2020-2021学年湖南省岳阳市高二（下）期末数学试卷

2020-2021学年湖南省岳阳市高二（下）期末数学试卷

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（5分）已知集合，3，，，，且满足，则　　

A． B．0 C．1 D．2

2．（5分）已知，为第二象限角，则　　

A． B． C． D．

3．（5分）“互联网”时代全民阅读的内涵已多元化，在线读书成为一种生活方式．某高校为了解本校学生阅读情况，拟采用分层抽样方法从该校四个年级中抽取一个容量为360的样本进行调查，大一与大二学生占全校一半，大三学生与大四学生之比为，则大四学生应抽取的学生为　　

A．72 B．100 C．108 D．120

4．（5分）如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为，则的函数图象是　　

A． B． 

C． D．

5．（5分）设，，，，则　　

A． B． C． D．

6．（5分）当生物体死亡后，它机体内的碳14含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．2021年3月23日四川省文物考古研究院联合北京大学对三星堆新发现坑的炭屑样品使用碳14年代检测方法进行了分析，发现碳14含量衰减为原来的，则该遗址距今约　　年．（参考数据：

A．3300 B．3200 C．3100 D．3000

7．（5分）若，，，则　　

A． B． C． D．

8．（5分）碳是一种非金属单质，它是由60个碳原子构成，形似足球，又称为足球烯．其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共32个面，且满足：顶点数棱数面数，则其六元环的个数为　　

A．12 B．20 C．32 D．60

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．（5分）在中，若，，，则的值可以是　　

A． B． C． D．

10．（5分）如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下面叙述正确的是　　

A．这组数据是近似对称的 

B．数据中可能有极端大的值 

C．数据中可能有异常值 

D．数据中众数可能和中位数相同

11．（5分）已知，且，则下列结论正确的是　　

A． B． C． D．

12．（5分）已知正三棱锥中，为的中点，，，则　　

A． 

B． 

C．此正三棱锥的内切球半径为 

D．此正三棱锥的外接球表面积

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．（5分）若为偶函数，则　　．

14．（5分）已知，，且，则的最小值是 　　．

15．（5分）袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，第二次摸到红球的概率是　　．

16．（5分）已知为的重心，且，，则　　，的最小值为 　　．

四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）已知函数．

（1）求的最小正周期以及单调增区间；

（2）在中，若，，求周长的取值范围．

18．（12分）夏天来了，又是一个冷藏饮料销售旺季．某生活小超市据以往统计某天的偏温差（超出常温度数）和某种饮料的销售量（瓶的情况及有关数据如表：

其中，，．

（1）请用相关系数加以说明是否可用线性回归模型拟合销售量与偏温差的关系；

（2）建立关于的回归方程（精确到，预测当偏温差升高时该种饮料的销售量会有什么变化？（销售量精确到整数）

参考数据：．

参考公式：相关系数：，

回归直线方程是．，．

19．（12分）如图，在三棱柱中，，，．

（1）证明：平面平面；

（2）求四棱锥的体积．

20．（12分）在①，，成等比数列且，②，③，，，这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答本题．

问题：已知等差数列的公差为，前项和为，且满足 _______．

（1）求；

（2）若的前项和为，证明：．

21．（12分）某企业参加项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元．根据现实的需要，从项目中调出人参与项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润万元，项目余下的工人每人每年创造利润提高．

（1）若要保证项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加项目从事售后服务工作？

（2）在（1）的条件下，当从项目调出的人数不能超过总人数的时，才能使得项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数的取值范围．

22．（12分）已知动点与两个定点，的距离的比为，动点的轨迹为曲线．

（1）求的轨迹方程，并说明其形状；

（2）过直线上的动点分别作的两条切线，、为切点），，交于点．

（ⅰ）证明：直线过定点，并求该定点坐标；

（ⅱ）是否存在点，使的面积最大？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．

2020-2021学年湖南省岳阳市高二（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（5分）已知集合，3，，，，且满足，则　　

A． B．0 C．1 D．2

【解答】解：因为，

则，

又集合，3，，，，

所以或，

解得或或，

当和时，不满足集合的互异性，

所以．

故选：．

2．（5分）已知，为第二象限角，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：因为，可得，

所以，，可得，

因为为第二象限角，可得，，可得，

所以．

故选：．

3．（5分）“互联网”时代全民阅读的内涵已多元化，在线读书成为一种生活方式．某高校为了解本校学生阅读情况，拟采用分层抽样方法从该校四个年级中抽取一个容量为360的样本进行调查，大一与大二学生占全校一半，大三学生与大四学生之比为，则大四学生应抽取的学生为　　

A．72 B．100 C．108 D．120

【解答】解：大一与大二学生占全校一半，大三学生与大四学生之比为，

大四学生占全校人数的，

故大四学生应抽取的学生为：，

故选：．

4．（5分）如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为，则的函数图象是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：根据题意，当时，，

当时，，

当时，，

分析选项，选项符合，

故选：．

5．（5分）设，，，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：设点的坐标为，则；，根据，得，

解得，所以；．

故选：．

6．（5分）当生物体死亡后，它机体内的碳14含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．2021年3月23日四川省文物考古研究院联合北京大学对三星堆新发现坑的炭屑样品使用碳14年代检测方法进行了分析，发现碳14含量衰减为原来的，则该遗址距今约　　年．（参考数据：

A．3300 B．3200 C．3100 D．3000

【解答】解：设该遗址距今约年，衰减率为，

则有，则，

故，

由题意可得，，

则，

故，

所以，

则该遗址距今约3100年．

故选：．

7．（5分）若，，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：令在时单调递增，

，

则，

故选：．

8．（5分）碳是一种非金属单质，它是由60个碳原子构成，形似足球，又称为足球烯．其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共32个面，且满足：顶点数棱数面数，则其六元环的个数为　　

A．12 B．20 C．32 D．60

【解答】解：根据题意，设正五边形为个，正六边形为个，

碳的顶点数为60，有32个面，

由顶点数棱数面数，则棱长数为90，

则有，解可得，即有20个六元环，

故选：．

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．（5分）在中，若，，，则的值可以是　　

A． B． C． D．

【解答】解：设，利用余弦定理：，

解得．

故选：．

10．（5分）如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下面叙述正确的是　　

A．这组数据是近似对称的 

B．数据中可能有极端大的值 

C．数据中可能有异常值 

D．数据中众数可能和中位数相同

【解答】解：因为中位数表示一组数据的一般水平，平均数表示一组数据的平均水平，

中位数比平均数小很多，所以数据不是近似对称的，选项错误．

一组数据的中位数比平均数小很多，可能是数据中有异常值，即数据中可能有极端大的值，所以、正确；

众数不止一个，中位数和众数是否相同，和平均数无关，所以正确．

故选：．

11．（5分）已知，且，则下列结论正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：由，得，

又，得；；，所以选项错误．

猜想，

证明：当时，，等式成立，假设当时，成立，

则当时，

有，

即当时等式也成立，所以选项正确．

由题意知，所以选项错误；

由，所以选项正确．

故选：．

12．（5分）已知正三棱锥中，为的中点，，，则　　

A． 

B． 

C．此正三棱锥的内切球半径为 

D．此正三棱锥的外接球表面积

【解答】解：设正三棱锥的底面中心为，连接，则平面

连接并延长，交于，则，，

又，，平面，可得，，

由三棱锥为正三棱锥，则，故正确；

设，在中，，解得．

，故正确；

正三棱锥的表面积为，

设三棱锥内切球的半径为，则，得，故正确；

对于，由分割补形法可得正三棱锥外接球的半径，

外接球的表面积为，故错误．

故选：．

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．（5分）若为偶函数，则　0　．

【解答】解：为偶函数，可得，，

所以．

故答案为：0．

14．（5分）已知，，且，则的最小值是 　8　．

【解答】解：（当且仅当，即，时，等号成立），

，，

故的最小值是8，

故答案为：8．

15．（5分）袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，第二次摸到红球的概率是　　．

【解答】解：袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，

从中不放回地依次随机摸出2个球，第二次摸到红球的概率是：

．

故答案为：．

16．（5分）已知为的重心，且，，则　4　，的最小值为 　　．

【解答】解：分别取和的中点，，连接，，

为的重心，

，

，

，

，

，

，即，

又，且，

，，即；

，

的最小值为．

故答案为：4；．

四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）已知函数．

（1）求的最小正周期以及单调增区间；

（2）在中，若，，求周长的取值范围．

【解答】解：（1）

，

，

令，，解得，，

的单调递增区间为．

（2），

，

为三角形的内角，

，

由余弦定理可得，，

，即，

又，

，

，当且仅当时，等号成立，

又，

，，

周长的取值范围为，．

18．（12分）夏天来了，又是一个冷藏饮料销售旺季．某生活小超市据以往统计某天的偏温差（超出常温度数）和某种饮料的销售量（瓶的情况及有关数据如表：

其中，，．

（1）请用相关系数加以说明是否可用线性回归模型拟合销售量与偏温差的关系；

（2）建立关于的回归方程（精确到，预测当偏温差升高时该种饮料的销售量会有什么变化？（销售量精确到整数）

参考数据：．

参考公式：相关系数：，

回归直线方程是．，．

【解答】解：（1）由题意可得，，

，，，，

故，

所以可以线性回归方程模型拟合与的关系；

（2）由题意，，

故，

则，

所以关于的线性回归方程为，

当△时，△，

预测当偏温差升高时该种饮料的销售量会增加10瓶．

19．（12分）如图，在三棱柱中，，，．

（1）证明：平面平面；

（2）求四棱锥的体积．

【解答】（1）证明：取的中点，连接，，

，，

，，

，，，

，即，

又，、平面，

平面，

平面，

平面平面，

平面平面，

平面平面．

（2）解：由（1）知，平面，

三棱柱的高为，

而，

，

，

四棱锥的体积．

20．（12分）在①，，成等比数列且，②，③，，，这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答本题．

问题：已知等差数列的公差为，前项和为，且满足 _______．

（1）求；

（2）若的前项和为，证明：．

【解答】解：（1）若选择条件①：

由，得，即①，

又，，成等比数列，得，即②，

由①②解得，．所以．

若选择条件②：由，得，两式相减并整理得：，

由于，所以，所以，即，令，得，解得，所以．

若选择条件③：

由等差数列的前项和为，得，又数列是等差数列，得数列也是等差数列，

所以，即，解得，故；，解得，所以．

（2）证明：由，可得，所以，

所以．

21．（12分）某企业参加项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元．根据现实的需要，从项目中调出人参与项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润万元，项目余下的工人每人每年创造利润提高．

（1）若要保证项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加项目从事售后服务工作？

（2）在（1）的条件下，当从项目调出的人数不能超过总人数的时，才能使得项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）设调出人参加项目从事售后服务工作，

由题意可得，，

即，又，

所以，

故最多调出500人参加项目从事售后服务工作；

（2）由题意可知，，

从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，

从事原来产业的员工的年总利润为万元，

则对恒成立，

即对恒成立，

又，

当且仅当时取等号，

所以，

又，

故实数的取值范围为．

22．（12分）已知动点与两个定点，的距离的比为，动点的轨迹为曲线．

（1）求的轨迹方程，并说明其形状；

（2）过直线上的动点分别作的两条切线，、为切点），，交于点．

（ⅰ）证明：直线过定点，并求该定点坐标；

（ⅱ）是否存在点，使的面积最大？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）设，由条件有，

化简整理得①．

故曲线是以为圆心，2为半径的圆．

（2）如图：直线为以为圆心，为半径的圆与圆的公共弦所在的直线．

，

所以圆的方程为②．

①②，整理得，

即直线的方程为，故恒过定点．

因为，所以点在以为直径的圆周上，

其坐标满足；

因为，

又，所以当时，的面积最大；

此时，由，，三点共线，得，

即，，

所以点坐标为．

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