2020-2021学年湖南省名校联考联合体高二（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年湖南省名校联考联合体高二（下）期末数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年湖南省名校联考联合体高二（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．（5分）集合，，则的子集个数为　　
A．3 B．2 C．4 D．8
2．（5分）在中，，点是边上的中点，，，则的值为　　
A． B． C．14 D．
3．（5分）一盒子中有5个球，其中红球3个，白球2个，现从中任取两个球，则恰好一个白球一个红球的概率是　　
A． B． C． D．
4．（5分）已知椭圆的离心率为，则　　
A． B． C． D．
5．（5分）偶函数的定义域为，当时，是增函数，则、（2）、（3）的大小关系是　　
A．（2）（3） B．（3）（2）
C．（2）（3） D．（3）（2）
6．（5分）《九章算术》叙述了一个老鼠打洞的趣事：今有垣厚十尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问：何日相逢？各穿几何？意思就是说，有一堵十尺厚的墙，两只老鼠从两边向中间打洞．大老鼠第一天打一尺，小老鼠也是一尺．大老鼠每天的打洞进度是前一天的2倍，小老鼠每天的进度是前一天的一半．第3天结束后，两只老鼠相距　　
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
7．（5分）的展开式中项的系数为　　
A． B． C．24 D．
8．（5分）动漫作品《火影忍者》描述配合忍术结印的手势有12种：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．例如从忍者学校毕业考核的分身术的一个要求是需要按正确的顺序在5秒内完成未巳寅结印手势．漫画描述的忍术都需要配合至少3个结印手势且相邻的手势不相同，不同的手势对应不同的忍术．设某忍术需要个手势，则　　

A．当时，共有种不同的忍术
B．当时，共有种忍术
C．当时，共有1452种不同忍术
D．当时的忍术种类是的忍术种类的12倍
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（5分）随着经济的不断发展，全国居民人均消费支出也逐步增加，已知2015年全国居民人均消费支出为22000元，通过查阅国家统计局数据发现2020年全国居民人均消费支出约为2015年的1.5倍，如图分别为2015年和2020年全国居民的人均消费支出及其构成，则下列说法正确的是　　

A．2020年的全国人均教育文化娱乐支出金额比2015年的全国人均教育文化娱乐支出金额多
B．2015年和2020年全国人均衣食行支出金额无明显变化
C．2020年全国人均居住和医疗卫生支出金额总和比2015年除衣食行外的全国人均支出金额总和多
D．随着人均消费支出的增加，人们在居住方面投入越来越多
10．（5分）已知，为正数，且，那么下列结论中正确的有　　
A．的最小值是2 B．
C． D．
11．（5分）已知在正方体中，点，分别为棱，上的中点，过，的平面与底面所成的锐二面角为，则正方体被平面所截的截面形状可能为　　

A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
12．（5分）著名的欧拉公式为：，其中，为自然对数的底数，它使用了几个基本的数学常数描述了实数集和复数集的联系．其广义一般式是，该复数在复平面内对应的向量坐标为，则下列说法正确的是　　
A．
B．若复数满足，则
C．若复数与复数在复平面内表示的向量相互垂直，则
D．复数与复数在复平面内表示的向量相互垂直
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知，，则　　．
14．（5分）已知函数在，上的最大值为1，则函数在，处的切线方程为 　　．
15．（5分）某函数图象关于轴对称，且在递减，在递增，则此函数可以是 　　（写出一个满足条件的函数解析式即可）
16．（5分）已知圆与抛物线相交于，两点，为抛物线的焦点，若直线与抛物线相交于，两点，且与圆相切，切点在劣弧上，当直线的斜率为0时，　　；当直线的斜率不确定时，的取值范围是 　　．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知的内角、、的对边分别为，，，且，．
（1）求角的大小；
（2）求面积的最大值．
18．（12分）已知数列满足，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和为，，且满足，记，求数列的前项和．
19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，点、分别是，上的动点，且．
（1）求证：平面；
（2）若，且与底面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．

20．（12分）杂交水稻的育种理论由袁隆平院士在1966年率先提出，1972年全国各地农业专家齐聚海南攻关杂交水稻育种，从此杂交水稻育种在袁隆平院士的理论基础上快速发展．截至2021年5月22日，中国国家水稻数据中心收录杂交水稻品种超1000种．如图为部分水稻稻种的生育期天数的频率分布直方图．

（1）根据频率分布直方图，估算水稻稻种生育期天数的平均值和中位数；（保留三位有效数字）
（2）以频率视作概率，对中国国家水稻中心收录的所有稻种进行检验，规定：①检验次数不超过5次；②若检验出3个生育期超过第（1）问所求中位数的稻种则检验结束．设检验结束时，检验的次数为，求随机变量的分布列和期望．
21．（12分）设点为双曲线上任意一点，双曲线的离心率为，右焦点与椭圆的右焦点重合．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点作双曲线两条渐近线的平行线，分别与两渐近线交于点，，求证：平行四边形的面积为定值，并求出此定值．
22．（12分）设函数．
（1）若函数有两个不同的极值点，求实数的取值范围；
（2）若，，，当时，不等式恒成立，试求的最大值．

2020-2021学年湖南省名校联考联合体高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．（5分）集合，，则的子集个数为　　
A．3 B．2 C．4 D．8
【解答】解：，，1，2，3，，
，1，，
的子集个数为：．
故选：．
2．（5分）在中，，点是边上的中点，，，则的值为　　
A． B． C．14 D．
【解答】解：以为原点，建立如图所示的直角坐标系，
则，，，
所以，，
所以．
故选：．

3．（5分）一盒子中有5个球，其中红球3个，白球2个，现从中任取两个球，则恰好一个白球一个红球的概率是　　
A． B． C． D．
【解答】解：恰好一个白球一个红球的概率是．
故选：．
4．（5分）已知椭圆的离心率为，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可得，即，
，
，即，
，
．
故选：．
5．（5分）偶函数的定义域为，当时，是增函数，则、（2）、（3）的大小关系是　　
A．（2）（3） B．（3）（2）
C．（2）（3） D．（3）（2）
【解答】解：是定义域为的偶函数，当时，是增函数，
当时，是减函数，
，
（3）（2），
即（3）（2）．
故选：．
6．（5分）《九章算术》叙述了一个老鼠打洞的趣事：今有垣厚十尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问：何日相逢？各穿几何？意思就是说，有一堵十尺厚的墙，两只老鼠从两边向中间打洞．大老鼠第一天打一尺，小老鼠也是一尺．大老鼠每天的打洞进度是前一天的2倍，小老鼠每天的进度是前一天的一半．第3天结束后，两只老鼠相距　　
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
【解答】解：根据题意，设大老鼠每天挖墙的尺寸为数列，小老鼠每天挖墙的尺寸为数列，
两个数列都是等比数列：其首项都为1，公比分别为2，，
第3天结束后，两只老鼠共打洞的尺寸为，
则第3天结束后，两只老鼠相距尺，
故选：．
7．（5分）的展开式中项的系数为　　
A． B． C．24 D．
【解答】解：的展开式中的通项公式为，
的展开式中项的系数为，
故选：．
8．（5分）动漫作品《火影忍者》描述配合忍术结印的手势有12种：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．例如从忍者学校毕业考核的分身术的一个要求是需要按正确的顺序在5秒内完成未巳寅结印手势．漫画描述的忍术都需要配合至少3个结印手势且相邻的手势不相同，不同的手势对应不同的忍术．设某忍术需要个手势，则　　

A．当时，共有种不同的忍术
B．当时，共有种忍术
C．当时，共有1452种不同忍术
D．当时的忍术种类是的忍术种类的12倍
【解答】解：根据题意，忍术都需要配合至少3个结印手势且相邻的手势不相同，不同的手势对应不同的忍术，
若某忍术需要个手势，则有种不同情况，即有种不同忍术；
据此依次分析选项：
对于，当时，共有种不同的忍术，错误；
对于，当时，共有种不同的忍术，错误；
对于，当时，共有种不同的忍术，正确；
对于，当时，有种不同的忍术，当时，有种不同的忍术，
则当时的忍术种类是的忍术种类的11倍，错误；
故选：．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（5分）随着经济的不断发展，全国居民人均消费支出也逐步增加，已知2015年全国居民人均消费支出为22000元，通过查阅国家统计局数据发现2020年全国居民人均消费支出约为2015年的1.5倍，如图分别为2015年和2020年全国居民的人均消费支出及其构成，则下列说法正确的是　　

A．2020年的全国人均教育文化娱乐支出金额比2015年的全国人均教育文化娱乐支出金额多
B．2015年和2020年全国人均衣食行支出金额无明显变化
C．2020年全国人均居住和医疗卫生支出金额总和比2015年除衣食行外的全国人均支出金额总和多
D．随着人均消费支出的增加，人们在居住方面投入越来越多
【解答】解：由题意知，2020年全国居民人均消费支出为元，
选项，2020年的全国人均教育文化娱乐支出金额为元，
2015年的全国人均教育文化娱乐支出金额为元，由于，即选项正确；
选项，2015年和2020年全国人均衣食行支出金额分别为元，元，由于，即选项错误；
选项，2020年全国人均居住和医疗卫生支出金额总和为元，
2015年除衣食行外的全国人均支出金额总和为元，由于，即选项正确；
选项，2015年在居住方面的投入为元，2020年在居住方面的投入为元，
由于，即选项正确．
故选：．
10．（5分）已知，为正数，且，那么下列结论中正确的有　　
A．的最小值是2 B．
C． D．
【解答】解：因为，为正数，且，
则，当且仅当时取等号，
则，当且仅当时取等号，
因为，所以等号取不到，
故选项错误；
因为且，所以，
当且仅当时取等号，
故选项正确；
由，当且仅当时取等号，
故选项正确；
因为，且，都为正数，
所以，
则，即，
故选项正确．
故选：．
11．（5分）已知在正方体中，点，分别为棱，上的中点，过，的平面与底面所成的锐二面角为，则正方体被平面所截的截面形状可能为　　

A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【解答】解：如图所示：
设正方体的棱长为，在上取一点使得平面与平面所成的锐二面角为，
因为，分别为棱，的中点，
所以，
连接交于点，连接，
所以，且为的中点，
，
所以，
所以为平面与平面所成的锐二面角为，
所以，
所以，
所以此时平面为平面，
所以平面为三角形，故正确；
在和上分别取点和点，使得，
取，的中点，，
则平面，
又因为平面，
所以又，
所以平面，
又因为平面，
所以为平面与平面所成的锐二面角为，
所以，
所以，
延长交于，延长交于，连接交于，交于，
连接，，则平面为平面，
所以平面为六边形，故正确．
故选：．

12．（5分）著名的欧拉公式为：，其中，为自然对数的底数，它使用了几个基本的数学常数描述了实数集和复数集的联系．其广义一般式是，该复数在复平面内对应的向量坐标为，则下列说法正确的是　　
A．
B．若复数满足，则
C．若复数与复数在复平面内表示的向量相互垂直，则
D．复数与复数在复平面内表示的向量相互垂直
【解答】解：对于，，故正确；
对于，，，故正确；
对于，若复数与复数在复平面内表示的向量相互垂直，对应的向量坐标为，
对应的向量坐标为，可得，则，，故错误；
对于，复数与复数在复平面内表示的向量分别为，，则，可得两向量相互垂直，故正确．
故选：．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知，，则　　．
【解答】解：因为，，
所以，，
则．
故答案为：．
14．（5分）已知函数在，上的最大值为1，则函数在，处的切线方程为 　　．
【解答】解：函数的导数为，
因为，，所以，在，为增函数，
可得的最大值为，
所以在处的切线的斜率为1，
则切线的方程为．
故答案为：．
15．（5分）某函数图象关于轴对称，且在递减，在递增，则此函数可以是 　（答案不唯一）　（写出一个满足条件的函数解析式即可）
【解答】解：构造二次函数，图象开口向上，且对称轴是．
则函数在递减，在递增，
且与轴的交点坐标是，．
令，
，
是偶函数，图象关于轴对称．
且其图象如下图：

显然函数图象关于轴对称，且在递减，在递增．
故答案为：（答案不唯一）．
16．（5分）已知圆与抛物线相交于，两点，为抛物线的焦点，若直线与抛物线相交于，两点，且与圆相切，切点在劣弧上，当直线的斜率为0时，　　；当直线的斜率不确定时，的取值范围是 　　．
【解答】解：当直线的斜率为0时，
设，，，，
直线与抛物线相交于，两点，且与圆相切，
又圆的半径为，
，
抛物线，
，
，
设直线的方程为，
联立直线与抛物线方程，可得，
由韦达定理，可得，，
直线与抛物线相交于，两点，且与圆相切，
，即，
又由抛物线的定义，，，
，
不妨设点在点的左边，联立圆与抛物线方程，解得，，
，
分别过点，的圆的切线斜率为，
，
，
，
，
，
，
的取值范围是．
故答案为：，．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知的内角、、的对边分别为，，，且，．
（1）求角的大小；
（2）求面积的最大值．
【解答】解：（1）的内角、、的对边分别为，，，且，
利用正弦定理整理得：，
由于，
所以，
所以，
由于，
故．
（2）由于（当且仅当时，等号成立），
所以，
则．
18．（12分）已知数列满足，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和为，，且满足，记，求数列的前项和．
【解答】解：（1）数列满足，
即为，
所以是等差数列，且公差为，首项为1，
则；
（2）当时，，可得；
当时，，又，
两式相减可得，
即，
当时，上式也成立．
所以，
，
所以．
19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，点、分别是，上的动点，且．
（1）求证：平面；
（2）若，且与底面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．

【解答】（1）证明：四棱锥中，底面是正方形，所以；
又因为侧棱底面，平面，所以，
又因为，且平面，平面，
所以平面；
又因为，所以，
所以，所以平面；
（2）解：正方形中，，侧棱底面，
所以是直线与底面所成的角；
所以；
建立空间直角坐标系，如图所示：

设，，，
依题意知，，0，，，0，，，1，，，1，，，0，，
由知，，，，
因为，，且，
所以平面，平面的法向量是，1，；
由，，，，1，，
设平面的法向量为，，，
则，
令，得，，0，，
所以，，
由二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．
20．（12分）杂交水稻的育种理论由袁隆平院士在1966年率先提出，1972年全国各地农业专家齐聚海南攻关杂交水稻育种，从此杂交水稻育种在袁隆平院士的理论基础上快速发展．截至2021年5月22日，中国国家水稻数据中心收录杂交水稻品种超1000种．如图为部分水稻稻种的生育期天数的频率分布直方图．

（1）根据频率分布直方图，估算水稻稻种生育期天数的平均值和中位数；（保留三位有效数字）
（2）以频率视作概率，对中国国家水稻中心收录的所有稻种进行检验，规定：①检验次数不超过5次；②若检验出3个生育期超过第（1）问所求中位数的稻种则检验结束．设检验结束时，检验的次数为，求随机变量的分布列和期望．
【解答】解：（1）由题意可知，水稻稻种生育期天数的平均值为：
；
设中位数为，则，
解得，
所以中位数为145；
（2）设从国家水稻中心收录的所有稻种中抽取1个品种，该品种生育期超过中位数为事件，
则（A），
由题意可知，的可能取值为3，4，5，
所以，
，
，
所以的分布列为：

3
4
5




则．
21．（12分）设点为双曲线上任意一点，双曲线的离心率为，右焦点与椭圆的右焦点重合．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点作双曲线两条渐近线的平行线，分别与两渐近线交于点，，求证：平行四边形的面积为定值，并求出此定值．
【解答】解：（1）由双曲线的离心率为，右焦点与椭圆的右焦点重合，
得，解得，，，
所以双曲线的方程为．
（2）设点坐标为，，
过点与渐近线平行的直线分别为，，方程分别为，，
联立，解得，
同理联立，解得，
又渐近线方程为，
则，
所以，
又点在双曲线上，则，
所以，
所以平行四边形的面积为定值，且定值为．
22．（12分）设函数．
（1）若函数有两个不同的极值点，求实数的取值范围；
（2）若，，，当时，不等式恒成立，试求的最大值．
【解答】解：（1）由题意可知，的定义域为，
，令，解得，
令，
则由题意可知，与函数的图象有两个不同的交点，
．令，可得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数取得最大值（e），
又当时，，
当时，，
所以，则，
故实数的取值范围为；
（2）当时，，
由对恒成立，
等价于当恒成立，
即对恒成立，
令，则，
令，
则，
所以在上单调递增，
又（8），
，
所以在上有唯一的零点，即，
当时，，即，则单调递减，
当时，，即，则单调递增，
所以，
所以，又，
所以，
又，
所以的最大值为2．
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