04解答题-四川省德阳市五年（2018-2022）中考数学真题分类汇编

这是一份04解答题-四川省德阳市五年（2018-2022）中考数学真题分类汇编，共54页。试卷主要包含了﹣2，﹣2+2cs45°﹣，0﹣﹣2cs30°，0﹣4cs60°﹣，0﹣4cs30°+等内容，欢迎下载使用。
04解答题-四川省德阳市五年（2018-2022）中考数学真题分类汇编
一．实数的运算（共4小题）
1．（2022•德阳）计算：+（3.14﹣π）0﹣3tan60°+|1﹣|+（﹣2）﹣2．
2．（2021•德阳）计算：（﹣1）3+|﹣1|﹣（）﹣2+2cos45°﹣．
3．（2020•德阳）计算：（﹣2）﹣2﹣|﹣2|+（﹣）0﹣﹣2cos30°．
4．（2019•德阳）计算：﹣12+（2﹣）0﹣4cos60°﹣．
二．二次根式的混合运算（共1小题）
5．（2018•德阳）计算：+（）﹣3﹣（3）0﹣4cos30°+．
三．分式方程的应用（共1小题）
6．（2018•德阳）为配合“一带一路”国家倡议，某铁路货运集装箱物流园区正式启动了2期扩建工程．一项地基基础加固处理工程由A、B两个工程公司承担建设，已知A工程公司单独建设完成此项工程需要180天，A工程公司单独施工45天后，B工程公司参与合作，两工程公司又共同施工54天后完成了此项工程．
（1）求B工程公司单独建设完成此项工程需要多少天？
（2）由于受工程建设工期的限制，物流园区管委会决定将此项工程划包成两部分，要求两工程公司同时开工，A工程公司建设其中一部分用了m天完成，B工程公司建设另一部分用了n天完成，其中m，n均为正整数，且m＜46，n＜92，求A、B两个工程公司各施工建设了多少天？
四．一元一次不等式的应用（共1小题）
7．（2019•德阳）某机电厂有甲乙两个发电机生产车间，甲车间每天产量为A型发电机和B型发电机共45台，其中A型发电机数量比B型发电机数量多5台．
（1）问甲车间每天生产A、B两种型号发电机各多少台？
（2）乙车间每天产量为50台，其中A型发电机20台，B型发电机30台，现有一订单需A型发电机720台和B型发电机M台，但由于受原材料供应限制，两车间不能同时生产，厂里决定由甲乙两车间先后用30天完成订单任务，求甲车间至少需安排生产多少天？由于甲车间还有其他生产任务，最多只能安排27天参加此订单生产，求出M所有的可能值．
五．一次函数的应用（共3小题）
8．（2022•德阳）习近平总书记对实施乡村振兴战略作出重要指示强调：实施乡村振兴战略，是党的十九大作出的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．为了发展特色产业，红旗村花费4000元集中采购了A种树苗500株，B种树苗400株，已知B种树苗单价是A种树苗单价的1.25倍．
（1）求A、B两种树苗的单价分别是多少元？
（2）红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种，其中A种树苗不多于25株，在单价不变，总费用不超过480元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？
9．（2020•德阳）推进农村土地集约式管理，提高土地的使用效率是新农村建设的一项重要举措．某村在小城镇建设中集约了2400亩土地，计划对其进行平整．经投标，由甲乙两个工程队来完成平整任务．甲工程队每天可平整土地45亩，乙工程队每天可平整土地30亩．已知乙工程队每天的工程费比甲工程队少500元，当甲工程队所需工程费为12000元，乙工程队所需工程费为9000元时，两工程队工作天数刚好相同．
（1）甲乙两个工程队每天各需工程费多少元？
（2）现由甲乙两个工程队共同参与土地平整，已知两个工程队工作天数均为正整数，且所有土地刚好平整完，总费用不超过110000元．
①甲乙两工程队分别工作的天数共有多少种可能？
②写出其中费用最少的一种方案，并求出最低费用．
10．（2021•德阳）今年，“广汉三星堆”又有新的文物出土，景区游客大幅度增长．为了应对暑期旅游旺季，方便更多的游客在园区内休息，景区管理委员会决定向某公司采购一批户外休闲椅．经了解，该公司出售弧形椅和条形椅两种类型的休闲椅，已知条形椅的单价是弧形椅单价的0.75倍，用8000元购买弧形椅的数量比用4800元购买条形椅的数量多10张．
（1）弧形椅和条形椅的单价分别是多少元？
（2）已知一张弧形椅可坐5人，一张条形椅可坐3人，景区计划共购进300张休闲椅，并保证至少增加1200个座位．请问：应如何安排购买方案最节省费用？最低费用是多少元？
六．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）
11．（2021•德阳）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，6），将点A向右平移2个单位，再向下平移a个单位得到点B，点B恰好落在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过A，B两点的直线与y轴交于点C．
（1）求k的值及点C的坐标；
（2）在y轴上有一点D（0，5），连接AD，BD，求△ABD的面积．

七．反比例函数与一次函数的交点问题（共4小题）
12．（2022•德阳）如图，一次函数y＝﹣x+1与反比例函数y＝的图象在第二象限交于点A，且点A的横坐标为﹣2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点B的坐标是（﹣3，0），若点P在y轴上，且△AOP的面积与△AOB的面积相等，求点P的坐标．

13．（2020•德阳）如图，一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点．点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1．
（1）求a，b的值．
（2）在反比例y2＝第三象限的图象上找一点P，使点P到直线AB的距离最短，求点P的坐标．

14．（2019•德阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知函数y＝的图象与双曲线y＝（x＞0）交于A、B、C三点，其中C点的坐标为（6，n），且点A的横坐标为．
（1）求此双曲线的解析式；
（2）求m的值及交点B的坐标．

15．（2018•德阳）如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝kx+b（k≠0）与双曲线y2＝（a≠0）交于A、B两点，已知点A（m，2），点B（﹣1，﹣4）．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）把直线y1沿x轴负方向平移2个单位后得到直线y3，直线y3与双曲线y2交于D、E两点，当y2＞y3时，求x的取值范围．

八．二次函数综合题（共5小题）
16．（2022•德阳）抛物线的解析式是y＝﹣x2+4x+a．直线y＝﹣x+2与x轴交于点M，与y轴交于点E，点F与直线上的点G（5，﹣3）关于x轴对称．
（1）如图①，求射线MF的解析式；
（2）在（1）的条件下，当抛物线与折线EMF有两个交点时，设两个交点的横坐标是x1，x2（x1＜x2），求x1+x2的值；
（3）如图②，当抛物线经过点C（0，5）时，分别与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧．在x轴上方的抛物线上有一动点P，设射线AP与直线y＝﹣x+2交于点N．求的最大值．

17．（2021•德阳）如图，已知：抛物线y＝x2+bx+c与直线l交于点A（﹣1，0），C（2，﹣3），与x轴另一交点为B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上找一点P，使△ACP的内心在x轴上，求点P的坐标；
（3）M是抛物线上一动点，过点M作x轴的垂线，垂足为N，连接BM．在（2）的条件下，是否存在点M，使∠MBN＝∠APC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

18．（2019•德阳）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴的负半轴交于点C，已知抛物线的对称轴为直线x＝，B、C两点的坐标分别为B（2，0），C（0，﹣3）．点P为直线BC下方的抛物线上的一个动点（不与B、C两点重合）．

（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图1，连接PB、PC得到△PBC，问是否存在着这样的点P，使得△PBC的面积最大？如果存在，求出面积的最大值和此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接AP交线段BC于点D，点E为线段AD的中点，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接EM、EN，则在点P的运动过程中，∠MEN的大小是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．
19．（2020•德阳）如图1，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC，BC．已知△ABC的面积为2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于P，Q两点．过P，Q向x轴作垂线，垂足分别为G，H．若四边形PGHQ为正方形，求正方形的边长；
（3）如图2，平行于y轴的直线交抛物线于点M，交x轴于点N（2，0）．点D是抛物线上A，M之间的一动点，且点D不与A，M重合，连接DB交MN于点E．连接AD并延长交MN于点F．在点D运动过程中，3NE+NF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

20．（2018•德阳）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点A在x轴上，点B在y轴上，点C（3，1），二次函数y＝x2+bx﹣的图象经过点C．
（1）求二次函数的解析式，并把解析式化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）把△ABC沿x轴正方向平移，当点B落在抛物线上时，求△ABC扫过区域的面积；
（3）在抛物线上是否存在异于点C的点P，使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

九．全等三角形的判定与性质（共1小题）
21．（2018•德阳）如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AD、AB上一点，若AE＝DC＝2ED，且EF⊥EC．
（1）求证：点F为AB的中点；
（2）延长EF与CB的延长线相交于点H，连接AH，已知ED＝2，求AH的值．

一十．矩形的性质（共1小题）
22．（2020•德阳）如图，四边形ABCD为矩形，G是对角线BD的中点．连接GC并延长至F，使CF＝GC，以DC，CF为邻边作菱形DCFE，连接CE．
（1）判断四边形CEDG的形状，并证明你的结论．
（2）连接DF，若BC＝，求DF的长．

一十一．矩形的判定与性质（共1小题）
23．（2022•德阳）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2cm，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于点H．点F从点B出发沿BD方向以2cm/s向点D匀速运动，同时，点E从点H出发沿HD方向以1cm/s向点D匀速运动．设点E，F的运动时间为t（单位：s），且0＜t＜3，过F作FG⊥BC于点G，连结EF．
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）连结FC，EC，点F，E在运动过程中，△BFC与△DCE是否能够全等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．

一十二．切线的判定与性质（共2小题）
24．（2022•德阳）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足是点H，过点C作直线分别与AB，AD的延长线交于点E，F，且∠ECD＝2∠BAD．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）如果AB＝10，CD＝6，
①求AE的长；
②求△AEF的面积．

25．（2021•德阳）如图，已知：AB为⊙O的直径，⊙O交△ABC于点D、E，点F为AC的延长线上一点，且∠CBF＝∠BOE．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若AB＝4，∠CBF＝45°，BE＝2EC，求AD和CF的长．

一十三．圆的综合题（共3小题）
26．（2020•德阳）如图，在⊙O中，弦AB与直径CD垂直，垂足为M，CD的延长线上有
一点P，满足∠PBD＝∠DAB．过点P作PN⊥CD，交OA的延长线于点N，连接DN交AP于点H．
（1）求证：BP是⊙O的切线；
（2）如果OA＝5，AM＝4，求PN的值；
（3）如果PD＝PH，求证：AH•OP＝HP•AP．

27．（2019•德阳）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OE⊥BC于点H，交⊙O于点E，点D为OE的延长线上一点，DC的延长线与BA的延长线交于点F，且∠BOD＝∠BCD，连接BD、AC、CE．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）过E作EG⊥FD于点G，求证：△CHE≌△CGE；
（3）如果AF＝1，sin∠FCA＝，求EG的长．

28．（2018•德阳）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点H是△ABC的内心，
AH的延长线和三角形ABC的外接圆O相交于点D，连接DB．
（1）求证：DH＝DB；
（2）过点D作BC的平行线交AC、AB的延长线分别于点E、F，已知CE＝1，圆O的直径为5．
①求证：EF为圆O的切线；
②求DF的长．

一十四．轴对称-最短路线问题（共1小题）
29．（2019•德阳）如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，BC＝AD，点E为AD的中点，点F为AE的中点，AC⊥CD，连接BE、CE、CF．
（1）判断四边形ABCE的形状，并说明理由；
（2）如果AB＝4，∠D＝30°，点P为BE上的动点，求△PAF的周长的最小值．

一十五．旋转的性质（共1小题）
30．（2021•德阳）如图，点E是矩形ABCD的边BC上一点，将△ABE绕点A逆时针旋转至△AB1E1的位置，此时E、B1、E1三点恰好共线．点M、N分别是AE和AE1的中点，连接MN、NB1．
（1）求证：四边形MEB1N是平行四边形；
（2）延长EE1交AD于点F，若EB1＝E1F，，判断△AE1F与△CB1E是否全等，并说明理由．

一十六．列表法与树状图法（共4小题）
31．（2022•德阳）据《德阳县志》记载，德阳钟鼓楼始建于明朝成化年间，明末因兵灾焚毁，清乾隆五十二年重建．在没有高层建筑的时代，德阳钟鼓楼一直流传着“半截还在云里头”的故事．1971年，因破四旧再次遭废．现在的钟鼓楼是老钟鼓楼的仿制品，于2005年12月27日破土动工，2007年元旦落成，坐落东山之巅，百尺高楼金碧辉煌，流光溢彩；万丈青壁之间，银光闪烁，蔚为壮观，已经成为人们休闲的打卡胜地．
学校数学兴趣小组在开展“数学与传承”探究活动中，进行了“钟鼓楼知识知多少”专题调查活动，将调查问题设置为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四类．他们随机抽取部分市民进行问卷调查，并将结果绘制成了如下两幅统计图：

（1）设本次问卷调查共抽取了m名市民，图2中“不太了解”所对应扇形的圆心角是n度，分别写出m，n的值；
（2）根据以上调查结果，在12000名市民中，估计“非常了解”的人数有多少？
（3）为进一步跟踪调查市民对钟鼓楼知识掌握的具体情况，兴趣组准备从附近的3名男士和2名女士中随机抽取2人进行调查，请用列举法（树状图或列表）求恰好抽到一男一女的概率．
32．（2021•德阳）为庆祝中国共产党建党100周年，某校举行了“传党情，颂党恩”知识竞赛．为了解全校学生知识掌握情况，学校随机抽取部分竞赛成绩制定了不完整的统计表和频数分布直方图．
分数x（分）
频数（人）
频率
90≤x＜100
80
a
80≤x＜90
60
0.3
70≤x＜80

0.18
60≤x＜70
b
0.12
（1）请直接写出表中a，b的值，并补全频数分布直方图；
（2）竞赛成绩在80分以上（含80分）记为优秀，请估计该校3500名参赛学生中有多少名学生成绩优秀；
（3）为了参加市上的“传党情，颂党恩”演讲比赛，学校从本次知识竞赛成绩优秀的学生中再次选拔出演讲水平较好的三位同学，其中男生一位、女生两位，现从中任选两位同学参加，请利用画树状图或列表的方法，求选中的两位同学恰好是一男一女的概率．

33．（2019•德阳）某汽车销售公司一位销售经理1～5月份的汽车销售统计图如下：

（1）已知1月的销售量是2月的销售量的3.5倍，则1月的销售量为　 　辆．在图2中，2月的销售量所对应的扇形的圆心角大小为　 　．
（2）补全图1中销售量折线统计图．
（3）已知4月份销售的车中有3辆国产车和2辆合资车，国产车分别用G1、G2、G3表示，合资车分别用H1、H2表示，现从这5辆车中随机抽取两辆车参加公司的回馈活动，请用列举法（画树状图或列表）求出“抽到的两辆车都是国产车“的概率．
34．（2018•德阳）某网络约车公司近期推出了”520专享”服务计划，即要求公司员工做到“5星级服务、2分钟响应、0客户投诉”，为进一步提升服务品质，公司监管部门决定了解“单次营运里程”的分布情况．老王收集了本公司的5000个“单次营运里程”数据，这些里程数据均不超过25（公里），他从中随机抽取了200个数据作为一个样本，整理、统计结果如下表，并绘制了不完整的频数分布直方图（如图）．
组别
单次营运里程“x”（公里）
频数
第一组
0＜x≤5
72
第二组
5＜x≤10
a
第三组
10＜x≤15
26
第四组
15＜x≤20
24
第五组
20＜x≤25
30
根据统计表、图提供的信息，解答下面的问题：
（1）①表中a＝　 　；②样本中“单次营运里程”不超过15公里的频率为　 　；③请把频数分布直方图补充完整；
（2）请估计该公司这5000个“单次营运里程”超过20公里的次数；
（3）为缓解城市交通压力，维护交通秩序，来自某市区的4名网约车司机（3男1女）成立了“交通秩序维护”志愿小分队，若从该小分队中任意抽取两名司机在某一路口维护交通秩序，请用列举法（画树状图或列表）求出恰好抽到“一男一女”的概率．

一十七．游戏公平性（共1小题）
35．（2020•德阳）为了加强学生的垃圾分类意识，某校对学生进行了一次系统全面的垃圾分类宣传．为了解这次宣传的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行了一次测试，测试结果共分为四个等级：A．优秀；B．良好；C．及格；D．不及格．根据调查统计结果，绘制了如下所示的不完整的统计表．
垃圾分类知识测试成绩统计表
测试等级
百分比
人数
A．优秀
5%
20
B．良好

60
C．及格
45%
m
D．不及格
n

请结合统计表，回答下列问题：
（1）求本次参与调查的学生人数及m，n的值；
（2）如果测试结果为“良好”及以上即为对垃圾分类知识比较了解，已知该校学生总数为5600人，请根据本次抽样调查的数据估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数；
（3）为了进一步在学生中普及垃圾分类知识，学校准备再开展一次关于垃圾分类的知识竞赛，要求每班派一人参加．某班要从在这次测试成绩为优秀的小明和小亮中选一人参加．班长设计了如下游戏来确定人选，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4．然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，两人同时从袋中各摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明参加，否则小亮参加．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．

参考答案与试题解析
一．实数的运算（共4小题）
1．（2022•德阳）计算：+（3.14﹣π）0﹣3tan60°+|1﹣|+（﹣2）﹣2．
【解答】解：原式＝2+1﹣3×+﹣1+
＝2+1﹣3+﹣1+
＝．
2．（2021•德阳）计算：（﹣1）3+|﹣1|﹣（）﹣2+2cos45°﹣．
【解答】解：原式＝﹣1+﹣1﹣4+2×﹣2
＝﹣1+﹣1﹣4+﹣2
＝﹣6．
3．（2020•德阳）计算：（﹣2）﹣2﹣|﹣2|+（﹣）0﹣﹣2cos30°．
【解答】解：（﹣2）﹣2﹣|﹣2|+（﹣）0﹣﹣2cos30°
＝﹣2++1﹣2﹣2×
＝﹣2．
4．（2019•德阳）计算：﹣12+（2﹣）0﹣4cos60°﹣．
【解答】解：原式＝﹣1+1﹣4×﹣（﹣2）
＝﹣1+1﹣2+2
＝0．
二．二次根式的混合运算（共1小题）
5．（2018•德阳）计算：+（）﹣3﹣（3）0﹣4cos30°+．
【解答】解：原式＝3+8﹣1﹣4×+2
＝10﹣2+2
＝10．
三．分式方程的应用（共1小题）
6．（2018•德阳）为配合“一带一路”国家倡议，某铁路货运集装箱物流园区正式启动了2期扩建工程．一项地基基础加固处理工程由A、B两个工程公司承担建设，已知A工程公司单独建设完成此项工程需要180天，A工程公司单独施工45天后，B工程公司参与合作，两工程公司又共同施工54天后完成了此项工程．
（1）求B工程公司单独建设完成此项工程需要多少天？
（2）由于受工程建设工期的限制，物流园区管委会决定将此项工程划包成两部分，要求两工程公司同时开工，A工程公司建设其中一部分用了m天完成，B工程公司建设另一部分用了n天完成，其中m，n均为正整数，且m＜46，n＜92，求A、B两个工程公司各施工建设了多少天？
【解答】解：（1）设B工程公司单独完成需要x天，
根据题意得：45×+54（+）＝1，
解得：x＝120，
经检验x＝120是分式方程的解，且符合题意，
答：B工程公司单独完成需要120天；

（2）根据题意得：m×+n×＝1，
整理得：n＝120﹣m，
∵m＜46，n＜92，
∴120﹣m＜92，
解得42＜m＜46，
∵m为正整数，
∴m＝43，44，45，
又∵120﹣m为正整数，
∴m＝45，n＝90，
答：A、B两个工程公司各施工建设了45天和90天．
四．一元一次不等式的应用（共1小题）
7．（2019•德阳）某机电厂有甲乙两个发电机生产车间，甲车间每天产量为A型发电机和B型发电机共45台，其中A型发电机数量比B型发电机数量多5台．
（1）问甲车间每天生产A、B两种型号发电机各多少台？
（2）乙车间每天产量为50台，其中A型发电机20台，B型发电机30台，现有一订单需A型发电机720台和B型发电机M台，但由于受原材料供应限制，两车间不能同时生产，厂里决定由甲乙两车间先后用30天完成订单任务，求甲车间至少需安排生产多少天？由于甲车间还有其他生产任务，最多只能安排27天参加此订单生产，求出M所有的可能值．
【解答】解：（1）设甲车间每天生产A型号发电机x台，则每天生产B型号发电机（45﹣x）台，
依题意，得：x﹣（45﹣x）＝5，
解得：x＝25，
∴45﹣x＝20．
答：甲车间每天生产A型号发电机25台，每天生产B型号发电机20台．
（2）设甲车间需安排生产m天，则乙车间需安排生产（30﹣m）天，
依题意，得：25m+20（30﹣m）≥720，
解得：m≥24，
∴甲车间至少安排生产24天．
∵甲车间最多安排27天参加生产，
∴甲车间可以生产的天数为24，25，26，27．
∵M＝20m+30（30﹣m）＝900﹣10m，
∴M所有的可能值为660，650，640，630．
五．一次函数的应用（共3小题）
8．（2022•德阳）习近平总书记对实施乡村振兴战略作出重要指示强调：实施乡村振兴战略，是党的十九大作出的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．为了发展特色产业，红旗村花费4000元集中采购了A种树苗500株，B种树苗400株，已知B种树苗单价是A种树苗单价的1.25倍．
（1）求A、B两种树苗的单价分别是多少元？
（2）红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种，其中A种树苗不多于25株，在单价不变，总费用不超过480元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？
【解答】解：（1）设A种树苗每株x元，B种树苗每株y元，由题意，得
，
解得，
答：A种树苗每株4元，B种树苗每株5元；
（2）设购买A种树苗a株，则购买B种树苗（100﹣a）株，总费用为w元，
由题意得：a≤25，w≤480，
∵w＝4a+5（100﹣a）＝﹣a+500，
∴﹣a+500≤480，
解得：a≥20，
∴20≤a≤25，
∴a是整数，
∴a取20，21，22，23，24，25，
∴共有6种购买方案，
方案一：购买A种树苗20株，购买B种树苗80株，
方案二：购买A种树苗21株，购买B种树苗79株，
方案三：购买A种树苗22株，购买B种树苗78株，
方案四：购买A种树苗23株，购买B种树苗77株，
方案五：购买A种树苗24株，购买B种树苗76株，
方案六：购买A种树苗25株，购买B种树苗75株，
∵w＝﹣a+500，k＝﹣1＜0，
∴w随a的增大而减小，
∴a＝25时，w最小，
∴第六种方案费用最低，最低费用是475元．
答：共有6种购买方案，费用最省的购买方案是购买A树苗25株，B种树苗75株，最低费用是475元．
9．（2020•德阳）推进农村土地集约式管理，提高土地的使用效率是新农村建设的一项重要举措．某村在小城镇建设中集约了2400亩土地，计划对其进行平整．经投标，由甲乙两个工程队来完成平整任务．甲工程队每天可平整土地45亩，乙工程队每天可平整土地30亩．已知乙工程队每天的工程费比甲工程队少500元，当甲工程队所需工程费为12000元，乙工程队所需工程费为9000元时，两工程队工作天数刚好相同．
（1）甲乙两个工程队每天各需工程费多少元？
（2）现由甲乙两个工程队共同参与土地平整，已知两个工程队工作天数均为正整数，且所有土地刚好平整完，总费用不超过110000元．
①甲乙两工程队分别工作的天数共有多少种可能？
②写出其中费用最少的一种方案，并求出最低费用．
【解答】解：（1）设甲每天需工程费x元、乙工程队每天需工程费（x﹣500）元，
由题意，＝，
解得x＝2000，
经检验，x＝2000是分式方程的解．
答：甲每天需工程费2000元、乙工程队每天需工程费1500元．

（2）①设甲平整x天，则乙平整y天．
由题意，45x+30y＝2400①，且2000x+1500y≤110000②，
由①得到y＝80﹣1.5x③，
把③代入②得到，2000x+1500（80﹣1.5x）≤110000，
解得，x≥40，
∵y＞0，
∴80﹣1.5x＞0，
x＜53.3，
∴40≤x＜53.3，
∵x，y是正整数，
∴x＝40，y＝20或x＝42，y＝17或x＝44，y＝14或x＝46，y＝11或x＝48，y＝8或x＝50，y＝5或x＝52，y＝2．
∴甲乙两工程队分别工作的天数共有7种可能．

②总费用w＝2000x+1500（80﹣1.5x）＝﹣250x+120000，
∵﹣250＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴x＝52时，w的最小值＝107000（元）．
答：最低费用为107000元．
10．（2021•德阳）今年，“广汉三星堆”又有新的文物出土，景区游客大幅度增长．为了应对暑期旅游旺季，方便更多的游客在园区内休息，景区管理委员会决定向某公司采购一批户外休闲椅．经了解，该公司出售弧形椅和条形椅两种类型的休闲椅，已知条形椅的单价是弧形椅单价的0.75倍，用8000元购买弧形椅的数量比用4800元购买条形椅的数量多10张．
（1）弧形椅和条形椅的单价分别是多少元？
（2）已知一张弧形椅可坐5人，一张条形椅可坐3人，景区计划共购进300张休闲椅，并保证至少增加1200个座位．请问：应如何安排购买方案最节省费用？最低费用是多少元？
【解答】解：（1）设弧形椅的单价为x元，则条形椅的单价为0.75x元，根据题意得：
，
解得x＝160，
经检验，x＝160是原方程的解，且符合题意，
∴0.75x＝120，
答：弧形椅的单价为160元，条形椅的单价为120元；
（2）设购进弧形椅m张，则购进条形椅（300﹣m）张，由题意得：
5m+3（300﹣m）≥1200，
解得m≥150；
设购买休闲椅所需的费用为W元，
则W＝160m+120（300﹣m），
即W＝40m+36000，
∵40＞0，
∴W随m的增大而增大，
∴当m＝150时，W有最小值，W最小＝40×150+36000＝42000，
300﹣m＝300﹣150＝150；
答：购进150张弧形椅，150张条形椅最节省费用，最低费用是42000元．
六．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）
11．（2021•德阳）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，6），将点A向右平移2个单位，再向下平移a个单位得到点B，点B恰好落在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过A，B两点的直线与y轴交于点C．
（1）求k的值及点C的坐标；
（2）在y轴上有一点D（0，5），连接AD，BD，求△ABD的面积．

【解答】解：（1）把点A（2，6）代入y＝，k＝2×6＝12，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵将点A向右平移2个单位，
∴x＝4，
当x＝4时，y＝＝3，
∴B（4，3），
设直线AB的解析式为y＝mx+n，
由题意可得，
解得，
∴y＝﹣x+9，
当x＝0时，y＝9，
∴C（0，9）；
（2）由（1）知CD＝9﹣5＝4，
∴S△ABD＝S△BCD﹣S△ACD＝CD•|xB|﹣CD•|xA|＝×4×4﹣×4×2＝4．
七．反比例函数与一次函数的交点问题（共4小题）
12．（2022•德阳）如图，一次函数y＝﹣x+1与反比例函数y＝的图象在第二象限交于点A，且点A的横坐标为﹣2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点B的坐标是（﹣3，0），若点P在y轴上，且△AOP的面积与△AOB的面积相等，求点P的坐标．

【解答】解（1）∵一次函数y＝﹣x+1与反比例函数y＝的图象在第二象限交于点A，点A的横坐标为﹣2，
当x＝﹣2时，y＝﹣×（﹣2）+1＝4，
∴A（﹣2，4），
∴4＝，
∴k＝﹣8，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣；

（2）设P（0，m），
∵△AOP的面积与△AOB的面积相等，
∴×|m|×2＝×3×4，
∴m＝±6，
∴P（0，6）或（0，﹣6）．
13．（2020•德阳）如图，一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点．点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1．
（1）求a，b的值．
（2）在反比例y2＝第三象限的图象上找一点P，使点P到直线AB的距离最短，求点P的坐标．

【解答】解：（1）∵一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点．点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，
∴A（2，2），B（4，1），
则有，
解得．

（2）过点P作直线PM∥AB，
当直线PM与反比例函数只有一个交点时，点P到直线AB的距离最短，
设直线PM的解析式为y＝﹣x+n，
由，消去y得到，x2﹣2nx+8＝0，
由题意得，Δ＝0，
∴4n2﹣32＝0，
∴n＝﹣2或2（舍弃），
解得，
∴P（﹣2，﹣）．

14．（2019•德阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知函数y＝的图象与双曲线y＝（x＞0）交于A、B、C三点，其中C点的坐标为（6，n），且点A的横坐标为．
（1）求此双曲线的解析式；
（2）求m的值及交点B的坐标．

【解答】解：（1）把C（6，n）代入y＝x﹣1得n＝×6﹣1＝2，则C（6，2），
设反比例函数的解析式为y＝，
把C（6，2）代入得k＝6×2＝12，
所以反比例函数解析式为y＝；
（2）当x＝时，y＝＝9，则A（，9），
把A（，9）代入y＝﹣3x+m得﹣4+m＝9，解得m＝13，
解方程组得或，
所以B点坐标为（3，4），
即m的值为13，交点B的坐标为（3，4）．
15．（2018•德阳）如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝kx+b（k≠0）与双曲线y2＝（a≠0）交于A、B两点，已知点A（m，2），点B（﹣1，﹣4）．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）把直线y1沿x轴负方向平移2个单位后得到直线y3，直线y3与双曲线y2交于D、E两点，当y2＞y3时，求x的取值范围．

【解答】解：（1）∵点B（﹣1，﹣4）在双曲线y2＝（a≠0）上，
∴a＝（﹣1）×（﹣4）＝4，
∴双曲线的解析式为：．
∵点A（m，2）在双曲线上，
∴2m＝4，
∴m＝2，
∴点A的坐标为：（2，2）
∵点A（m，2），点B（﹣1，﹣4）在直线y1＝kx+b（k≠0）上，
∴
解得：
∴直线的解析式为：y1＝2x﹣2．
（2）∵把直线y1沿x轴负方向平移2个单位后得到直线y3，
∴y2＝2（x+2）﹣2＝2x+2，
解方程组得：或，
∴点D（1，4），点E（﹣2，﹣2），
∴由函数图象可得：当y2＞y3时，x的取值范围为：x＜﹣2或0＜x＜1．
八．二次函数综合题（共5小题）
16．（2022•德阳）抛物线的解析式是y＝﹣x2+4x+a．直线y＝﹣x+2与x轴交于点M，与y轴交于点E，点F与直线上的点G（5，﹣3）关于x轴对称．
（1）如图①，求射线MF的解析式；
（2）在（1）的条件下，当抛物线与折线EMF有两个交点时，设两个交点的横坐标是x1，x2（x1＜x2），求x1+x2的值；
（3）如图②，当抛物线经过点C（0，5）时，分别与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧．在x轴上方的抛物线上有一动点P，设射线AP与直线y＝﹣x+2交于点N．求的最大值．

【解答】解：（1）∵点F与直线上的点G（5，﹣3）关于x轴对称，
∴F（5，3），
∵直线y＝﹣x+2与x轴交于点M，
∴M（2，0），
设直线MF的解析式为y＝kx+b，
则有，
解得，
∴射线MF的解析式为y＝x﹣2（x≥2）；

（2）如图①中，设折线EMF与抛物线的交点为P，Q．

∵抛物线的对称轴x＝﹣＝2，点M（2，0），
∴点M值抛物线的对称轴上，
∵直线EM的解析式为y＝﹣x+2，直线MF的解析式为y＝x﹣2，
∴直线EM，直线MF关于直线x＝2对称，
∴P，Q关于直线x＝2对称，
∴2＝，
∴x1+x2＝4；

（3）如图②中，过点P作PT∥AB交直线ME于点T．

∵C（0，5），
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5，
∴A（﹣1，0），B（5，0），
设P（t，﹣t2+4t+5），则T（t2﹣4t﹣3，﹣t2+4t+5），
∵PT∥AM，
∴＝＝（t﹣（t2﹣4t﹣3）＝﹣（t﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴有最大值，最大值为．
17．（2021•德阳）如图，已知：抛物线y＝x2+bx+c与直线l交于点A（﹣1，0），C（2，﹣3），与x轴另一交点为B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上找一点P，使△ACP的内心在x轴上，求点P的坐标；
（3）M是抛物线上一动点，过点M作x轴的垂线，垂足为N，连接BM．在（2）的条件下，是否存在点M，使∠MBN＝∠APC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）把点A（﹣1，0），C（2，﹣3）代入y＝x2+bx+c，
得到方程组：，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）作点C关于x轴的对称点C'，则C'（2，3），连接AC'并延长与抛物线交于点P，由图形的对称性可知P为所求的点，

设直线AC'的解析式为y＝mx+n，
由题意得：，
解得：，
∴直线AC'的解析式为y＝x+1，
将直线和抛物线的解析式联立得：
，
解得（舍去）或，
∴P（4，5）；
（3）存在点M，
∵P（4，5），A（﹣1，0），
∴AP＝，
同理可求得AC＝，PC＝，

∴AP2+AC2＝PC2，∠PAC＝90°，
∴tan∠APC＝，
∵∠MBN＝∠APC，
∴tan∠MBN＝tan∠APC，
∴，
设点M（m，m2﹣2m﹣3），则（m≠3），
解得m＝或m＝﹣，
当m＝时，m2﹣2m﹣3＝，
∴M（﹣，），
当m＝，m2﹣2m﹣3＝，
∴M（，），
∴存在符合条件的点M，M的坐标为（，），（，）．
18．（2019•德阳）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴的负半轴交于点C，已知抛物线的对称轴为直线x＝，B、C两点的坐标分别为B（2，0），C（0，﹣3）．点P为直线BC下方的抛物线上的一个动点（不与B、C两点重合）．

（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图1，连接PB、PC得到△PBC，问是否存在着这样的点P，使得△PBC的面积最大？如果存在，求出面积的最大值和此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接AP交线段BC于点D，点E为线段AD的中点，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接EM、EN，则在点P的运动过程中，∠MEN的大小是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【解答】解：（1）∵对称轴为直线x＝，
∴﹣＝，
∵B（2，0），C（0，﹣3）在抛物线上，
∴，
解得，
∴y＝x2﹣x﹣3；
（2）存在点P，使得△PBC的面积最大，
设P（m，m2﹣m﹣3），
连接OP，则S△POC＝×OC×m＝m，
S△POB＝×OB×（﹣m2+m+3）＝﹣m2+m+3，
∴S四边形OCPB＝S△OPC+S△POB＝﹣m2+3m+3，
∵S△OBC＝×OC×OB＝3，
∴S△PBC＝S四边形OCPB﹣S△BOC＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，△PBC的面积最大，最大值为，此时点P的坐标为（，﹣3）；
（3）∠MEN为定值．
当y＝0时，x2﹣x﹣3＝0，
解得x＝﹣或x＝2，
∴A（﹣，0），
在Rt△AOC中，tan∠OAC＝＝，
∴∠MAC＝60°，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，E是AD的中点，
∴ME＝NE＝AE＝DE，
∴点M、A、D、N在以E为圆心的圆上，
由圆周角定理可得∠MEN＝2∠MAC＝120°，
∴∠MEN为定值．
19．（2020•德阳）如图1，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC，BC．已知△ABC的面积为2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于P，Q两点．过P，Q向x轴作垂线，垂足分别为G，H．若四边形PGHQ为正方形，求正方形的边长；
（3）如图2，平行于y轴的直线交抛物线于点M，交x轴于点N（2，0）．点D是抛物线上A，M之间的一动点，且点D不与A，M重合，连接DB交MN于点E．连接AD并延长交MN于点F．在点D运动过程中，3NE+NF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

【解答】解：（1）如图1，y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x2﹣2x﹣3）＝a（x﹣3）（x+1），

∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，
∵△ABC的面积为2，即，
∴，
∴OC＝1，
∴C（0，1），
将C（0，1）代入y＝ax2﹣2ax﹣3a，得：﹣3a＝1，
∴a＝﹣，
∴该二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+1；
（2）分两种情况：
①当PQ在x轴的上方时，如图2，设点P的纵坐标为m，当y＝m时，﹣x2+x+1＝m，

解得：x1＝1+，x2＝1﹣，
∴点P的坐标为（1﹣，m），点Q的坐标为（1+，m），
∴点G的坐标为（1﹣，0），点H的坐标为（1+，0），
∵矩形PGHQ为正方形，
∴1+﹣（1﹣）＝m，
解得：m1＝﹣6﹣2（舍），m2＝﹣6+2；
②当PQ在x轴的下方时，m＜0，
同理可得m＝﹣6﹣2；
∴当四边形PGHQ为正方形时，边长为6+2或2﹣6；
（3）如图3，设点D（n，﹣n2+n+1），延长BD交y轴于K，

∵A（﹣1，0），
设AD的解析式为：y＝kx+b，
则，解得：，
∴AD的解析式为：y＝（﹣）x﹣，
当x＝2时，y＝﹣n+2﹣n+1＝﹣n+3，
∴F（2，3﹣n），
∴FN＝3﹣n，
同理得直线BD的解析式为：y＝（﹣）x+n+1，
∴K（0，n+1），
∴OK＝n+1，
∵N（2，0），B（3，0），
∴，
∵EN∥OK，
∴，
∴OK＝3EN，
∴3EN+FN＝OK+FN＝n+1+3﹣n＝4，
∴在点D运动过程中，3NE+NF为定值4．
20．（2018•德阳）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点A在x轴上，点B在y轴上，点C（3，1），二次函数y＝x2+bx﹣的图象经过点C．
（1）求二次函数的解析式，并把解析式化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）把△ABC沿x轴正方向平移，当点B落在抛物线上时，求△ABC扫过区域的面积；
（3）在抛物线上是否存在异于点C的点P，使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵点C（3，1）在二次函数的图象上，
∴x2+bx﹣＝1，解得：b＝﹣，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣
y＝x2﹣x﹣＝（x2﹣x+﹣）﹣＝（x﹣）2﹣
（2）作CK⊥x轴，垂足为K．

∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB＝AC．
又∵∠BAC＝90°，
∴∠BAO+∠CAK＝90°．
又∵∠CAK+∠ACK＝90°，
∴∠BAO＝∠ACK．
在△BAO和△ACK中，∠BOA＝∠AKC，∠BAO＝∠ACK，AB＝AC，
∴△BAO≌△ACK．
∴OA＝CK＝1，OB＝AK＝2．
∴A（1，0），B（0，2）．
∴当点B平移到点D时，D（m，2），则2＝m2﹣m﹣，解得m＝﹣3（舍去）或m＝．
∴AB＝＝．
∴△ABC扫过区域的面积＝S四边形ABDE+S△DEH＝×2+××＝9.5
（3）当∠ABP＝90°时，过点P作PG⊥y轴，垂足为G．
∵△APB为等腰直角三角形，
∴PB＝AB，∠PBA＝90°．
∴∠PBG+∠BAO＝90°．
又∵∠PBG+∠BPG＝90°，
∴∠BAO＝∠BPG．
在△BPG和△ABO中，∠BOA＝∠PGB，∠BAO＝∠BPG，AB＝PB，
∴△BPG≌△ABO．
∴PG＝OB＝2，AO＝BG＝1，
∴P（﹣2，1）．
当x＝﹣2时，y≠1，
∴点P（﹣2，1）不在抛物线上．
当∠PAB＝90°，过点P作PF⊥x轴，垂足为F．
同理可知：△PAF≌△ABO，
∴FP＝OA＝1，AF＝OB＝2，
∴P（﹣1，﹣1）．
当x＝﹣1时，y＝﹣1，
∴点P（﹣1，﹣1）在抛物线上．
九．全等三角形的判定与性质（共1小题）
21．（2018•德阳）如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AD、AB上一点，若AE＝DC＝2ED，且EF⊥EC．
（1）求证：点F为AB的中点；
（2）延长EF与CB的延长线相交于点H，连接AH，已知ED＝2，求AH的值．

【解答】（1）证明：∵EF⊥EC，
∴∠CEF＝90°，
∴∠AEF+∠DEC＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠AEF+∠AFE＝90°，∠DEC+∠DCE＝90°，
∴∠AEF＝∠DCE，∠AFE＝∠DEC，
∵AE＝DC，
∴△AEF≌△DCE．
∴ED＝AF，
∵AE＝DC＝AB＝2DE，
∴AB＝2AF，
∴F为AB的中点；
（2）解：由（1）知AF＝FB，且AE∥BH，
∴∠FBH＝∠FAE＝90°，∠AEF＝∠FHB，
∴△AEF≌△BHF，
∴HB＝AE，
∵ED＝2，且AE＝2ED，
∴AE＝4，
∴HB＝AB＝AE＝4，
∴AH2＝AB2+BH2＝16+16＝32，
∴AH＝．
一十．矩形的性质（共1小题）
22．（2020•德阳）如图，四边形ABCD为矩形，G是对角线BD的中点．连接GC并延长至F，使CF＝GC，以DC，CF为邻边作菱形DCFE，连接CE．
（1）判断四边形CEDG的形状，并证明你的结论．
（2）连接DF，若BC＝，求DF的长．

【解答】解：（1）四边形CEDG是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD为矩形，G是对角线BD的中点，
∴GB＝GC＝GD，
∵CF＝GC，
∴GB＝GC＝GD＝CF，
∵四边形DCFE是菱形，
∴CD＝CF＝DE，DE∥CG，
∴DE＝GC，
∴四边形CEDG是平行四边形，
∵GD＝GC，
∴四边形CEDG是菱形；
（2）如图所示：

方法1：∵CD＝CF，GB＝GD＝GC＝CF，
∴△CDG是等边三角形，
∴CD＝BG，∠GCD＝∠DGC＝60°，
∴∠DCF＝∠BGC＝120°，
∴△BGC≌△DCF（SAS），
∴DF＝BC＝．
方法2：过点G作GH⊥BC于H，设DF交CE于点N，如图所示：

∵CD＝CF，GB＝GD＝GC＝CF，
∴CH＝BH＝BC＝，△CDG是等边三角形，
∴∠GCD＝60°，
∴∠DCF＝180°﹣∠GCD＝180°﹣60°＝120°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BCD＝90°，
∴∠GCH＝90°﹣60°＝30°，
∴CG＝＝＝1，
∴CD＝1，
∵四边形DCFE是菱形，
∴DN＝FN，CN⊥DF，∠DCE＝∠FCE＝∠DCF＝×120°＝60°，
在Rt△CND中，DN＝CD•sin∠DCE＝1×sin60°＝1×＝，
∴DF＝2DN＝2×＝．
方法3：过点G作GH⊥BC于H，设DF交CE于点N，如图所示；

∵CD＝CF，GB＝GD＝GC＝CF，
∴CH＝BH＝BC＝，△CDG是等边三角形，
∴∠GDC＝60°，GD＝CD，
在Rt△BCD中，∵BC＝，∠GDC＝60°，
∴CD＝BC＝1，
∴GD＝1，
∵GD＝GC＝CF，
∴CD＝GF，
∴△GDF是直角三角形，
∴DF＝GD×tan∠DGC＝1×＝．
一十一．矩形的判定与性质（共1小题）
23．（2022•德阳）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2cm，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于点H．点F从点B出发沿BD方向以2cm/s向点D匀速运动，同时，点E从点H出发沿HD方向以1cm/s向点D匀速运动．设点E，F的运动时间为t（单位：s），且0＜t＜3，过F作FG⊥BC于点G，连结EF．
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）连结FC，EC，点F，E在运动过程中，△BFC与△DCE是否能够全等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．

【解答】（1）证明：∵EH⊥BC，FG⊥BC，
∴EH∥FG，
由题意知BF＝2tcm，EH＝tcm，
∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴∠CBD＝30°，
∴FG＝BF＝t，
∴EH＝FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵∠FGH＝90°，
∴四边形EFGH是矩形；
（2）△BFC与△DCE能够全等，
理由：∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2cm，
∴∠ADC＝∠ABC＝60°，CD＝AB＝2cm，AB∥CD，
∴∠CBD＝∠CDB＝30°，∠DCH＝∠ABC＝60°，
∵DH⊥BC，
∴∠CHD＝90°，
∴∠CDH＝90°﹣60°＝30°＝∠CBF，
在Rt△CDH中，cos∠CDH＝，
∴DH＝2×＝3，
∵BF＝2tcm，
∴EH＝tcm，
∴DE＝（3﹣t）cm，
∴当BF＝DE时，△BFC≌△DCE，
∴2t＝3﹣t，
∴t＝1．
一十二．切线的判定与性质（共2小题）
24．（2022•德阳）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足是点H，过点C作直线分别与AB，AD的延长线交于点E，F，且∠ECD＝2∠BAD．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）如果AB＝10，CD＝6，
①求AE的长；
②求△AEF的面积．

【解答】（1）证明：连接OC，如图，

∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴，
∴∠CAB＝∠DAB．
∵∠COB＝2∠CAB，
∴∠COB＝2∠BAD．
∵∠ECD＝2∠BAD，
∴∠ECD＝∠COB．
∵AB⊥CD，
∴∠COB+∠OCH＝90°，
∴∠OCH+∠ECD＝90°，
∴∠OCE＝90°．
∴OC⊥CF．
∵OC是⊙O的半径，
∴CF是⊙O的切线；
（2）解：①∵AB＝10，
∴OA＝OB＝OC＝5，
∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CH＝DH＝CD＝3．
∴OH＝＝4，
∵OC⊥CF，CH⊥OE，
∴△OCH∽△OEC，
∴，
∴，
∴OE＝．
∴AE＝OA+OE＝5+＝；
②过点F作FG⊥AB，交AB的延长线于点G，如图，

∵∠OCF＝∠FGE＝90°，∠CEO＝∠GEF，
∴△OCE∽△FGE．
∴，
设FG＝4k，则FE＝5k，
∴EG＝＝3k，
∵DH⊥AB，FG⊥AB，
∴DH∥FG．
∴，
∴，
解得：k＝．
∴FG＝4k＝5．
∴△AEF的面积＝×AE•FG＝．
25．（2021•德阳）如图，已知：AB为⊙O的直径，⊙O交△ABC于点D、E，点F为AC的延长线上一点，且∠CBF＝∠BOE．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若AB＝4，∠CBF＝45°，BE＝2EC，求AD和CF的长．

【解答】（1）证明：连结AE，OE，

∵∠BAE＝∠BOE，∠CBF＝∠BOE，
∴∠BAE＝∠CBF，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，
∴∠ABE+∠CBF＝90°，
即∠ABF＝90°，
∴BF⊥AB，
∴BF是⊙O的切线；
（2）解：过点C作CG⊥BF于点G，连结BD，

∵∠CBF＝45°，
∴∠ABE＝90°﹣∠CBF＝45°，
在Rt△ABE中，AB＝4，
∴AE＝BE＝4×sin45°＝4，
∵BE＝2EC，
∴EC＝2，BC＝6，
在Rt△CBG中，∠CBG＝45°，BC＝6，
∴CG＝BG＝3，
∵CG⊥BF，BF⊥AB，
∴AB∥CG，
∴△FCG∽△FAB，
∴＝，
∴＝，
∴FG＝9，
∴BF＝12，
在Rt△FCG中，CF＝＝6，
在Rt△ABF中，AF＝＝8，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
又∵∠BAD＝∠BAF，
∴cos∠BAD＝cos∠BAF，
即＝，
∴＝，
∴AD＝．
一十三．圆的综合题（共3小题）
26．（2020•德阳）如图，在⊙O中，弦AB与直径CD垂直，垂足为M，CD的延长线上有
一点P，满足∠PBD＝∠DAB．过点P作PN⊥CD，交OA的延长线于点N，连接DN交AP于点H．
（1）求证：BP是⊙O的切线；
（2）如果OA＝5，AM＝4，求PN的值；
（3）如果PD＝PH，求证：AH•OP＝HP•AP．

【解答】（1）证明：如图，连接BC，OB．
∵CD是直径，
∴∠CBD＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠C＝∠CBO，
∵∠C＝∠BAD，∠PBD＝∠DAB，
∴∠CBO＝∠PBD，
∴∠OBP＝∠CBD＝90°，
∴PB⊥OB，
∴PB是⊙O的切线．

（2）解：∵CD⊥AB，
∴PA＝PB，
∵OA＝OB，OP＝OP，
∴△PAO≌△PBO（SSS），
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠AMO＝90°，
∴OM＝＝＝3，
∵∠AOM＝∠AOP，∠OAP＝∠AMO，
∴△AOM∽△POA，
∴＝，
∴＝，
∴OP＝，
∵PN⊥PC，
∴∠NPC＝∠AMO＝90°，
∴＝，
∴＝，
∴PN＝．

（3）证明：∵PD＝PH，
∴∠PDH＝∠PHD，
∵∠PDH＝∠POA+∠OND，∠PHD＝∠APN+∠PND，
∵∠POA+∠APO＝90°，
∵PN⊥OP，
∴∠OPN＝90°，
∴∠APN+∠APO＝90°，
∴∠POA＝∠APN，
∴∠ANH＝∠PND，
∵∠PDN＝∠PHD＝∠AHN，
∴△NAH∽△NPD，
∴＝，
∵∠APN＝∠POA，∠PAN＝∠PAO＝90°，
∴△PAN∽△OAP，
∴＝，
∴＝，
∴＝＝，
∴AH•OP＝HP•AP．

27．（2019•德阳）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OE⊥BC于点H，交⊙O于点E，点D为OE的延长线上一点，DC的延长线与BA的延长线交于点F，且∠BOD＝∠BCD，连接BD、AC、CE．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）过E作EG⊥FD于点G，求证：△CHE≌△CGE；
（3）如果AF＝1，sin∠FCA＝，求EG的长．

【解答】（1）证明：如图，连接OC，

∵OE⊥BC，
∴∠OHB＝90°，
∴∠OBH+∠BOD＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OBH＝∠OCB，
∵∠BOD＝∠BCD，
∴∠BCD+∠OCB＝90°，
∴OC⊥CD，
∵点C为⊙O上一点，
∴DF为⊙O的切线；

（2）解：∵∠OCD＝90°，
∴∠ECG+∠OCE＝90°，
∵OC＝OE，
∴∠OCE＝∠OEC，
∴∠ECG+∠OEC＝90°，
∵∠OEC+∠HCE＝90°，
∴∠ECG＝∠HCE，
在△CHE和△CGE中，，
∴△CHE≌△CGE（AAS）；

（3）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，
∵DF为⊙O的切线，
∴∠OCA+∠FCA＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠FCA＝∠ABC，
∴sin∠ABC＝sin∠FCA＝，设AC＝a，则AB＝3a，
∴BC＝＝＝a，
∵∠FCA＝∠ABC，∠AFC＝∠CFB，
∴△ACF∽△CFB，
∴＝＝＝，
∵AF＝1，
∴CF＝，
∴BF＝＝2，
∴BF﹣AF＝AB＝1，
∴OC＝，BC＝，
∵OE⊥BC，
∴CH＝BC＝，
∴OH＝＝＝，
∴HE＝OE﹣OH＝﹣，
∵△CHE≌△CGE，
∴EG＝HE＝﹣．
28．（2018•德阳）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点H是△ABC的内心，
AH的延长线和三角形ABC的外接圆O相交于点D，连接DB．
（1）求证：DH＝DB；
（2）过点D作BC的平行线交AC、AB的延长线分别于点E、F，已知CE＝1，圆O的直径为5．
①求证：EF为圆O的切线；
②求DF的长．

【解答】解：（1）证明：连接HB，
∵点H是△ABC的内心，
∴∠DAC＝∠DAB，∠ABH＝∠CBH，
∵∠DBC＝∠DAC，
∴∠DHB＝∠DAB+∠ABH＝∠DAC+∠CBH，
∵∠DBH＝∠DBC+∠CBH，
∴∠DHB＝∠DBH，
∴DH＝DB；

（2）①连接OD，
∵∠DOB＝2∠DAB＝∠BAC
∴OD∥AC，
∵AC⊥BC，BC∥EF，
∴AC⊥EF，
∴OD⊥EF，
∵点D在⊙O上，
∴EF是⊙O的切线；

②过点D作DG⊥AB于G，
∵∠EAD＝∠DAB，
∴DE＝DG，
∵DC＝DB，∠CED＝∠DGB＝90°，
∴△CDE≌△BDG，
∴GB＝CE＝1，
在Rt△ADB中，DG⊥AB，
∴∠DAB＝∠BDG，
∵∠DBG＝∠ABD，
∴△DBG∽△ABD，
∴，
∴DB2＝AB•BG＝5×1＝5，
∴DB＝，DG＝2，
∴ED＝2，
∵H是内心，
∴AE＝AG＝4，
∵DO∥AE，
∴△OFD∽△AFE，
∴，
∴，
∴DF＝．

一十四．轴对称-最短路线问题（共1小题）
29．（2019•德阳）如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，BC＝AD，点E为AD的中点，点F为AE的中点，AC⊥CD，连接BE、CE、CF．
（1）判断四边形ABCE的形状，并说明理由；
（2）如果AB＝4，∠D＝30°，点P为BE上的动点，求△PAF的周长的最小值．

【解答】解：（1）四边形ABCE是菱形，理由如下：
∵点E是AD的中点，
∴AE＝AD．
∵BC＝AD，
∴AE＝BC．
∵BC∥AD，即BC∥AE．
∴四边形ABCE是平行四边形
∵AC⊥CD，点E是AD的中点，
∴CE＝AE＝DE，
∴四边形ABCE是菱形
（2）由（1）得，四边形ABCE是菱形．
∴AE＝EC＝AB＝4，且点A、C关于BE对称
∵点F是AE的中点，AF＝AE＝2
∴当PA+PF最小时，△PAF的周长最小
即点P为CF与BE的交点时，△PAF的周长最小，
此时△PAF的周长＝PA+PF+AF＝CF+AF，
在Rt△ACD中，点E是AD的中点，则CE＝DE，
∠ECD＝∠D＝30°，∠ACE＝90°﹣30°＝60°．
∴△ACE是等边三角形．
∴AC＝AE＝CE＝4．
∵AF＝EF，CF⊥AE
∴CF＝＝2
△PAF的周长最小＝CF+AF＝2．
一十五．旋转的性质（共1小题）
30．（2021•德阳）如图，点E是矩形ABCD的边BC上一点，将△ABE绕点A逆时针旋转至△AB1E1的位置，此时E、B1、E1三点恰好共线．点M、N分别是AE和AE1的中点，连接MN、NB1．
（1）求证：四边形MEB1N是平行四边形；
（2）延长EE1交AD于点F，若EB1＝E1F，，判断△AE1F与△CB1E是否全等，并说明理由．

【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∵△AB1E1是△ABE旋转所得的，
∴AE＝AE1，∠AB1E1＝∠AB1E＝∠B＝90°，
∴B1是EE1的中点，
∴EB1＝EE1，
∵M、N分别是AE和AE1的中点，
∴MN∥EB1，MN＝EE1，
∴EB1＝MN，
∴四边形MEB1N为平行四边形，
（2）△AE1F≌△CB1E，
证明：连接FC，

∵EB1＝B1E1＝E1F，
∴＝，
同理，S＝S△FEC，
∵＝，
∴S△EAF＝S△FEC，
∵AF∥EC，
∴△AEF底边AF上的高和△FEC底边上的高相等．
∴AF＝EC．
∵AF∥EC，
∴∠AFE＝∠FEC，
在△AE1F和△CB1E中，
，
∴△AE1F≌△CB1E（SAS）．
一十六．列表法与树状图法（共4小题）
31．（2022•德阳）据《德阳县志》记载，德阳钟鼓楼始建于明朝成化年间，明末因兵灾焚毁，清乾隆五十二年重建．在没有高层建筑的时代，德阳钟鼓楼一直流传着“半截还在云里头”的故事．1971年，因破四旧再次遭废．现在的钟鼓楼是老钟鼓楼的仿制品，于2005年12月27日破土动工，2007年元旦落成，坐落东山之巅，百尺高楼金碧辉煌，流光溢彩；万丈青壁之间，银光闪烁，蔚为壮观，已经成为人们休闲的打卡胜地．
学校数学兴趣小组在开展“数学与传承”探究活动中，进行了“钟鼓楼知识知多少”专题调查活动，将调查问题设置为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四类．他们随机抽取部分市民进行问卷调查，并将结果绘制成了如下两幅统计图：

（1）设本次问卷调查共抽取了m名市民，图2中“不太了解”所对应扇形的圆心角是n度，分别写出m，n的值；
（2）根据以上调查结果，在12000名市民中，估计“非常了解”的人数有多少？
（3）为进一步跟踪调查市民对钟鼓楼知识掌握的具体情况，兴趣组准备从附近的3名男士和2名女士中随机抽取2人进行调查，请用列举法（树状图或列表）求恰好抽到一男一女的概率．
【解答】解：（1）由图（1）可知：“基本了解”的人数为40人，
由图（2）可知：“基本了解”的人数占总数的20%，
∴m＝40÷20%＝200（人）；
由图（1）可知：“比较了解”有100人，
∴“比较了解”所对应扇形的圆心角是180°，
由图2知：“不太了解”所对应扇形的圆心角是n＝360°×（50%﹣20%﹣28%）＝7.2度；
（2）由图2知：“非常了解”的人数占总人数的28%，
于是估计在12000名市民中，“非常了解”的人数有12000×28%＝3360（人）．
答：在12000名市民中，估计“非常了解”的人数有3360人．
（3）从3名男士和2名女士中随机抽取2人进行调查，抽查情况列表如下：

由上表可知，一共有20种等可能，其中恰好抽到一男一女的情况有12中，
∴恰好抽到一男一女的概率为．
32．（2021•德阳）为庆祝中国共产党建党100周年，某校举行了“传党情，颂党恩”知识竞赛．为了解全校学生知识掌握情况，学校随机抽取部分竞赛成绩制定了不完整的统计表和频数分布直方图．
分数x（分）
频数（人）
频率
90≤x＜100
80
a
80≤x＜90
60
0.3
70≤x＜80

0.18
60≤x＜70
b
0.12
（1）请直接写出表中a，b的值，并补全频数分布直方图；
（2）竞赛成绩在80分以上（含80分）记为优秀，请估计该校3500名参赛学生中有多少名学生成绩优秀；
（3）为了参加市上的“传党情，颂党恩”演讲比赛，学校从本次知识竞赛成绩优秀的学生中再次选拔出演讲水平较好的三位同学，其中男生一位、女生两位，现从中任选两位同学参加，请利用画树状图或列表的方法，求选中的两位同学恰好是一男一女的概率．

【解答】解：（1）样本容量为60÷0.3＝200，
∴a＝80÷200＝0.4，b＝200×0.12＝24，
70≤x＜80对应的频数为200×0.18＝36，
补全图形如下：

（2）估计该校3500名参赛学生中成绩优秀的学生人数为3500×（0.4+0.3）＝2450（名）；
（3）画树状图如下：

由树状图知，共有6种等可能结果，其中选中的两位同学恰好是一男一女的有4种结果，
所以选中的两位同学恰好是一男一女的概率为＝．
33．（2019•德阳）某汽车销售公司一位销售经理1～5月份的汽车销售统计图如下：

（1）已知1月的销售量是2月的销售量的3.5倍，则1月的销售量为　7　辆．在图2中，2月的销售量所对应的扇形的圆心角大小为　36°　．
（2）补全图1中销售量折线统计图．
（3）已知4月份销售的车中有3辆国产车和2辆合资车，国产车分别用G1、G2、G3表示，合资车分别用H1、H2表示，现从这5辆车中随机抽取两辆车参加公司的回馈活动，请用列举法（画树状图或列表）求出“抽到的两辆车都是国产车“的概率．
【解答】解：（1）1～5月份汽车销售总量为2÷10%＝20（辆），
∴1～2月份共销售汽车20﹣2﹣5﹣4＝9（辆），
∵1月的销售量是2月的销售量的3.5倍，
∴2月的销售量为9÷4.5＝2（辆），1月的销售量为2×3.5＝7（辆），
2月销售量所对应的扇形圆心角为＝36°，
故答案为：7，36°；
（2）补全图1中销售量折线统计图：

（3）画树状图如下：

共有20种等可能的结果，其中两辆车都是国产车的情况有6种，
∴“抽到的两辆车都是国产车“的概率P＝＝．
34．（2018•德阳）某网络约车公司近期推出了”520专享”服务计划，即要求公司员工做到“5星级服务、2分钟响应、0客户投诉”，为进一步提升服务品质，公司监管部门决定了解“单次营运里程”的分布情况．老王收集了本公司的5000个“单次营运里程”数据，这些里程数据均不超过25（公里），他从中随机抽取了200个数据作为一个样本，整理、统计结果如下表，并绘制了不完整的频数分布直方图（如图）．
组别
单次营运里程“x”（公里）
频数
第一组
0＜x≤5
72
第二组
5＜x≤10
a
第三组
10＜x≤15
26
第四组
15＜x≤20
24
第五组
20＜x≤25
30
根据统计表、图提供的信息，解答下面的问题：
（1）①表中a＝　48　；②样本中“单次营运里程”不超过15公里的频率为　0.73　；③请把频数分布直方图补充完整；
（2）请估计该公司这5000个“单次营运里程”超过20公里的次数；
（3）为缓解城市交通压力，维护交通秩序，来自某市区的4名网约车司机（3男1女）成立了“交通秩序维护”志愿小分队，若从该小分队中任意抽取两名司机在某一路口维护交通秩序，请用列举法（画树状图或列表）求出恰好抽到“一男一女”的概率．

【解答】解：（1）①由条形图知a＝48；
②样本中“单次营运里程”不超过15公里的频率为＝0.73；
③补全图形如下：

故答案为：①48；②0.73；

（2）估计该公司这5000个“单次营运里程”超过20公里的次数为5000×＝750次；

（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中恰好抽到一男一女的结果数为6，
∴恰好抽到“一男一女”的概率为＝．
一十七．游戏公平性（共1小题）
35．（2020•德阳）为了加强学生的垃圾分类意识，某校对学生进行了一次系统全面的垃圾分类宣传．为了解这次宣传的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行了一次测试，测试结果共分为四个等级：A．优秀；B．良好；C．及格；D．不及格．根据调查统计结果，绘制了如下所示的不完整的统计表．
垃圾分类知识测试成绩统计表
测试等级
百分比
人数
A．优秀
5%
20
B．良好

60
C．及格
45%
m
D．不及格
n

请结合统计表，回答下列问题：
（1）求本次参与调查的学生人数及m，n的值；
（2）如果测试结果为“良好”及以上即为对垃圾分类知识比较了解，已知该校学生总数为5600人，请根据本次抽样调查的数据估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数；
（3）为了进一步在学生中普及垃圾分类知识，学校准备再开展一次关于垃圾分类的知识竞赛，要求每班派一人参加．某班要从在这次测试成绩为优秀的小明和小亮中选一人参加．班长设计了如下游戏来确定人选，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4．然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，两人同时从袋中各摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明参加，否则小亮参加．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．
【解答】解：（1）本次参与调查的学生人数为：20÷5%＝400（人），m＝400×45%＝180，
∵400﹣20﹣60﹣180＝140，
∴n＝140÷400×100%＝35%；
（2）5600×＝1120（人），
即估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数为1120人；
（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中和为奇数的结果有8种，
∴P（小明参加）＝＝，
P（小亮参加）＝1﹣＝，
∵≠，
∴这个游戏规则不公平．