一个零点，即有两个零点．综上，当时，函数无零点；当时，函数有1个零点；当时，有两个零点．（2）证明：由（1）知，函数恰有两个零点时，，且．要证，只需证．因为在单调递减，所以只需证．因为，所以只需证，其中．令，，则，所以，因为，所以在单调递增，从而，所以在单调递减，所以，即，于是，所以．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/6/14 16:52:15；用户：13159259195；邮箱：13159259195；学号：39016604