2020-2021学年江苏省苏州市高二（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省苏州市高二（下）期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省苏州市高二（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）若函数，则　　
A． B． C． D．
2．（5分）已知随机变量的分布列为，2，3，4，，则实数　　
A． B． C． D．
3．（5分）在气象学中，通常把某时段内降雨量的平均变化率称为该时段内的降雨强度，它是反映降雨大小的一个重要指标．如表为一次降雨过程中记录的降雨量数据．
时间
0
10
20
30
40
50
60
降雨量
0
6
14
18
20
23
24
则下列四个时段降雨强度最小的是　　
A．到 B．到 C．到 D．到
4．（5分）当前新冠病毒肆虐，已经成为全球性威胁．为了检测某种新冠病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小白鼠进行试验，得到如下列联表：

感染
未感染
总计
注射
10
40
50
未注射
20
30
50
总计
30
70
100
则下列说法一定正确的是　　
附：（其中．
临界值表：

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.076
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
A．有的把握认为“小白鼠有无被感染与是否注射疫苗有关”
B．有的把握认为“小白鼠有无被感染与是否注射疫苗无关”
C．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“小白鼠有无被感染与是否注射疫苗有关”
D．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“小白鼠有无被感染与是否注射疫苗无关”
5．（5分）计算：　　
A．180 B．186 C．188 D．192
6．（5分）若函数在上单调，则实数的取值范围是　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
7．（5分）已知正实数，满足，若恒成立，则正整数的最大值是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（5分）已知函数，若存在，，，使得成立，则实数的取值范围是　　
A． B．， C． D．，
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（5分）若，，则　　
A． B． C． D．
10．（5分）一个口袋内装有大小相同的3个红球和个白球，从口袋中一次摸出2个球，若“摸到1个红球和1个白球”的概率不小于，则的值可能是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（5分）若，则　　
A．
B．
C．
D．为，，，，中最大的数
12．（5分）设函数，其中，．现有甲、乙、丙、丁四个结论：
甲：是函数的零点；
乙：是函数的零点；
丙：函数的零点之积为0；
丁：函数有两个零点．
若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则下列说法中正确的有　　
A．甲和乙不能同时成立
B．乙和丁可以同时成立
C．若甲和丙是正确的，则乙是错误的，丁是正确的
D．若丙和丁是正确的，则甲一定是正确的，乙一定是错误的
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）函数在上可导，且．写出满足上述条件的一个函数：　　．
14．（5分）小明登录网上银行的时候，忘记了登录密码的后两位，只记得其中某一位是，，中的一个字母，另一位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小明输入一次密码能够登录成功的概率是 　　．
15．（5分）已知曲线在点，处的切线为，与轴的交点为，，当时，的最大值为 　　．
16．（5分）假期里有5名同学分别被分配到甲、乙、丙三个社区做防疫志愿者，共有 　　种不同的分配方法；若要求每个社区至少分配一名同学，且同学必须被分配到社区甲，则共有 　　种不同的分配方法．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知的展开式中含项的系数为6．
（1）求的值；
（2）若，，展开式中首末两项的积为1，求中间两项和的最小值．
18．（12分）给出下列三个条件：①周期为1的函数；②奇函数；③偶函数．请逐一判断并筛选出符合题意的一个条件（均需说明理由），补充在下面的问题中，并求解．
已知函数是_______．
（1）求的值；
（2）求不等式的解集．
19．（12分）甲、乙两名选手进行围棋比赛，总奖金为元，比赛规则为先胜3局者赢得比赛．已知每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛相互独立．
（1）求比赛刚好在第4局结束的概率；
（2）若前两局双方各胜一局后，比赛因故终止，主办方决定，总奖金元按照后续比赛正常进行时甲乙双方赢得比赛的概率之比进行分配，求甲、乙各自获得的奖金数额．
20．（12分）在一次考试中，为了对学生的数学、物理成绩的相关性进行分析，现随机抽取10位同学的成绩，对应如表：
数学成绩
90
99
101
104
111
112
113
117
123
130
物理成绩
65
66
52
67
72
73
72
77
69
87
（1）根据表中数据分析：是否有的把握认为变量与具有线性相关关系？若有，请根据这10组数据建立关于的回归直线方程精确到；
（2）已知参加该次考试的10000名考生的物理成绩服从正态分布，用样本平均值作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，估计物理成绩不低于61.5分的人数的数学期望．
参考数据：







1100
700
77714
122270
49730


参考公式：
①对于一组数据，，，，，，，
样本相关系数，当时，，
其回归直线的斜率为．
②对于一组数据：，，，，其方差．
③若随机变量，则，，．
21．（12分）对于函数，若在定义域内存在实数，使得成立，其中为大于0的常数，则称点，为函数的级“平移点”．
（1）试判断函数是否存在“平移点”？若存在，请求出平移点的坐标；若不存在，请说明理由；
（2）若函数在，上存在1级“平移点”，求实数的取值范围．
22．（12分）已知函数的导函数与函数有且仅有一个相同零点．
（1）求实数的值；
（2）若函数有两个不同的零点，，求证：．

2020-2021学年江苏省苏州市高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）若函数，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，函数，
则，
故选：．
2．（5分）已知随机变量的分布列为，2，3，4，，则实数　　
A． B． C． D．
【解答】解：随机变量的分布列为，2，3，4，，
，
解得实数．
故选：．
3．（5分）在气象学中，通常把某时段内降雨量的平均变化率称为该时段内的降雨强度，它是反映降雨大小的一个重要指标．如表为一次降雨过程中记录的降雨量数据．
时间
0
10
20
30
40
50
60
降雨量
0
6
14
18
20
23
24
则下列四个时段降雨强度最小的是　　
A．到 B．到 C．到 D．到
【解答】解：到的降雨强度为；
到的降雨强度为；
到的降雨强度为；
到的降雨强度为．
因为，所以四个时段中到的降雨强度最小．
故选：．
4．（5分）当前新冠病毒肆虐，已经成为全球性威胁．为了检测某种新冠病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小白鼠进行试验，得到如下列联表：

感染
未感染
总计
注射
10
40
50
未注射
20
30
50
总计
30
70
100
则下列说法一定正确的是　　
附：（其中．
临界值表：

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.076
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
A．有的把握认为“小白鼠有无被感染与是否注射疫苗有关”
B．有的把握认为“小白鼠有无被感染与是否注射疫苗无关”
C．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“小白鼠有无被感染与是否注射疫苗有关”
D．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“小白鼠有无被感染与是否注射疫苗无关”
【解答】解：由列联表中数据，计算，且，
所以有的把握认为“小白鼠有无被感染与是否注射疫苗有关”．
故选：．
5．（5分）计算：　　
A．180 B．186 C．188 D．192
【解答】解：，
，
故选：．
6．（5分）若函数在上单调，则实数的取值范围是　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【解答】解：函数在上单调，
函数在上单调，且大于零，
由于二次函数的图象开口向上，对称轴为，
，或，求得，或，
故选：．
7．（5分）已知正实数，满足，若恒成立，则正整数的最大值是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：正实数，满足，
，则，即，
又恒成立，，
又，
，解得，
取正整数，正整数的最大值为2．
故选：．
8．（5分）已知函数，若存在，，，使得成立，则实数的取值范围是　　
A． B．， C． D．，
【解答】解：，
显然，时，恒成立，所以单调递增，
不妨设，则，又，
所以等价于，
即，
设，，，
则只需求出不单调时，的取值范围即可．
先研究单调时，的取值范围，
当函数在，上为减函数，
所以在，上恒成立，
设，，，
则，
所以函数在，上为减函数，
则，所以，
当函数在，上为增函数，
所以在，上恒成立，
设，，，
则，
所以函数在，上为减函数，
则，所以，
所以当单调时，的取值范围为或，
所以当不单调时，的取值范围为，
所以实数的取值范围为．
故选：．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（5分）若，，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：令，
，
在上单调递增，
又，
，故选项正确，
由换底公式可得，，
，
，
又，
，，
，故选项正确，
令，
，
在上单调递增，
，
，故选项错误，
，，
，，，
，
，故选项错误．
故选：．
10．（5分）一个口袋内装有大小相同的3个红球和个白球，从口袋中一次摸出2个球，若“摸到1个红球和1个白球”的概率不小于，则的值可能是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：基本事件总数为，
摸到1个红球和1个白球的基本事件数，
摸到1个红球和1个白球的概率为，
，，
，或．
故选：．
11．（5分）若，则　　
A．
B．
C．
D．为，，，，中最大的数
【解答】解：令，得，所以选项正确；
令，得①，
令，得②，
两式相减得，所以选项正确；
原式两边求导，得，
令，得，所以选项错误．
根据二项式展开式得，
由，解得，所以取，即为系数的最大项，所以选项正确．
故选：．
12．（5分）设函数，其中，．现有甲、乙、丙、丁四个结论：
甲：是函数的零点；
乙：是函数的零点；
丙：函数的零点之积为0；
丁：函数有两个零点．
若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则下列说法中正确的有　　
A．甲和乙不能同时成立
B．乙和丁可以同时成立
C．若甲和丙是正确的，则乙是错误的，丁是正确的
D．若丙和丁是正确的，则甲一定是正确的，乙一定是错误的
【解答】解：当，时，为增函数，
当，时，，
，
所以在，上单调递减，
所以和只有一个是函数的零点，
因为四个结论中有且只有一个结论错误，
所以甲乙中有一个结论错误，一个结论正确，而丙丁均正确，
丙正确，函数的零点之积为0，则必有一个零点为0，
所以，解得，
若乙正确，那么（e），解得，
所以，
当时，（e），
所以只有一个根，此时丁错误，与上面矛盾，
所以甲正确．
所以甲丙丁正确，
故选：．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）函数在上可导，且．写出满足上述条件的一个函数：　，（答案不唯一）　．
【解答】解：根据题意，函数在上可导，且．
可以考查指数函数，如，其导数，
满足．
故答案为：，（答案不唯一）．
14．（5分）小明登录网上银行的时候，忘记了登录密码的后两位，只记得其中某一位是，，中的一个字母，另一位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小明输入一次密码能够登录成功的概率是 　　．
【解答】解：忘记了登录密码的后两位，只记得其中某一位是，，中的一个字母，另一位是1，2，3，4，5中的一个数字，
则基本事件总数，
小明输入一次密码能够成功登录的概率是．
故答案为：．
15．（5分）已知曲线在点，处的切线为，与轴的交点为，，当时，的最大值为 　　．
【解答】解：，
，
曲线在点，处的切线的方程为，
令，得，即，
，
令，
则，
当时，单调递增，当时，单调递减，
，
故答案为：．
16．（5分）假期里有5名同学分别被分配到甲、乙、丙三个社区做防疫志愿者，共有 　243　种不同的分配方法；若要求每个社区至少分配一名同学，且同学必须被分配到社区甲，则共有 　　种不同的分配方法．
【解答】解：根据题意，对于第一空：每位同学可以安排到三个社区，有3种选择，
则5位同学有种分配方法，
对于第二空：分2步进行分析：
先将5人分为3组，有种分组方法，
再将同学所在的组必须被分配到社区甲，剩下2个组安排到乙、丙社区，有2种安排方法，
则有种安排方法；
故答案为：243，50．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知的展开式中含项的系数为6．
（1）求的值；
（2）若，，展开式中首末两项的积为1，求中间两项和的最小值．
【解答】解：（1）由于知的展开式的通项公式为，
令，，可得，展开式中含项的系数为，．
（2），，的展开式中首末两项的积为，
即，．
而中间两项和为，
当且仅当时，取等号，
故中间两项和的最小值为6．
18．（12分）给出下列三个条件：①周期为1的函数；②奇函数；③偶函数．请逐一判断并筛选出符合题意的一个条件（均需说明理由），补充在下面的问题中，并求解．
已知函数是_______．
（1）求的值；
（2）求不等式的解集．
【解答】解：（1）函数，的定义域为，，．
若选①：是周期为1的函数，则（1）（2）（3），
即，无解，不合题意；
若选②：为奇函数，则（1），
即，方程无解，不合题意；
若选③：为偶函数，则在定义域上恒成立，
即，
整理可得，解得，
此时为偶函数；
（2）由，可得，
①，即，解得；
②，即，此时无解．
综上所述，不等式的解集为．
19．（12分）甲、乙两名选手进行围棋比赛，总奖金为元，比赛规则为先胜3局者赢得比赛．已知每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛相互独立．
（1）求比赛刚好在第4局结束的概率；
（2）若前两局双方各胜一局后，比赛因故终止，主办方决定，总奖金元按照后续比赛正常进行时甲乙双方赢得比赛的概率之比进行分配，求甲、乙各自获得的奖金数额．
【解答】解：（1）比赛规则为先胜3局者赢得比赛，
每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛相互独立．
则比赛刚好在第4局结束的情况是前3局甲2胜1负，第4局甲胜，或前3局乙2胜1负，第4局乙胜，
则比赛刚好在第4局结束的概率为：
；
（2）记事件为：“若当前两局双方比分为比赛正常进行下去时甲赢得比赛”，
则再进行两局甲赢得比赛的概率为，
所以（B），
则“若当前两局双方比分为比赛正常进行下去时乙赢得比赛”的概率为，
所以甲应该获得奖金为元，乙应该获得奖金为元．
20．（12分）在一次考试中，为了对学生的数学、物理成绩的相关性进行分析，现随机抽取10位同学的成绩，对应如表：
数学成绩
90
99
101
104
111
112
113
117
123
130
物理成绩
65
66
52
67
72
73
72
77
69
87
（1）根据表中数据分析：是否有的把握认为变量与具有线性相关关系？若有，请根据这10组数据建立关于的回归直线方程精确到；
（2）已知参加该次考试的10000名考生的物理成绩服从正态分布，用样本平均值作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，估计物理成绩不低于61.5分的人数的数学期望．
参考数据：







1100
700
77714
122270
49730


参考公式：
①对于一组数据，，，，，，，
样本相关系数，当时，，
其回归直线的斜率为．
②对于一组数据：，，，，其方差．
③若随机变量，则，，．
【解答】解：（1）由题意，，
所以有的把握认为变量与具有线性相关关系，
，
则，
所以关于的回归直线方程为；
（2）由（1）可知，，，
所以10000名考生的物理成绩服从正态分布，，
故，
所以物理成立不等于61.5分的人数，
故人．
21．（12分）对于函数，若在定义域内存在实数，使得成立，其中为大于0的常数，则称点，为函数的级“平移点”．
（1）试判断函数是否存在“平移点”？若存在，请求出平移点的坐标；若不存在，请说明理由；
（2）若函数在，上存在1级“平移点”，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）设平移点为，，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，或，，
所以存在平移点，，等．
（2）若函数在，上存在1级“平移点”，
则（1），
所以，
所以，
当时，，由于，无解，
所以，
所以，在上有解，
令，
，
所以在上单调递增，
所以（1），
所以，
所以，
解得．
所以的取值范围为，．
22．（12分）已知函数的导函数与函数有且仅有一个相同零点．
（1）求实数的值；
（2）若函数有两个不同的零点，，求证：．
【解答】解：（1）设与的相同零点为，
，
，
将代入，得，
，解得，；
（2）证明：设，
令，解得，
易知当时，，单调递增，当时，，单调递减，
又，，
存在，使得，
，
，
．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/6/14 16:39:42；用户：13159259195；邮箱：13159259195；学号：39016604