2020-2021学年甘肃省兰州五十四中八年级（下）期末数学试卷（含答案解析）

2020-2021学年甘肃省兰州五十四中八年级（下）期末数学试卷

1. 下列所述图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是

A. 圆 B. 菱形 C. 平行四边形 D. 等腰三角形

2. 若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则k的值为

A.  B.  C.  D.

3. 若n边形的内角和等于外角和的3倍，则边数n为

A.  B.  C.  D.

4. 当分式的值为零，则x的值是

A.  B.  C. 5 D. 5或

5. 关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是

A.  B.  C.  D.

6. 的三边长分别a，b，c，且，则是

A. 等边三角形 B. 等腰三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形

7. 如图，▱ABCD中，点O为对角线AC、BD的交点，点E为CD边的中点，连接OE，如果，，则▱ABCD的周长为

A. 7 B. 10 C. 14 D. 20

8. 如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为
   ①；②；③；④

A. ①③ B. ②③ C. ③④ D. ①②③

9. 关于x的不等式组：，有5个整数解，则a的取值范围是

A.  B.  C.  D.

10. 如图，矩形纸片ABCD中，，，将沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于
    
     

A.  B.  C.  D.

11. 如图，平行四边形ABCD中，，，，则该平行四边形的面积是
    
     

A.  B. 16 C.  D. 8

12. 已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则的最小值是
     

A. 5 B.  C.  D. 不能确定

13. 若成立，则x的取值范围是______.
14. 因式分解：______.
15. 如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分面积为______

16. 如图，在中，，，，点E是BC边上一点，交AB于点D，于点F，则线段EF的最小值为______.

17. 解下列不等式组
    
     
18. 先化简，再求值：，其中
19. 解下列分式方程：
    ；
     
20. 已知关于x的分式方程
    若方程的增根为，求m的值
    若方程有增根，求m的值
    若方程无解，求m的值．
21. 如图，已知：在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，的顶点都在格点上，点A的坐标为请按要求分别完成下列各小题．
    画出关于O点对称的；点的坐标是______；
    以点O为旋转中心，将顺时针旋转，得到，在坐标系中画出

22. 某商店准备购进甲、乙两种商品进行销售，若甲种商品的进价比乙种商品的进价每件少6元，且用900元购进甲种商品的数量与用1000元购进乙种商品的数量相同．
    ①求甲、乙两种商品的进价每件分别是多少元？
    ②若该商店购进甲种商品的数量是乙种商品的2倍少5件，两种商品的总件不超过85件，该商店甲种商品的销售价格定为每件60元，乙种商品的销售价格定为每件70元，当购进的甲、乙两种商品全部售出后，请通过计算求出该商品获得最大利润利润=售价-进价
23. 如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，且，顺次连接B、E、D、求证：四边形BEDF是平行四边形.
     

24. 在▱ABCD中，过点D作于点E，点F 在边CD上，，连接AF，
    求证：四边形BFDE是矩形；
    若，，，求证：AF平分

25. 如图，在中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．
    求证：四边形ADEF是平行四边形；
    求证：

26. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且，
    求证：四边形ABCD是正方形；
    若H是边AB上一点点H与点A，B不重合，连接DH，将线段DH绕点H顺时针旋转，得到线段HE，过点E分别作BC及AB延长线的垂线，垂足分别为点F，求证：四边形BGEF是正方形．
27. 如图，在四边形ABCD中，，，，，，点P从点A出发以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，当点Q到达点B时，点P也停止运动，设点P，Q运动的时间为
    从运动开始，当t取何值时，？
    在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由；
    从运动开始，当t取何值时，四边形PQBA是矩形？
    在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQBA是正方形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】D

【解析】

【试题解析】

【分析】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】
解： A 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；
B 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；
C 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确．
故选
 

2.【答案】C

【解析】解：由题意得：
，
，
，
故选：
利用完全平方公式可分解为，然后去括号进行计算即可解答．
本题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
 

3.【答案】C

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故选：
根据n边形的内角和等于外角和的3倍，可得方程，再解方程即可．
此题主要考查了多边形内角和与外角和，要结合多边形的内角和公式与外角和的关系来寻求等量关系，构建方程即可求解．
 

4.【答案】B

【解析】解：根据题意得且，
，
故选：
根据分式的值为零的条件：分子等于0且分母不等于0即可得出答案．
本题考查了分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件：分子等于0且分母不等于0是解题的关键．
 

5.【答案】B

【解析】解：解方程得：，
关于x的方程的解为正数，
，
解得：，
故选：
先求出方程的解，再根据题意得出不等式，求出不等式的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式和解一元一次方程、一元一次方程的解，能得出关于m的不等式是解此题的关键．
 

6.【答案】B

【解析】解：整理得，
，
，舍去，
是等腰三角形．
故选：
对已知条件进行化简后得到，根据等腰三角形的概念，判定是等腰三角形．
本题考查了等腰三角形的判定；由得到是本题的关键．
 

7.【答案】D

【解析】解：四边形ABCD是平行四边形，
，，
又点E是CD边中点
，即，
▱ABCD的周长为
故选：
平行四边形中对角线互相平分，则点O是BD的中点，而E是CD边中点，根据三角形两边中点的连线平行于第三边且等于第三边的一半可得，进一步即可求得▱ABCD的周长．
此题主要考查了平行四边形的性质及三角形中位线定理，三角形中位线性质应用比较广泛，尤其是在三角形、四边形方面起着非常重要作用．
 

8.【答案】A

【解析】解：①▱ABCD中，，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判定▱ABCD是菱形；故①正确；
②▱ABCD中，，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可判定▱ABCD是矩形，而不能判定▱ABCD是菱形；故②错误；
③▱ABCD中，，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定▱ABCD是菱形；故③正确；
D、▱ABCD中，，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定▱ABCD是矩形，而不能判定▱ABCD是菱形；故④错误．
故选：
菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．据此判断即可．
此题考查了菱形的判定与矩形的判定定理．此题难度不大，注意掌握菱形的判定定理是解此题的关键．
 

9.【答案】C

【解析】解：，
由不等式①，得，
由不等式②，得，
不等式组有5个整数解，
，1，2，3，4，
，
，
故选：
先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后根据整数解的个数确定a的取值范围即可．
本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到无解
 

10.【答案】B

【解析】

【分析】
本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了矩形的性质和三角形全等的判定与性质以及勾股定理．
根据折叠的性质得到 ， ，易证 ，即可得到结论 ；易得 ，设 ，则 ， ，在 中利用勾股定理得到关于 x 的方程 ，解方程求出
【解答】
解： 矩形 ABCD 沿对角线 AC 对折，使 落在 的位置，

， ，
又 四边形 ABCD 为矩形，
，
，
而 ，
在 与 中，
，
≌ ，
；
四边形 ABCD 为矩形，
， ，
，
，
设 ，则 ， ，
在 中， ，即 ，解得 ，
则
故选：   

11.【答案】C

【解析】解：四边形ABCD是平行四边形，
，
，
平行四边形ABCD是菱形，
，，
，，
平行四边形的面积，
故选：
根据平行四边形的性质得出，进而得出，利用面积公式解答即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质得出解答．
 

12.【答案】A

【解析】

【分析】
作 M 关于 BD 的对称点 Q ，连接 NQ ，交 BD 于 P ，连接 MP ，此时 的值最小，连接 AC ，求出 CP 、 BP ，根据勾股定理求出 BC 长，证出 ，即可得出答案．
本题考查了轴对称 - 最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出 P 的位置．
【解答】
解： 作 M 关于 BD 的对称点 Q ，连接 NQ ，交 BD 于 P ，连接 MP ，此时 的值最小，连接 AC ，
四边形 ABCD 是菱形，
， ，即 Q 在 AB 上，
，
，
为 BC 中点，
为 AB 中点，
为 CD 中点，四边形 ABCD 是菱形，
， ， P 是 AC 的中点，
四边形 BQNC 是平行四边形，
，
四边形 ABCD 是菱形，
， ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
，
故选   

13.【答案】且

【解析】解：由题意，得
且，
解得且，
故答案为：且
根据分母不能为零，被开方数是非负数，可得答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，利用分母不能为零，被开方数是非负数得出不等式是解题关键．
 

14.【答案】

【解析】解：原式
故答案为：
原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

15.【答案】48

【解析】解：由平移的性质知，，，
，

故答案为
根据平移的性质得出，，则，则阴影部分面积，根据梯形的面积公式即可求解．
本题主要考查了平移的性质及梯形的面积公式，得出阴影部分和梯形ABEO的面积相等是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：连接CD，

，

且，
四边形DECF是矩形

当CD值最小时，EF的值最小
根据垂线段最短则当时，CD的值最小
此时，

的最小值为
故答案为
根据题意可证是直角三角形，且，，可得DFCE是矩形，则，根据垂线段最短，可求CD的最小值，即EF的最小值．
本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理的逆定理，垂线段最短，本题的关键是证
 

17.【答案】解：去分母得，，
去括号得，，
移项合并同类项得，，
系数化为1得，；

，
解①得，，
解②得，，
解集为

【解析】先去分母，再去括号、移项，合并同类项，系数化为1即可；
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集．
本题考查的是解一元一次不等式及解一元一次不等式组，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．
 

18.【答案】解：原式

，
当时，
原式

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由负整数指数幂与零指数幂得出a的值，继而代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及负整数指数幂、零指数幂．
 

19.【答案】解：方程两边都乘得，
，
解得，
检验：当时，，
是增根，原方程无解；
方程两边都乘得，
，
解得，
检验：当时，，
是原方程的解．

【解析】方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可；
方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
 

20.【答案】解：方程两边同时乘以，
去分母并整理得：，
移项合并得：，
是分式方程的增根，
，
解得：；
原分式方程有增根，
，
解得：或，
当时，；当时，；
当时，该方程无解，此时；
当时，要使原方程无解，由得：或，
综上，m的值为或或

【解析】方程去分母转化为整式方程，
根据分式方程的增根为，求出m的值即可；
根据分式方程有增根，确定出x的值，进而求出m的值；
分与两种情况，根据分式方程无解，求出m的值即可．
此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
 

21.【答案】

【解析】解：如图，即为所求，点的坐标是
故答案为：；

如图，即为所求．
根据中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可；
利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可．
本题考查作图-旋转变换，中心对称变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，中心对称变换的性质，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：设每件甲种商品的进价为x元，则每件乙种商品的进价为元，
根据题意，得，
解得：，
经检验，是原方程的根，
每件乙种商品的进价为：元
答：每件甲种商品的进价为54元，每件乙种商品件的进价为60元．

设购进乙种商品y个，则购进甲种商品个．
由题意得：
，
两种商品的总件不超过85件，
，
，
当时，元，
答：该商品获得最大利润为630元．

【解析】设每件甲种商品的进价为x元，则每件乙种商品的进价为元，根据题意建立方程求出其解就可以了．
根据利润=售价-进价可以得出关于利润的方程，然后根据一次函数的性质即可得到结论．
本题考查了列分式方程解应用题，一次函数的应用，重点在于准确地找出相等关系．
 

23.【答案】证明：连接BD，交AC于点O，如图所示，

四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
，
即，
四边形DEBF是平行四边形．

【解析】首先连接BD，交AC于点O，由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得，，又由，可得，然后根据对角线互相相平分的四边形是平行四边形．
此题考查了平行四边形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
 

24.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，

，，
四边形BFDE是平行四边形．
，
，
四边形BFDE是矩形；
四边形ABCD是平行四边形，
，

在中，由勾股定理，得
，
，
，
，
即AF平分

【解析】根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；
根据平行线的性质，可得，根据等腰三角形的判定与性质，可得，根据角平分线的判定，可得答案．
本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出是解题关键．
 

25.【答案】证明：点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
、EF都是的中位线，
，，
四边形ADEF是平行四边形；

四边形ADEF是平行四边形，
，
，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高，
，，
，，
，
，
，
 

【解析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，，再根据平行四边形的定义证明即可；
根据平行四边形的对角相等可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，再根据等边对等角可得，，然后求出，等量代换即可得到
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，平行四边形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
 

26.【答案】证明：，
四边形ABCD是平行四边形，
，
平行四边形ABCD是矩形，
，，
，
，
即，
四边形ABCD是正方形；
四边形ABCD是正方形，
，，
，，，
四边形EFBG是矩形，
将线段DH绕点H顺时针旋转，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
四边形EFBG是正方形．

【解析】根据平行四边形的判定推出四边形是平行四边形，求出，得出四边形是矩形，根据勾股定理的逆定理求出，根据正方形的判定推出即可；
先证四边形EFBG是矩形，由“AAS”可证≌，可得，，可证，可得结论．
本题考查了旋转的性质，正方形的判定，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

27.【答案】解：由运动知，，，
，
，要，
四边形CDPQ为平行四边形，
，
，
，
即时，；

不存在，理由：
四边形PQCD是菱形，
，
，
，
此时，，
而，
四边形PQCD不可能是菱形；

如图4，，，

当时，四边形ABQP是矩形，
即，
解得：，
当时，四边形PQBA是矩形；

由当时，四边形PQBA是矩形，
，
，
，
矩形PQBA不能是正方形，
即不存在时间t，使四边形PQBA是正方形．

【解析】根据列方程可得时；
先根据，求出时间t，再判断出，即可判断出结论；
根据列方程可得结论；
由知，时，四边形PQBA是矩形，再判断出，即可得出结论．
此题是四边形综合题，主要考查了矩形的判定和性质，勾股定理，菱形的判定，平行四边形的判定和性质等知识，构造出直角三角形是解本题的关键．