2022年湖南省长沙市开福区北雅中学中考数学二模试卷（含解析）

2022年湖南省长沙市开福区北雅中学中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 在实数，，，中，最小的实数是

A.  B.  C.  D.

2. 北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受大家喜爱．某个“冰墩墩”的视频播放量超亿，将数据用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 下列计算正确的是

A.  B.
C.  D.

4. 下列几何体中，其主视图、左视图和俯视图完全相同的是

A.  B.
C.  D.

5. 雅乐登山队大本营所在地的气温为，海拔每升高气温下降，登山队员由大本营向上登高时，他们所在位置的气温为，则与的函数关系式为

A.  B.  C.  D.

6. 已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中斜边与直线交于点若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

7. 下列说法中，正确的是

A. 为了保证大家端午节吃上放心的粽子，质监部门对长沙市市场上的粽子质量实行全面调查
B. 一组数据，，，，，，的众数是，中位数是
C. 明天的降水概率为，则明天的时间下雨
D. 若平均数相同的甲、乙两组数据，，，则乙组数据更稳定

8. 如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯的倾斜角为，大厅两层之间的距离为米，则自动扶梯的长约为

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

9. 我国南宋数学家杨辉在田亩比类乘除算法中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积平方步，宽比长少步，问宽和长各几步．设长为步，则可列方程为

A.  B.
C.  D.

10. 四位同学在研究函数是常数时，甲发现当时，函数有最小值；乙发现是方程的一个根；丙发现函数的最小值为；丁发现当时，，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 分解因式：______．
12. 小丽的笔试成绩为分，面试成绩为分，若笔试成绩、面试成绩按：计算平均成绩，则小丽的平均成绩是______分．
13. 如图，在中，，，是的一条角平分线．若，则的面积为______．

14. 已知二元一次方程组，则的值为______．
15. 如图，菱形的对角线、相交于点，，垂足为，，，则的长为______ ．
    
    
     

16. 如图，平面直角坐标系中，点的坐标为，与轴相切，点在轴正半轴上，与相切于点若，则点的坐标为______．

三、解答题（本大题共9小题，共72分）

17. 计算：．
18. 先化简，再求值：，其中．
19. 如图，平行四边形的对角线与相交于点，小雅按以下步骤作图：以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，；以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；过点作射线交于点．
    根据小雅的作图方法，得到证明过程如下：
    由作图可知，在和中，，
    ≌______此处填理论依据，
    ．
    若，求线段的长．

20. “赏中华诗词，寻文化基因，品文学之美”，某校对全体学生进行了古诗词知识测试，将成绩分为一般、良好、优秀三个等级，从中随机抽取部分学生的测试成绩，根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：
    
    本次抽样调查的人数为______；
    将条形统计图补充完整；
    该校共有名学生，根据抽样调查的结果，请你估计测试成绩达到优秀的学生人数；
    现从本次测试成绩前四名学生、、、中，任选两名同学参加市级知识测试，请用树状图或列表法求出同学参加的概率．
21. 已知：如图，是的直径，，是上两点，，过点作的延长线于点，连接，．
    求证：是的切线；
    若，，求的半径．

22. 为增加学生阅读量，雅韵中学购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，购买“科普类”图书花费了元，购买“文学类”图书花费了元，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多元，购买“科普类”图书的数量与“文学类”图书的数量相等．
    求这两种图书的单价分别是多少元？
    学校决定再次购买这两种图书共本，且总费用超过元且不超过元，则学校有哪几种购买方案？
23. 在正方形中，是的一点，在延长线上取点使，过点作交于点，交于点，交于点．
    证明：≌；
    若是的中点，证明：；
    在的条件下，求的值．

24. 如图，的半径为，若点在射线上，满足，则称点是点关于的“反演点”．
    若点关于的“反演点”是本身，那么点与的位置关系为______．
    A.点在内
    B.点在上
    C.点在外
    如图，若的半径为，点是点关于的“反演点”，且，过点的直线与相切于点，求长．
    如图，若的半径为，点在上，点在内，且，点、分别是点、关于的“反演点”，过点作且，连接，，求的最小值．

25. 如图，抛物线其中与轴交于、两点，交轴于点．
    直接写出的度数和线段的长用表示；
    如图，若，点在抛物线的对称轴上，，求与的周长之比；
    如图，若，动点在线段上，过点作轴的垂线分别与交于点，与抛物线交于点试问：抛物线上是否存在点，使得与的面积相等，且线段的长度最小？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，
在实数，，，中，最小的实数是．
故选：．
正实数都大于，负实数都小于，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
 

2.【答案】

【解析】解：，
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】

【解析】解：、与不是同类项，故不能合并，故A不符合题意．
B、原式，故B不符合题意．
C、原式，故C符合题意．
D、原式，故D不符合题意．
故选：．
根据合并同类项法则、幂的乘方运算法则、二次根式的乘法运算以及二次根式的性质即可求出答案．
本题考查合并同类项法则、幂的乘方运算法则、二次根式的乘法运算以及二次根式的性质，本题属于基础题型．
 

4.【答案】

【解析】解：圆柱的主视图和左视图都是矩形，但俯视图是一个圆形，不符合题意；
B.圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆带圆心，不符合题意；
C.长方体的三视图都是长方形，但这些矩形的长与宽不尽相同，不符合题意；
D.球的三视图都是大小相同的圆，符合题意．
故选：．
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
 

5.【答案】

【解析】解：根据题意得：．
故选：．
登山队员由大本营向上登高时，他们所在地的气温为，根据登山队大本营所在地的气温为，海拔每升高气温下降，可求出与的关系式．
本题考查根据实际问题列一次函数式，解题的关键是读懂题意，理解气温随着高度变化，某处的气温地面的气温降低的气温．
 

6.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质，解题的关键是借助平行线和三角形内外角转化角．先求出 ，再根据平行线的性质可知 ．
【解答】
解：设 与直线 交于点 ，
则 ．
又直线 ，
．

故选 C ．   

7.【答案】

【解析】解：为了保证大家端午节吃上放心的粽子，质监部门对长沙市市场上的粽子质量实行抽样调查，原说法错误，故此选项不符合题意；
B.一组数据，，，，，，的众数是，中位数是，原说法错误，故此选项不符合题意；
C.明天的降水概率为，则明天不一定会下雨，原说法错误，故此选项不符合题意；
D.若平均数相同的甲、乙两组数据，，，则乙组数据更稳定，原说法正确，故此选项符合题意；
故选：．
依据全面调查、抽样调查、众数、中位数、概率以及方差的概念进行判断，即可得出结论．
本题主要考查了全面调查、抽样调查、众数、中位数、概率以及方差的概念．方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则各数据与平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
 

8.【答案】

【解析】解：在中，，
则米，
故选：．
根据正弦的定义计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握正弦的定义是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：长为步，宽比长少步，
宽为步．
依题意，得：．
故选：．
由长和宽之间的关系可得出宽为步，根据矩形的面积为平方步，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：若甲、丙的结论正确，设抛物线解析式为，
即；
当时，，所以乙的结论错误；
当时，，所以丁的结论正确．
故选：．
若甲、丙的结论正确，利用顶点式写出抛物线解析式为，由于时，，则乙的结论错误；时，，则丁的结论正确．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
 

11.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．
运用平方差公式进行因式分解的多项式的特征： 二项式； 两项的符号相反； 每项都能化成平方的形式．
先提取公因式 ，再对余下的项利用平方差公式分解因式．
【解答】
解： ，
，
．
故答案为 ．   

12.【答案】

【解析】解：小丽的平均成绩是分，
故答案为：．
根据加权平均数的定义计算可得．
本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求，这两个数的平均数，对平均数的理解不正确．
 

13.【答案】

【解析】解：作于．
平分，，，
．
的面积为．
故答案是：．
要求的面积，现有可作为三角形的底，只需求出该底上的高即可，需作于根据角平分线的性质求得的长，即可求解．
此题主要考查角平分线的性质；熟练运用角平分线的性质定理，是很重要的，作出并求出三角形边上的高时解答本题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：，
，可得，
解得，
把代入，可得：，
解得，
原方程组的解是，
．
故答案为：．
首先应用加减消元法，求出方程组的解，然后用减去即可．
此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．
 

15.【答案】

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，，
，，
，
又，
，
，
解得，
故答案为：．
根据菱形的性质和勾股定理，可以求得的长，然后根据等面积法即可求得的长．
本题考查菱形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确等面积法，利用数形结合的思想解答．
 

16.【答案】

【解析】解：当点在点是上方时，如图，
过点分别作轴于点、轴于点，连接，

轴，轴，
四边形为矩形，
，，
与轴相切，
为的半径，
点坐标为，
，，
是切线，
，
，
，
在中，根据勾股定理得，
，
，
点在轴的正半轴上，
点坐标为，
当点的下方时，如图，

过点作轴于，过点作于，连接，
同的方法得，，
故答案为：或．
分点在点上方和下方两种情况：连接，过点分别作轴、轴，利用根据圆的切线性质可知、为直角三角形，，利用直角三角形中角的性质和勾股定理分别求出、的长度，进而求出、的长度即可求得答案．
本题考查了圆的切线的性质、矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题关键是把所求的线段放在直角三角形中利用勾股定理求解和已知圆的切线作半径．
 

17.【答案】解：


．

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
 

18.【答案】解：

，
当时，原式

．

【解析】先去括号，再合并同类项，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

19.【答案】

【解析】解：在和中，
，
≌，
．
故答案为：，；

，
，
四边形是平行四边形，
，
，
．
根据证明三角形全等即可；
利用三角形的中位线定理解决问题即可．
本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行四边形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
 

20.【答案】人

【解析】解：本次抽样调查的人数为：人，
故答案为：人；
优秀的人数为：人，
将条形统计图补充完整如下：

估计测试成绩达到优秀的学生人数为：人；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中同学参加的结果有种，
同学参加的概率为．
由良好的人数除以所占的百分比即可；
求出优秀的人数，将条形统计图补充完整即可；
由该校共有学生人数乘以测试成绩达到优秀的学生人数所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中同学参加的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率以及统计表和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】证明：连接，

，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：连接，
是的直径，
，

，，
，
，
，
，
，
，
的半径为．

【解析】连接，根据等腰三角形的性质得到，得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论；
连接，根据直角三角形的性质得到，根据圆周角定理得到，再解求得各边长度便可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】解：设“科普类”图书的单价为元，则“文学类”图书的单价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则，
答：“科普类”图书的单价为元，则“文学类”图书的单价为元；
设购买“科普类”图书本，则购买“文学类”图书本，
由题意得：，
解得：，
为正整数，
的值为、、，
学校有种购买方案：
购买“科普类”图书本，“文学类”图书本；
购买“科普类”图书本，“文学类”图书本；
购买“科普类”图书本，“文学类”图书本．

【解析】设“科普类”图书的单价为元，则“文学类”图书的单价为元，由题意：购买“科普类”图书花费了元，购买“文学类”图书花费了元，购买“科普类”图书的数量与“文学类”图书的数量相等．列出分式方程，解方程即可；
设购买“科普类”图书本，则购买“文学类”图书本，由题意：总费用超过元且不超过元，列出一元一次不等式，解不等式，即可解决问题．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
 

23.【答案】证明：四边形为正方形，
，
，
，
，
，，
≌．
证明：由可得≌，
，
为的中点，
，
，
四边形为正方形，
，
，
，
，
≌，
．
解：由知≌，
，
，
，
，
，
，
，，
∽，
．
设正方形的边长为，
则，，
，
，，
．

【解析】根据，，，即可证明．
证明≌即可得出结论．
由知≌，可得，由，可得，进而可得，则，易证∽，则，设正方形的边长为，则，，，，即可得出答案．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
 

24.【答案】

【解析】解：由题意得：，
，
点在上，
故答案为：；
如图，

连接，
点是点关于的“反演点”，
，
，
，
，
是的切线，
，
，
；
如图，

点、分别是点、关于的“反演点”，
点在上，，
，，
为公共角，，，
∽，
，
，
，
当、、共线时，最小，最小为，
，
．
因为，所以，从而得出点在圆上；
连接，根据得出的值，洁儿根据勾股定理求得；
可证得∽，从而得出，进而得出当、、共线时，最小，进一步求得结果．
本题考查了点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是运用相似三角形性质．
 

25.【答案】解：在中，令得，令得或，
，，，
，，，
，，
；
答：的度数为，线段的长是；
当时，抛物线为，
结合知，，，
抛物线对称轴为直线，
设，
，
，
解得，
，
，
而，
，
是等腰直角三角形，
由知，
是等腰直角三角形，
，
∽，
与的周长之比；
时，存在点，使得与的面积相等，且线段的长度最小，理由如下：
过作，垂足为，

设点坐标为，则，，．
，
，
，
点在直线的左侧时，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．
在中，，
时，取最小值此时点的坐标为；
点在直线的右侧时，点的坐标为，
同理，，
时，取最小值此时点的坐标为
综上可知存在满足题意的点，坐标为或为

【解析】在中，令得，令得或，得，，，即可得的度数为，线段的长是；
当时，抛物线为，设，根据，有，解得，可证是等腰直角三角形，∽，即知与的周长之比；
过作，垂足为，设点坐标为，则，，由，可得，分两种情况：点在直线的左侧时，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，在中，，即得时，取最小值此时点的坐标为；点在直线的右侧时，点的坐标为，同理可得时，取最小值此时点的坐标为
本题考查二次函数的综合应用，涉及等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．