2021-2022学年江西省铅山县第一中学高二下学期开学考试数学（理）试题（解析版）

这是一份2021-2022学年江西省铅山县第一中学高二下学期开学考试数学（理）试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江西省铅山县第一中学高二下学期开学考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则（            ）A． B． C． D．【答案】D【分析】解不等式求得集合，由此求得.【详解】因为的解为，所以，所以.故选：D2．已知实数a，b满足，则下列不等式中恒成立的是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用特殊值排除错误选项，利用函数的单调性证明正确选项.【详解】时，，但，所以A选项错误.时，，但，所以B选项错误.时，，但，所以C选项错误.在上递增，所以，即D选项正确.故选：D3．已知平面向量，，若，则实数的值为（       ）A．10 B．8 C．5 D．3【答案】A【分析】由，得，将坐标代入化简计算可得答案【详解】因为，，所以.因为，所以，解得.故选：A.4．为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为50的样本，则分段的间隔为（       ）A．20 B．25 C．40 D．50【答案】A【分析】根据系统抽样定义可求得结果．【详解】分段的间隔为故选：A5．在中，已知，则的形状是（       ）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．正三角形【答案】B【分析】利用诱导公式、两角和的正弦公式化简已知条件，由此判断出三角形的形状.【详解】由，得，得，由于，所以，所以.故选：B6．在假期里，有5名同学去社区做防疫志愿者，根据需要，要安排这5名同学去甲、乙两个核酸检测点，每个检测点至少去2名同学，则不同的安排方法共有（       ）A．10种 B．20种 C．24种 D．30种【答案】B【分析】根据题意，将题目分2步进行分析，首先将5个人分为2和3的两组，然后将2组全排列，安排到两个社区，根据分步计数原理计算可得结果.【详解】根据题意，分2步进行分析：①将5人分为2组，每组至少2人，所以只能分为2和3的两组，有种方法；②将分好的2组全排列，安排到2个社区，有种情况，则共有种不同的安排方法.故选：B.7．执行如图所示的算法框图，则输出的结果是（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】列举出循环的每一步，利用裂项相消法可求得输出结果.【详解】第一次循环，不成立，，；第二次循环，不成立，，；第三次循环，不成立，，；以此类推，最后一次循环，不成立，，.成立，跳出循环体，输出.故选：B.8．为庆祝中国共产党成立100周年，某学校组织“红心向党”歌咏比赛，前三名被甲、乙、丙获得．下面三个结论：“甲为第一名，乙不是第一名，丙不是第三名”中只有一个正确，由此可推得获得第一、二、三名的依次是（       ）A．甲、乙、丙 B．乙、丙、甲C．丙、甲、乙 D．乙、甲、丙【答案】B【分析】分别假设甲为第一名为正确的、乙不是第一名为正确的、丙不是第三名为正确的三种情况，结合题意分析，即可得答案.【详解】若甲为第一名为正确的，则乙不是第一名也正确，不符合题意；若乙不是第一名为正确的，则甲为第一名为错误的，所以丙为第一名，此时丙不是第三名也是正确的，不符合题意，若丙不是第三名为正确的，则甲为第一名为错误的，乙不是第一名为错误的，所以乙为第一名，丙为第二名，甲为第三名，符合题意，故选：B9．已知实数满足则的最小值是（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据已知条件把转化为圆的标准方程，可得到圆心坐标及半径，而可转化为即可看到圆上的点到直线距离的最小值.【详解】，，即圆心，半径，，可看到圆上的点到直线距离，圆上的点到直线距离的最小值为圆心到直线距离减去半径即，，圆上的点到直线距离的最小值为，的最小值为故选：A【点睛】本题考查了圆上的点到定直线的距离的最小值，考查了学生的计算能力，属于一般题.10．已知x＞0、y＞0，且1，若恒成立，则实数m的取值范围为（       ）A．(1,9) B．(9,1)C．[9,1] D．(∞,1)∪(9,+∞)【答案】B【分析】应用基本不等式“1”的代换求的最小值，注意等号成立条件，再根据题设不等式恒成立有，解一元二次不等式求解集即可.【详解】由题设，，当且仅当时等号成立，∴要使恒成立，只需，故，∴.故选：B.11．2021年是中国共产党百年华诞，3月24日，中宣部发布中国共产党成立100周年庆祝活动标识（图1），标识由党徽、数字“100”“1921”“2021”和56根光芒线组成，生动展现中国共产党团结带领中国人民不忘初心、牢记使命、艰苦奋斗的百年光辉历程.其中“100”的两个“0”设计为两个半径为的相交大圆，分别内含一个半径为1的同心小圆，且同心小圆均与另一个大圆外切（图2）.已知，在两大圆的区域内随机取一点，则该点取自两大圆公共部分的概率为（       ） A． B． C． D．【答案】B【分析】求出两圆相交公共部分两个弓形面积，结合两圆面积可得概率．【详解】如图，是两圆心，是两圆交点坐标，四边形边长均为，又，所以，所以，四边形是正方形，，弓形面积为，两个弓形面积为，两圆涉及部分面积为所以所求概率为．故选：B．12．已知函数，函数，若，，使得不等式成立，则实数的取值范围为A． B．C． D．【答案】D【解析】令t=，利用二次函数图像的性质求函数f（x）的最大值，令u=sinx∈[0,]对函数g（x）按a=0,a>0,a<0进行讨论求出函数最大值，由题可得f（x）max<g（x）max，解不等式即可得到所求范围．【详解】，当时，令t=可得,对称轴为，故最大值为，即f(x)得最大值为，当时，令u=sinx∈[0,],则,当a=0时，y=2,当a<0时，二次函数对称轴为，故函数在对称轴处取到最大值为2-,当a>0时，开口向上，0距对称轴远，故当u=0时取到最大值为2-a,所以 ，由题意可得f（x）max<g（x）max，即当a<0时，，解得，故a<0,当a=0时，，满足题意，当a>0时，，解得，综上可得，故选D．【点睛】本题考查函数恒成立和有解问题的解法，考查利用换元法转为二次函数求最值问题，属于中档题．二、填空题13．在展开式中，含项的系数为________．（结果用数值表示）【答案】【分析】展开式中，通项公式：，依题意，只需考虑时，即只需中项的系数，利用其展开式中通项公式即可得出．【详解】展开式中，通项公式：，依题意，只需考虑时，即只需中项的系数，其展开式中通项．令，解得．.故答案为：70．14．为研究我国人口增长情况，某同学统计了自1960年起到2019年60年中每十年人口净增长数量情况如下表：第个十年123456净增人口（亿）1.551.531.521.360.760.66 若该同学发现与间的回归方程为，则___________.（结果精确到0.001）【答案】1.922【分析】利用与在回归方程上，即可求出答案.【详解】由表可求，所以，解得.故答案为：1.922.15．《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百錢．欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何？意思是：“有大夫、不更、簪裹、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若大夫出6钱，则上造出的钱数为__________．【答案】【分析】将实际问题转化为等差数列的数学模型，根据前项和公式求出公差，结合通项公式即可求解.【详解】解：设大夫、不更、簪裹、上造、公士所出的钱数依次排成一列，构成数列.根据题意可知，等差数列的首项为，前5项和为100，设公差为 ，则，解得，所以上造出的钱数为.故答案为：16．已知实数，满足，则的取值范围是_______.【答案】【分析】画出不等式组表示的平面区域，令，数形结合可求出，由利用双勾函数的单调性可求得取值范围.【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，令，即，则可看作过原点的直线的斜率，观察图形可得，可解得，则，则，则，在单调递减，在单调递增，则当时，取得最小值为；当时，，当时，，则的最大值为，则的取值范围是.故答案为：.【点睛】方法点睛：线性规划常见类型，（1）可看作是可行域内的点到点的斜率；（2），可看作直线的截距问题；（3）可看作可行域内的点到点的距离的平方.三、解答题17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．求A和B的大小；若M，N是边AB上的点，，求的面积的最小值．【答案】（1），（2）【分析】利用正余弦定理化简即求解A和B的大小．利用正弦定理把CN、CM表示出来，结合三角函数的性质，即可求解的面积的最小值．【详解】解：，由正弦定理得：，，，可得，即;,,由．由余弦定理可得：，，．如图所示:设，,在中由正弦定理,得,由可知,,所以:,同理,由于,故，此时．故的面积的最小值为．【点睛】本题考查了正余弦定理的应用，三角函数的有界限求解最值范围，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．为了讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对党史的了解，某班级开展党史知识竞赛活动，现把50名学生的成绩绘制了如图所示的频率分布直方图．（1）求a的值并估计这50名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）用分层抽样的方法从成绩在，两组学生中抽取5人进行培训，再从这5人中随机抽取2人参加校级党史知识竞赛，求这2人来自不同小组的概率．【答案】（1）；平均成绩为；（2）．【分析】（1）根据小矩形的面积之和等于即可得a的值，由平均数的计算公式可求平均数；（2）求出成绩分别在，两组学生的人数，求出总的基本事件的个数以及这2人来自不同小组包含的基本事件的个数，利用古典概率公式即可求解.【详解】（1）根据频率分布直方图得：，解得：，平均成绩为：；（2）来自小组的有3人记为，，，来自小组的有2人记为，，从5人中随机抽取2人，基本事件为，，，，，，，，，共个，这2人来自不同组的有，，，，，共个，所以这2人来自不同小组的概率为．19．某中学共有名教职工.其中男教师名､女教师名.为配合“双减政策”该校在新学年推行“”课后服务.为缓解教师压力，在2021年9月10日教师节大会上该校就是否实行“弹性上下班”进行了调查.另外，为鼓舞广大教职工的工作热情，该校评出了十位先进教师进行表彰﹑并从他们中间选出三名教师作为教师代表在教师节大会上发言.(1)调查结果显示：有的男教师和的女教师支持实行“弹性上下班”制，请完成下列列联表﹒并判断是否有的把握认为支持实行“弹性上下班”制与教师的性别相关？ 支持实行“弹性上下班”制不支持实行“弹性上下班”制合计男教师   女教师   合计    (2)已知十位先进教师足按“分层抽样”的模式评选的，用表示三位发言教师的女教师人数，求随机变量的分布列和数学期望.参考公式：，其中.参考数据： 【答案】(1)列联表答案见解析，没有的把握认为支持实行“弹性上下班”制与教师的性别相关(2)分布列答案见解析，数学期望：【分析】（1）根据中学共有名教职工.其中男教师名､女教师名，其中有的男教师和的女教师支持实行“弹性上下班”制，完成列联表；根据表中数据求得，再与临界值表对照下结论；易知在此十名优秀教师中男教师人､女教师人，的可能取值为：，利用古典概型的概率，分别求得其相应概率，列出分布列，再求期望.【详解】(1)解：依题意：男､女教师支持实行“弹性上下班”制的人数分别为，完成列联表如下： 支持实行“弹性上下班”制不支持实行“弹性上下班”制合计男教师女教师合计 将数据代入公式，计算得，据此可知没有的把握认为支持实行“弹性上下班”制与教师的性别相关.(2)依题意，在此十名优秀教师中男教师人､女教师人.若用表示三位发言教师的女教师人数，则的可能取值为：，其概率分别为：随机变量的分布列如下：变量概率 随机变量的数学期望为：20．已知数列中，，（）.（1）求证：是等比数列，并求的通项公式；（2）数列满足，求数列的前项和为.【答案】（1）（2）【详解】试题分析：由已知式子变形可得是以为首项，为公比的等比数列，由等比数列的通项公式易得利用错位相减法，得到数列的前项和为解析：（1）由，（）知，又，∴是以为首项，为公比的等比数列，∴，∴（2），，两式相减得，∴点睛：本题主要考查数列的证明，错位相减法等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力，转化能力和计算能力．第一问中将已知的递推公式进行变形，转化为的形式来证明，还可以根据等比数列的定义来证明；第二问，将第一问中得到的结论代入，先得到的表达式，利用错位相减法，即可得到数列的前项和为．21．已知，函数.(1)若关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；(2)若关于的方程有两个不同实数根，求的取值范围.【答案】(1)；(2).【分析】(1)利用函数的单调性去掉法则转化成不等式组恒成立，再借助均值不等式计算作答.(2)求出方程的二根，再结合对数函数的意义讨论即可计算作答.【详解】(1)依题意，，，，，而恒有，于是得，，，而，当且仅当，即时取“=”，于是得，因此有，所以实数的取值范围是.(2)依题意，，由，因此，，，解得，，因原方程有两个不同实数根，则，解得且，所以的取值范围是.【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，函数的定义域为D，(1)成立⇔；(2)成立⇔.22．为了研究一种昆虫的产卵数和温度是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并做出了散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，两个变量并不呈现线性相关关系，现分别用模型①与模型②作为产卵数和温度的回归方程来建立两个变量之间的关系.温度20222426283032产卵数个61021246411332240048457667678490010241.792.303.043.184.164.735.77 26692803.571157.540.430.320.00012 其中，，，，附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.（1）根据表中数据，分别建立两个模型下关于的回归方程，并在两个模型下分别估计温度为时的产卵数.(与估计值均精确到小数点后两位)（参考数据：）（2）若模型①、②的相关指数计算分别为，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好.【答案】(1) ,；，.(2) 模型②的拟合效果更好.【详解】（1）对于模型①：设，则，其中，，所以，当时，估计产卵数为.对于模型②：设，则，其中， ，所以，当时，估计产卵数为.（2）因为，所以模型②的拟合效果更好.