2020-2021学年山东省青岛市胶州市、黄岛区、平度区、城阳区高二（下）期末数学试卷

2020-2021学年山东省青岛市胶州市、黄岛区、平度区、城阳区高二（下）期末数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合，，满足：，，则下列结论一定正确的是　　

A． B． C． D．

2．（5分）“”是“函数在上单调递增”的　　

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 

C．充要条件 D．既非充分也非必要条件

3．（5分）设为等差数列的前项和，若，且，则　　

A．42 B．56 C．64 D．82

4．（5分）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为　　

A． B． 

C． D．

5．（5分）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为．已知太阳的星等是，天狼星的星等是，则太阳与天狼星的亮度的比值为　　

A． B．10.1 C． D．

6．（5分）函数图象的对称中心为　　

A． B． C． D．

7．（5分）已知，，，则　　

A． B． C． D．

8．（5分）已知函数为偶函数，当时，，则曲线上的点到直线的最小距离为　　

A．1 B． C． D．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．（5分）已知随机变量，，，则　　

附：随机变量服从正态分布，则，

A． B． 

C． D．

10．（5分）设全集，集合，集合，，则　　

A． B．， 

C．， D．

11．（5分）已知数列中，，，，则下列说法正确的是　　

A． B．是等差数列 

C． D．

12．（5分）已知函数，则下列结论正确的是　　

A．在上单调递增 B．在上单调递减 

C．， D．，

三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）展开式中的系数为 　　．

14．（5分）已知函数，若在上是减函数，则实数的最大值为 　　．

15．（5分）给出一个满足以下条件的函数　　．

①的定义域是，且其图象是一条连续不断的曲线；

②是偶函数；

③在不是单调函数；

④有无数个零点．

16．（5分）为平面直角坐标系的坐标原点，点．在轴正半轴上依次取中点，中点，中点，，中点，．记，．则：

（1）数列的通项公式　　；

（2）记，数列的最大值为 　　．

四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（10分）在“①，，；②，；③”三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答．

已知等差数列的前项和为，且_____，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

18．（12分）阿根廷球员马拉多纳曾经是上个世纪最伟大的足球运动员之一，其精湛的足球技术在几十年当中始终无人超越．科学家通过电脑计算发现：马拉多纳在高速运动、高强度对抗、视角受限的情况下，传球和助攻有高达与电脑计算的最佳路线一样！为纪念“球王”马拉多纳，某地区举行了系列足球运动推广活动．

（1）受推广活动的影响，该地区球迷观看足球联赛的热情持续高涨，据统计相关轮次观看联赛的球迷人数（单位：人）如表：

现建立该地区观看球赛的人数与轮次的线性回归模型：．根据该模型预测从第几轮次开始该地区观看球赛的人数超过10000人？

（2）为了参加该地区举行的“花式足球大赛”，某球队需要从甲、乙所在的6名运动员中选三名队员参赛．求在甲被选中的条件下，乙也被选中的概率．

附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式和参数数据：；；．

19．（12分）已知各项均为正数的数列满足，，，．

（1）证明：数列为等比数列；

（2）记，证明数列为等差数列，并求数列的前项和．

20．（12分）已知函数，．

（1）若，求函数在，上的最大值和最小值；

（2）求函数的极值点．

21．（12分）为治疗病毒引起的疾病，某医药公司研发了一种新药，为了解的药效，进行“双盲”对比试验，统计得到如下数据列联表：

（1）依据的独立性检验，能否认为使用药与治愈病毒引起的疾病有关联？

（2）假设该药的治愈率为，该公司生产了一批该药共100份赠予某医院，该医院对于赠药有这样的接受规定：随机选择4份该药给4名患者试用，如果治愈患者数量少于3名，则拒绝接受整批药物．求该批药物被拒绝的概率；

（3）已知该地区某医院收治的名病毒感染者使用该药治疗，需要通过被治疗者血液样本检测后确定是否治愈，若样本为阴性说明已经治愈，若样本为阳性说明未治愈．如果将样本混合后检测为阴性则说明每份均为阴性，如果将样本混合后检测为阳性则说明其中至少一份样本为阳性，样本之间是否呈阳性相互独立．假设该药治愈的概率．现将份样本均分成两组进行检测，若任何一组为阳性则对该组每份逐一检测．当时，预测检测次数是否小于15次？

附：参考公式及数据：

①，．

②．

22．（12分）已知函数．

（1）当时，证明：；

（2）若有且仅有两个零点，，求实数的取值范围，并证明．

2020-2021学年山东省青岛市胶州市、黄岛区、平度区、城阳区高二（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合，，满足：，，则下列结论一定正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：因为，，所以，，

则，所以，故选项正确；

因为，所以，故选项错误；

因为，，所以，故选项错误；

因为，，所以，故选项错误．

故选：．

2．（5分）“”是“函数在上单调递增”的　　

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 

C．充要条件 D．既非充分也非必要条件

【解答】解：因为函数在上单调递增，

结合指数函数和对数函数的单调性可得，

又因为，，，

所以“”是“函数在上单调递增”的充分非必要条件，

故选：．

3．（5分）设为等差数列的前项和，若，且，则　　

A．42 B．56 C．64 D．82

【解答】解：设等差数列的公差为，

由，得，

又，所以，解得，

故．

故选：．

4．（5分）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：由图象知函数的定义域为，排除，

函数关于原点对称是奇函数，排除，，

故选：．

5．（5分）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为．已知太阳的星等是，天狼星的星等是，则太阳与天狼星的亮度的比值为　　

A． B．10.1 C． D．

【解答】解：设太阳的星等是，天狼星的星等是，

由题意可得：，

，则．

故选：．

6．（5分）函数图象的对称中心为　　

A． B． C． D．

【解答】解：因为，

令，

因为，

所以为奇函数，

则，

故，

所以，

则函数图象的对称中心为．

故选：．

7．（5分）已知，，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，

．

故选：．

8．（5分）已知函数为偶函数，当时，，则曲线上的点到直线的最小距离为　　

A．1 B． C． D．

【解答】解：由为偶函数，可得，

当时，，

则时，．

若，则，，

由，解得，与直线平行的直线切于，，

点，到直线的距离；

若，则，，

由，解得，与直线平行且与曲线于，

点到直线的距离．

，

曲线上的点到直线的最小距离为．

故选：．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．（5分）已知随机变量，，，则　　

附：随机变量服从正态分布，则，

A． B． 

C． D．

【解答】解：随机变量，，

，故选项错误，

，故选项正确，

随机变量，

，，故选项正确，选项错误．

故选：．

10．（5分）设全集，集合，集合，，则　　

A． B．， 

C．， D．

【解答】解：因为，，，

所以，故选项正确；

，故选项错误；

或，则，故选项正确；

或，故选项错误．

故选：．

11．（5分）已知数列中，，，，则下列说法正确的是　　

A． B．是等差数列 

C． D．

【解答】解：由，，

得，，，，，所以选项正确；

又，得，两式相减得，

所以是等差数列，故选项正确；

．

显然当时，，故选项正确；选项错误．

故选：．

12．（5分）已知函数，则下列结论正确的是　　

A．在上单调递增 B．在上单调递减 

C．， D．，

【解答】解：，

，

当时，，，

，

在上单调递增，故正确，错误；

当，时，，①

又当时，恒成立，②

由①②得，，故正确，

又当时，，故正确．

故选：．

三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）展开式中的系数为 　　．

【解答】解：展开式的通项公式为，

令，求得，可得展开式中的系数为，

故答案为：．

14．（5分）已知函数，若在上是减函数，则实数的最大值为 　3　．

【解答】解：在上是减函数，

在上恒成立，

即，，

令，则在区间，上单调递减，而，，

在上单调递减，

又，

，

即实数的最大值为3，

故答案为：3．

15．（5分）给出一个满足以下条件的函数　　．

①的定义域是，且其图象是一条连续不断的曲线；

②是偶函数；

③在不是单调函数；

④有无数个零点．

【解答】解：对于函数，

定义域为，则其图象是一条连续不断的曲线，符合条件①；

，则为偶函数，符合条件②；

令，得，，

所以在上不是单调函数，有无数个零点，符合条件③④；

故答案为：（答案不唯一）．

16．（5分）为平面直角坐标系的坐标原点，点．在轴正半轴上依次取中点，中点，中点，，中点，．记，．则：

（1）数列的通项公式　　；

（2）记，数列的最大值为 　　．

【解答】解：（1）根据题意，有，即数列是首项为1，公比为的等比数列，

则；

（2）根据题意，，

则，

若，即，解可得，

有由，则有，

即当，，数列递增，即，

当时，，数列递减，则有，

故数列的最大值为；

故答案为：（1）；（2）．

四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（10分）在“①，，；②，；③”三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答．

已知等差数列的前项和为，且_____，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

【解答】解：（1）若选择①，

由与，

解得，或，（由于，舍去），

设公差为，则，，解得，，

所以数列的通项公式为；

若选择②，

设公差为，由，得；，

则，，解得，，

所以数列的通项公式为；

若选择③，，

因为，

解得，

所以数列的通项公式为；

（2）由（1）得，

所以．

18．（12分）阿根廷球员马拉多纳曾经是上个世纪最伟大的足球运动员之一，其精湛的足球技术在几十年当中始终无人超越．科学家通过电脑计算发现：马拉多纳在高速运动、高强度对抗、视角受限的情况下，传球和助攻有高达与电脑计算的最佳路线一样！为纪念“球王”马拉多纳，某地区举行了系列足球运动推广活动．

（1）受推广活动的影响，该地区球迷观看足球联赛的热情持续高涨，据统计相关轮次观看联赛的球迷人数（单位：人）如表：

现建立该地区观看球赛的人数与轮次的线性回归模型：．根据该模型预测从第几轮次开始该地区观看球赛的人数超过10000人？

（2）为了参加该地区举行的“花式足球大赛”，某球队需要从甲、乙所在的6名运动员中选三名队员参赛．求在甲被选中的条件下，乙也被选中的概率．

附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式和参数数据：；；．

【解答】解：（1）由已知可得：，，，

所以，

所以，

所以，

当时，，

所以估计第11轮联赛观看比赛的人数超过10000人．

（2）设甲被选中为事件，乙被选中为事件，

由题意可知：，，

故，

所以在甲被选中的条件下，乙也被选中的概率为．

19．（12分）已知各项均为正数的数列满足，，，．

（1）证明：数列为等比数列；

（2）记，证明数列为等差数列，并求数列的前项和．

【解答】解：（1）证明：因为，

所以，

又因为，

所以，数列是以2为首项，以2为公比的等比数列；

（2）证明：由（1）可得，

则，

所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列；

所以，，

因为，

所以，

所以，

，

两式作差得，

所以．

20．（12分）已知函数，．

（1）若，求函数在，上的最大值和最小值；

（2）求函数的极值点．

【解答】解：（1）当时，，

则，

当时，解得或，

当变化时，，的变化情况如下表所示：

所以函数在，上的最大值为，最小值为；

（2）当时，，存在唯一极大值点，

当时，，

由，解得或，

当时，，则在上单调递增，

当时，，则在上单调递减，

当时，，则在上单调递增，

所以的极大值点是，极小值点是，

综上所述，当时，存在唯一极大值点为；

当时，的极大值点为，极小值点为．

21．（12分）为治疗病毒引起的疾病，某医药公司研发了一种新药，为了解的药效，进行“双盲”对比试验，统计得到如下数据列联表：

（1）依据的独立性检验，能否认为使用药与治愈病毒引起的疾病有关联？

（2）假设该药的治愈率为，该公司生产了一批该药共100份赠予某医院，该医院对于赠药有这样的接受规定：随机选择4份该药给4名患者试用，如果治愈患者数量少于3名，则拒绝接受整批药物．求该批药物被拒绝的概率；

（3）已知该地区某医院收治的名病毒感染者使用该药治疗，需要通过被治疗者血液样本检测后确定是否治愈，若样本为阴性说明已经治愈，若样本为阳性说明未治愈．如果将样本混合后检测为阴性则说明每份均为阴性，如果将样本混合后检测为阳性则说明其中至少一份样本为阳性，样本之间是否呈阳性相互独立．假设该药治愈的概率．现将份样本均分成两组进行检测，若任何一组为阳性则对该组每份逐一检测．当时，预测检测次数是否小于15次？

附：参考公式及数据：

①，．

②．

【解答】解：（1）由题知：，

依据的独立性检验，可以认为使用药与治愈病毒引起的疾病有关联．

（2）由题知，4名患者中治愈的人数，

所以该批药物被拒绝的概率

．

（3）设检测的次数为，由题知的可能取值为2，，，

，

，

，

，

，，

，

可以预测检测次数小于15次．

22．（12分）已知函数．

（1）当时，证明：；

（2）若有且仅有两个零点，，求实数的取值范围，并证明．

【解答】解：（1）当时，，

则，

因为在上单调递增，且，

则当时，，故在区间上单调递减，

当时，，故在区间上单调递增，

所以，即；

（2）由题意可知，，

令，

则，

所以在上单调递增，

①当时，由（1）可知，只有一个零点，不合题意；

②当时，因为在上单调递增，

且，，

故存在，使得，

即，，

则当时，，故在区间上单调递减，

当，时，，故在区间，上单调递增，

所以，

则，

所以没有零点，不合题意；

③当时，因为在区间上单调递增，

且，，

所以存在满足，

则当时，，故在区间上单调递减，

当时，，故在区间上单调递增，

所以，

又，

因为，

所以，

又因为，

所以时，有且仅有两个零点，，

设，且，

则，，

所以．

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