2020-2021学年广东省广州市天河区高一（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年广东省广州市天河区高一（下）期末数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年广东省广州市天河区高一（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）（2021春•天河区期末）已知复数，若是纯虚数，则的共轭复数　　
A． B． C．1 D．
2．（5分）（2021春•天河区期末）把颜色分别为红、黄、白、紫的四个小球随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一个．事件“甲分得红色球”与事件“乙分得红色球”是　　
A．对立事件 B．相互独立事件
C．互斥但非对立事件 D．以上都不对
3．（5分）（2021春•天河区期末）某校高一甲、乙两个班分别有男生24名、15名，现用比例分配的分层随机抽样方法从两班男生中抽取样本量为13的样本，对两个班男生的平均身高进行评估．已知甲班、乙班男生身高的样本平均数分别为、，以所抽取样本的平均身高作为两个班男生的平均身高，则两个班男生的平均身高为　　
A． B． C． D．
4．（5分）（2021春•天河区期末）复平面内的平行四边形的顶点和是坐标原点）对应的复数分别为和，则点对应的复数为　　
A． B． C． D．
5．（5分）（2021春•天河区期末）如图，在棱长为2的正方体中，、分别为棱、的中点，则与平面所成角的正切值是　　

A． B． C． D．
6．（5分）（2021春•天河区期末）某运动队为了对、两名运动员的身体机能差异进行研究，将、两名运动员连续10天完成训练指标任务的综合得分绘成折线图，并提出下列四个结论，其中错误的结论是　　

A．第3天至第10天两名运动员综合得分均超过80分
B．第2天至第7天运动员的得分逐日提高
C．第2天至第3天运动员的得分增量大于运动员的得分增量
D．运动员第1天至第3天的得分方差大于第2天至第4天的得分的方差
7．（5分）（2021春•天河区期末）关于空间两条不同直线，和两个不同平面，，下列命题正确的是　　
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，则 D．若，，，则
8．（5分）（2021春•天河区期末）如图，在中，，，，，，则　　

A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（5分）（2021春•天河区期末）某圆锥的底面半径为4，母线长为5，则下列关于此圆锥的说法正确的是　　
A．圆锥的体积为
B．圆锥的侧面展开图的圆心角为
C．圆锥的侧面积为
D．过圆锥两条母线的截面面积最大值为
10．（5分）（2021春•天河区期末）给定组数5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，则　　
A．中位数为3 B．标准差为
C．众数为2和3 D．第85百分位数为4.5
11．（5分）（2021春•天河区期末）在中，角、、所对的边分别为，，．则下列命题正确的是　　
A．若，，，则
B．若，则
C．若，则为钝角三角形
D．若，，，的面积为3
12．（5分）（2021春•天河区期末）下列命题中正确的是　　
A．设向量，，，则是与垂直的单位向量
B．若，且，则与共线
C．若四边形满足，，则该四边形是菱形
D．若是所在平面上一定点，动点满足，，则直线一定经过的内心
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）（2021春•天河区期末）已知复数满足，则　　．
14．（5分）（2021春•天河区期末）已知向量，，若，则向量、的夹角为 　　．
15．（5分）（2021春•天河区期末）为了普及安全教育，某校组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分．在竞赛中，甲、乙两班代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队每人回答问题正确的概率分别为，，，且两队各人回答问题正确与否互不影响，则乙队总得分为3分的概率是 　　，甲队总得分为2分且乙队总得分为3分的概率是 　　．
16．（5分）（2021春•天河区期末）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且平面，，，，则球的表面积为 　　．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）（2021春•天河区期末）某数学学习小组有男生4名（记为，，，，女生2名（记为，，现从中随机选出2名学生去参加学校的数学竞赛（每人被选到的可能性相同）．
（1）求参赛学生中恰有1名男生的概率；
（2）求参赛学生中至少有1名女生的概率．
18．（12分）（2021春•天河区期末）已知中，角、、的对边分别为，，，若．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的值．
19．（12分）（2021•锡林郭勒盟二模）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，．点，分别是棱，的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，求点到平面的距离．

20．（12分）（2021春•天河区期末）某校为了对学生的阅读素养进行监测，随机抽取了名学生进行阅读素养评分．评分规则规定实行百分制计分，现将所得的成绩按照，，，，，，，，，，，分成6组，并根据所得数据作出了如下所示的频数与频率的统计表和频率分布直方图．由于一些特殊原因，统计表和直方图都已残缺，请对照图中现有信息按要求还原数据．
分组
频数
频率
，
5

，
25

，

0.30
，


，


，


合计

1
（1）求出表中，及图中，的值；
（2）估计该校学生阅读素养的成绩中位数以及平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）．

21．（12分）（2021春•天河区期末）直四棱柱中，是等腰梯形，，，，为的中点．
（1）求证：面；
（2）求直线与直线所成角的余弦值．

22．（12分）（2021春•天河区期末）如图，某湖有一半径为1百米的半圆形岸边，现决定在圆心处设立一个水文监测中心（大小忽略不计），在其正东方向相距2百米的点处安装一套监测设备．为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点以及湖中的点处，再分别安装一套监测设备，且满足，．定义：四边形及其内部区域为“直接监测覆盖区域”； 的长为“最远直接监测距离”．设．
（1）若，求“直接监测覆盖区域”的面积；
（2）试确定的值，使得“最远直接监测距离”最大．


2020-2021学年广东省广州市天河区高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）（2021春•天河区期末）已知复数，若是纯虚数，则的共轭复数　　
A． B． C．1 D．
【解答】解：复数 是纯虚数，
，即，
，
．
故选：．
2．（5分）（2021春•天河区期末）把颜色分别为红、黄、白、紫的四个小球随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一个．事件“甲分得红色球”与事件“乙分得红色球”是　　
A．对立事件 B．相互独立事件
C．互斥但非对立事件 D．以上都不对
【解答】解：把颜色分别为红、黄、白、紫的四个小球随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一个．共有种情况，
事件 “甲分得红色球”与事件 “乙分得红色球”是其中的两种，
，互斥事件，
全体基本事件，不对立，
所以两个事件的关系是互斥但不对立事件，
故选：．
3．（5分）（2021春•天河区期末）某校高一甲、乙两个班分别有男生24名、15名，现用比例分配的分层随机抽样方法从两班男生中抽取样本量为13的样本，对两个班男生的平均身高进行评估．已知甲班、乙班男生身高的样本平均数分别为、，以所抽取样本的平均身高作为两个班男生的平均身高，则两个班男生的平均身高为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意知，，
故分别从高一甲、乙两个班抽取男生8名、5名，
则两个班男生的平均身高为，
故选：．
4．（5分）（2021春•天河区期末）复平面内的平行四边形的顶点和是坐标原点）对应的复数分别为和，则点对应的复数为　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
点对应的复数为，
故选：．
5．（5分）（2021春•天河区期末）如图，在棱长为2的正方体中，、分别为棱、的中点，则与平面所成角的正切值是　　

A． B． C． D．
【解答】解：连接，面，就是与平面所成的角．

故选：．

6．（5分）（2021春•天河区期末）某运动队为了对、两名运动员的身体机能差异进行研究，将、两名运动员连续10天完成训练指标任务的综合得分绘成折线图，并提出下列四个结论，其中错误的结论是　　

A．第3天至第10天两名运动员综合得分均超过80分
B．第2天至第7天运动员的得分逐日提高
C．第2天至第3天运动员的得分增量大于运动员的得分增量
D．运动员第1天至第3天的得分方差大于第2天至第4天的得分的方差
【解答】解：由折线图可知，第第3天至第10天两名运动员综合得分均超过80分，故选项正确；
由折线图可知，第2天至第7天运动员的得分逐日提高，故选项正确；
第2天至第3天运动员的得分增量大于2，运动员的得分增量小于2，故选项正确；
由折线图可知，在第1天至第3天的得分中，运动员的最小得分为78分，最高得分为80分，
在第2天至第4天的得分中，最小得分为78分，最高得分高于80分，
所以运动员第1天至第3天的得分方差小于第2天至第4天的得分的方差，故选项错误．
故选：．
7．（5分）（2021春•天河区期末）关于空间两条不同直线，和两个不同平面，，下列命题正确的是　　
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，则 D．若，，，则
【解答】解：若，，则或，故错误；
若，，，则或与相交，故错误；
若，，则或或与相交，故错误；
若，，则或，又，，故正确．
故选：．
8．（5分）（2021春•天河区期末）如图，在中，，，，，，则　　

A． B． C． D．
【解答】解：在中，，，，，，
，
，
．
故选：．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（5分）（2021春•天河区期末）某圆锥的底面半径为4，母线长为5，则下列关于此圆锥的说法正确的是　　
A．圆锥的体积为
B．圆锥的侧面展开图的圆心角为
C．圆锥的侧面积为
D．过圆锥两条母线的截面面积最大值为
【解答】解：某圆锥的底面半径为，母线长为，如图所示：

对于，圆锥的高为，圆锥的体积为，选项正确；
对于，圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为，选项错误；
对于，圆锥的侧面积为，选项错误；
对于，圆锥的轴截面是等腰三角形，顶角的余弦值为，所以顶角为钝角，
所以过圆锥两条母线的截面面积最大值为，选项正确．
故选：．
10．（5分）（2021春•天河区期末）给定组数5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，则　　
A．中位数为3 B．标准差为
C．众数为2和3 D．第85百分位数为4.5
【解答】解：将数据从小到大排序为1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，
故中位数为，众数为2，3，
平均数是，
标准差是，
第85百分位数为第9个数字5，
故选：．
11．（5分）（2021春•天河区期末）在中，角、、所对的边分别为，，．则下列命题正确的是　　
A．若，，，则
B．若，则
C．若，则为钝角三角形
D．若，，，的面积为3
【解答】解：中，角，，所对的边分别为，，，
对于：由于，，，利用正弦定理，解得，由于，所以或，故错误；
对于：当时，所以，根据正弦定理，整理得，故正确；
对于：若，整理得，故，结合余弦定理．整理得，故为钝角三角形，故正确；
对于：若，，且，利用余弦定理可得，解得，因为，所以无解，故错误；
故选：．
12．（5分）（2021春•天河区期末）下列命题中正确的是　　
A．设向量，，，则是与垂直的单位向量
B．若，且，则与共线
C．若四边形满足，，则该四边形是菱形
D．若是所在平面上一定点，动点满足，，则直线一定经过的内心
【解答】解：对于，，，
又，不是单位向量，故不正确；
对于：若，且，则与共线，故正确；
对于：四边形中，因为，
所以，
所以且，
所以四边形是平行四边形，
又，
所以，
所以平行四边形的对角线互相垂直，
所以平行四边形是菱形，故正确；
对于：因为，
，分别表示，上的单位向量，，
所以，
所以，
所以，
表示以，为邻边的菱形的对角线上的向量，
又菱形对角线平分对角，
因为与共线，
所以在的平分线上，
所以直线一定经过的内心，故正确．
故选：．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）（2021春•天河区期末）已知复数满足，则　　．
【解答】解：，
，
．
故答案为：．
14．（5分）（2021春•天河区期末）已知向量，，若，则向量、的夹角为 　　．
【解答】解：根据题意，设向量、的夹角，
若，则，
则，
又由，则，
故答案为：．
15．（5分）（2021春•天河区期末）为了普及安全教育，某校组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分．在竞赛中，甲、乙两班代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队每人回答问题正确的概率分别为，，，且两队各人回答问题正确与否互不影响，则乙队总得分为3分的概率是 　　，甲队总得分为2分且乙队总得分为3分的概率是 　　．
【解答】解：根据题意，设“乙队总得分为3分”为事件，“甲队总得分为2分”为事件，
若乙队总得分为3分，即乙队三人都回答正确，则（A）；
若甲队总得分为2分，即甲队三人中有2人回答正确，则（B），
则甲队总得分为2分且乙队总得分为3分，即事件的概率（A）（B）．
故答案为：；．
16．（5分）（2021春•天河区期末）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且平面，，，，则球的表面积为 　　．
【解答】解：三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且平面，，，，
如图所示：

所以，
由于，
所以为等腰直角三角形；
取的中点，
过的中点作平面，过点作的垂直平分线交于点，
所以点为三棱锥体的外接球的球心，
所以，
所以球的表面积为．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）（2021春•天河区期末）某数学学习小组有男生4名（记为，，，，女生2名（记为，，现从中随机选出2名学生去参加学校的数学竞赛（每人被选到的可能性相同）．
（1）求参赛学生中恰有1名男生的概率；
（2）求参赛学生中至少有1名女生的概率．
【解答】解：（1）从6名学生中选取2名学生参赛可能的结果有：
，，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，，
，，，，，，共15种，
用表示事件“参赛学生中恰有1名男生的概率”，则事件包含的基本事件有：
，，，，，，，，，，
，，，，，，共8个，
故参赛学生中恰有1名男生的概率为（A）．
（2）用表示事件“参赛学生中至少有1名女生的概率”，则事件包含的基本事件有：
，，，，，，，，，，，，
，，，，，，共9个，
故参赛学生中至少有1名女生的概率为（B）．
18．（12分）（2021春•天河区期末）已知中，角、、的对边分别为，，，若．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的值．
【解答】解：（1）因为，
所以由正弦定理可得，
因为，
所以，可得，
因为，
所以．
（2）因为，，，
所以由余弦定理可得，
可得．
19．（12分）（2021•锡林郭勒盟二模）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，．点，分别是棱，的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，求点到平面的距离．

【解答】（1）证明：取的中点，连接，
点是棱的中点，
，．
点是棱的中点，四边形是菱形，
，，
，且，
四边形是平行四边形，
，
平面，平面，平面．
（2）解：由（1）可得：平面．
要求点到平面的距离，只要求点到平面的距离即可．
点是棱的中点，
求出点到平面的距离，则．
取的中点，连接，．
四边形是菱形，，
是等边三角形，
，
平面，，
平面，
是点到平面的距离，
，
．

20．（12分）（2021春•天河区期末）某校为了对学生的阅读素养进行监测，随机抽取了名学生进行阅读素养评分．评分规则规定实行百分制计分，现将所得的成绩按照，，，，，，，，，，，分成6组，并根据所得数据作出了如下所示的频数与频率的统计表和频率分布直方图．由于一些特殊原因，统计表和直方图都已残缺，请对照图中现有信息按要求还原数据．
分组
频数
频率
，
5

，
25

，

0.30
，


，


，


合计

1
（1）求出表中，及图中，的值；
（2）估计该校学生阅读素养的成绩中位数以及平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）．

【解答】解：（1）由频率分布直方图得，的频率为：，
由频数分布表得，的频数为5，
，
，，
，
解得．
（2），的频率为：，
，的频率为：，
估计该校学生阅读素养的成绩中位数为：
．
估计该校学生阅读素养的成绩平均数为：
．
21．（12分）（2021春•天河区期末）直四棱柱中，是等腰梯形，，，，为的中点．
（1）求证：面；
（2）求直线与直线所成角的余弦值．

【解答】（1）证明：是直四棱柱，
，
，面．
，面．
，
面．
（2）解：连接，是等腰梯形，为的中点，
，可得是直线与直线所成角的平面角，
在△中，，，为的中点．，；
由余弦定理，可得．
故直线与直线所成角的余弦值为．
22．（12分）（2021春•天河区期末）如图，某湖有一半径为1百米的半圆形岸边，现决定在圆心处设立一个水文监测中心（大小忽略不计），在其正东方向相距2百米的点处安装一套监测设备．为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点以及湖中的点处，再分别安装一套监测设备，且满足，．定义：四边形及其内部区域为“直接监测覆盖区域”； 的长为“最远直接监测距离”．设．
（1）若，求“直接监测覆盖区域”的面积；
（2）试确定的值，使得“最远直接监测距离”最大．

【解答】解：（1）在中，因为，，，
由余弦定理可得，，
所以，
故，
则，
又，
则，
所以“直接监测覆盖区域”的面积为平方百米；
（2）以为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示，
则，，，
设点，
由题意可知，，即，
解得，
所以，
所以当，即时，取得最大值（百米），
故当时，使得“最远直接监测距离”最大．

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