2020-2021学年山东省烟台市高二（下）期末数学试卷

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2020-2021学年山东省烟台市高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合，，则　　A． B． C． D．2．（5分）设，则“”是“”的　　A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知，则　　A．2 B．1 C．0 D．不确定4．（5分）函数的图象可能为　　A． B． C． D．5．（5分）若函数在，上单调递减，则实数的取值范围是　　A．， B． C． D．6．（5分）某种放射性物质在其衰变过程中，每经过一年，剩余质量约是原来的．若该物质的剩余质量变为原来的，则经过的时间大约为　　，A．2.74年 B．3.42年 C．3.76年 D．4.56年7．（5分）已知函数，若且，则的最小值为　　A．2 B．3 C． D．8．（5分）已知奇函数的定义域为，，，，且在上单调递增，则不等式的解集为　　A．，， B．，， C．，， D．，，二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（5分）下列说法正确的有　　A．“，”的否定为“，” B．“，”的否定为“，，” C．“，”的否定为“，” D．“，”的否定为“，”10．（5分）已知函数，，则　　A．函数为偶函数 B．函数为奇函数 C．函数在区间，上的最大值与最小值之和为0 D．设，则的解集为11．（5分）已知函数，，则　　A．在单调递减 B．的图象关于点对称 C．若方程仅有1个实数根，则 D．当或时，方程有3个实数根12．（5分）若函数在区间上有定义，且对，，，（a），（b），（c）均可作为一个三角形的三边长，则称在区间上为“函数”．已知函数在区间为“函数”，则实数的值可能为　　A． B． C． D．三、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）函数的定义域是 　　．14．（5分）已知是上的减函数，则实数的取值范围为 　　．15．（5分）若函数在处的切线与的图象相切，则实数的值为 　　．16．（5分）已知函数在其图象上任意一点，处的切线，与轴、轴的正半轴分别交于，两点，设处坐标原点）的面积为，当时，取得最小值，则的值为 　　．四、解答题，本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知是定义在上的偶函数，当时，．（1）当时，求函数的解析式；（2）解关于的不等式．18．（12分）已知函数．（1）求函数的极值；（2）讨论方程实数解的个数．19．（12分）已知函数，．（1）若的定义域为，求的取值范围；（2）若不等式有解，求的取值范围．20．（12分）如图，将一张长为，宽为的矩形铁皮的四角分别截去一个大小相同的小正方形，然后折起，可以做成一个无盖长方体容器．设截去的小正方形的边长为，所得容器的体积为．（1）将表示为的函数；（2）为何值时，容积最大？求出最大容积．21．（12分）已知函数．（1）若的图象恒在轴上方，求的取值范围；（2）若存在正数，，满足，证明：．22．（12分）已知函数．（1）求的单调区间；（2）令，对任意，，求的取值范围．
2020-2021学年山东省烟台市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合，，则　　A． B． C． D．【解答】解：因为集合，，所以，则．故选：．2．（5分）设，则“”是“”的　　A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：对应的集合为，，，所以是的必要非充分条件，故选：．3．（5分）已知，则　　A．2 B．1 C．0 D．不确定【解答】解：，（1）．故选：．4．（5分）函数的图象可能为　　A． B． C． D．【解答】解：因为，所以为奇函数，排除选项和，又（1），排除选项，故选：．5．（5分）若函数在，上单调递减，则实数的取值范围是　　A．， B． C． D．【解答】解：在，上单调递减，当，时，恒成立，即对，恒成立，当，时，，，，故选：．6．（5分）某种放射性物质在其衰变过程中，每经过一年，剩余质量约是原来的．若该物质的剩余质量变为原来的，则经过的时间大约为　　，A．2.74年 B．3.42年 C．3.76年 D．4.56年【解答】解：该物质的剩余质量变为原来的，设经过的时间大约为年，设该种放射性物质原来质量为，则，（年．故选：．7．（5分）已知函数，若且，则的最小值为　　A．2 B．3 C． D．【解答】解：作出函数的图象如图，由且，可得，，，，而，，则，，令，，，则，当时，，当时，，当时，取得最小值为（1）．故选：．8．（5分）已知奇函数的定义域为，，，，且在上单调递增，则不等式的解集为　　A．，， B．，， C．，， D．，，【解答】解：由题意知，（1），且在上单调递增，当或时，；当或时，，，或，解得或，不等式的解集为，，．故选：．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（5分）下列说法正确的有　　A．“，”的否定为“，” B．“，”的否定为“，，” C．“，”的否定为“，” D．“，”的否定为“，”【解答】解：根据全称量词命题的否定是存在量词命题知，“，”的否定为“，”，所以选项正确，错误；根据存在量词命题的否定是全称量词命题知，“，”的否定为“，”，所以选项正确，错误．故选：．10．（5分）已知函数，，则　　A．函数为偶函数 B．函数为奇函数 C．函数在区间，上的最大值与最小值之和为0 D．设，则的解集为【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于，，其定义域为，有，则为奇函数，错误；对于，，其定义域为，有，则为奇函数，正确；对于，函数，、都是奇函数，则也是奇函数，在区间，上的最大值与最小值互为相反数，必有在区间，上的最大值与最小值之和为0，正确；对于，，则在上为减函数，，则在上也为减函数，若，即，必有，解可得，即的解集为，正确；故选：．11．（5分）已知函数，，则　　A．在单调递减 B．的图象关于点对称 C．若方程仅有1个实数根，则 D．当或时，方程有3个实数根【解答】解：对于，，所以函数在上单调递减，故正确；对于，因为，（2），所以（2），所以错误；对于，，作出函数和的函数图象，其中函数的图象是由平移得到的，当或时，此时两函数图象恰有2个公共点，数形结合可知，当时，两函数图象3个公共点，当时两函数图象2个公共点，当时，两函数图象1个公共点，当时，两函数图象2个公共点，当时，两函数图象3个公共点．所以都正确．故选：．12．（5分）若函数在区间上有定义，且对，，，（a），（b），（c）均可作为一个三角形的三边长，则称在区间上为“函数”．已知函数在区间为“函数”，则实数的值可能为　　A． B． C． D．【解答】解：，当时，，当，时，，在上单调递增，在，上单调递减，（1），又，（e），，为函数，，即，，，，，，、不符合题意，、符合题意，故选：．三、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）函数的定义域是 　，　．【解答】解：，，故．故答案为：，14．（5分）已知是上的减函数，则实数的取值范围为 　，　．【解答】解：根据题意，是上的减函数，则有，解可得：，即的取值范围为：，．故答案为：，．15．（5分）若函数在处的切线与的图象相切，则实数的值为 　1　．【解答】解：由得，切点为，，故切线方程为，即①，设的切点为，而，，故切线方程为，即②，由已知，①②是同一方程，故，解得．故答案为：1．16．（5分）已知函数在其图象上任意一点，处的切线，与轴、轴的正半轴分别交于，两点，设处坐标原点）的面积为，当时，取得最小值，则的值为 　　．【解答】解：由，得，，又，在点，处的切线方程为，取，可得，取，可得，的面积为．，由，解得，即当时，取得最小值，．故答案为：．四、解答题，本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知是定义在上的偶函数，当时，．（1）当时，求函数的解析式；（2）解关于的不等式．【解答】解：（1）当时，则，所以，又为偶函数，所以；（2）当时，恒成立，所以在，单调递增，又为偶函数，所以等价于，则，两边平方，整理得，解得或，所以不等式的解集为．18．（12分）已知函数．（1）求函数的极值；（2）讨论方程实数解的个数．【解答】解：（1）因为函数，所以，令，解得或，列表如下：200单调递增极大值单调递减极小值单调递增故当时，有极大值，且极大值为，当时，有极小值，且极小值为；（2）方程的实数解的个数，即为函数的图象与直线的交点的个数，当时，，当时，，结合（1）中的结论，可知的大致图象如图所示，结合图象可得，当或时，方程的解为1个；当或时，方程的解为2个；当时，方程的解为3个．19．（12分）已知函数，．（1）若的定义域为，求的取值范围；（2）若不等式有解，求的取值范围．【解答】解：（1）要使的定义域为，只需在上恒成立，令，只需在上恒成立，①当，即时，在单增，恒有，因此，对任意均成立；②当，即时，在单减，单增，只需，即，解得，所以．综上，的取值范围为；（2）若不等式有解，即有解，可得有解，因为当时，，所以对任意实数，总存在，使得，即有解，由有解，则有解，令，，，显然当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，所以当时，取最大值，所以，即．综上所述，的取值范围为．20．（12分）如图，将一张长为，宽为的矩形铁皮的四角分别截去一个大小相同的小正方形，然后折起，可以做成一个无盖长方体容器．设截去的小正方形的边长为，所得容器的体积为．（1）将表示为的函数；（2）为何值时，容积最大？求出最大容积．【解答】解：（1）由题意可知，长方体容器的长为，宽为，高为，所以容器的体积，令，，，可得，故函数，；（2）由（1）可得，，令，解得，（舍去），将，，的情况列表如下：0单调递增极大值单调递减因此，是函数的极大值点，相应的极大值为，同时也是在区间上的最大值，答：截去的小正方形边长为时，容器的容积最大，最大容积．21．（12分）已知函数．（1）若的图象恒在轴上方，求的取值范围；（2）若存在正数，，满足，证明：．【解答】（1）解：的定义域为，，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，因此，当时，（1），因为的图象恒在轴上方，所以恒成立则，即，解得，所以的取值范围为；（2）证明：由（1）及的单调性可知，，构造函数，，则，当时，，，即，所以在区间上单调递减，因为，所以（1），即，由题意，所以，因为在，且单调递增，，，所以，即．22．（12分）已知函数．（1）求的单调区间；（2）令，对任意，，求的取值范围．【解答】解：（1），令，得；令，得．所以的单调增区间为，单调减区间为．（2）由题意知．于是，由（1）知，在，上，单调递减，且，当时，，函数在，上单调递减，取，显然，但（e），因此，不合题意．当时，结合（1）中的单调性知，存在，得，此时在上单调递减，在，上单调递增，所以，解得，即；当时，，函数在，上单调递增，（1），解得，即；综上所述，的取值范围．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/6/14 16:47:08；用户：13159259195；邮箱：13159259195；学号：39016604