2020-2021学年山东省临沂市兰山区、兰陵县高一（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年山东省临沂市兰山区、兰陵县高一（下）期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年山东省临沂市兰山区、兰陵县高一（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）（2021春•临沂期末）用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体 “第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性分别是　　
A．， B．， C．， D．，
2．（5分）（2019•蚌埠一模）已知复数满足，其中是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（5分）（2021•上饶一模）如果数据，，，的平均数是，方差是，则，，，的平均数和方差分别是　　
A．与 B． 和
C． 和 D．和
4．（5分）（2021秋•榆林期末）某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率如下：
排队人数
0
1
2
3
4

概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
则至少有两人排队的概率为　　
A．0.16 B．0.26 C．0.56 D．0.74
5．（5分）（2010•深圳二模）如图，在中，为线段上的一点，，且，则　　

A． B． C． D．
6．（5分）（2021春•临沂期末）下列叙述不正确的是　　
A．已知，是空间中的两条直线，若，则直线与平行或异面
B．已知是空间中的一条直线，是空间中的一个平面，若，则或与只有一个公共点
C．已知，是空间两个不同的平面，若，则，必相交于一条直线
D．已知直线与平面相交，且垂直于平面内的无数条直线，则
7．（5分）（2021春•临沂期末）已知一个圆柱的侧面积等于其表面积的，且其轴截面的周长为24，则该圆柱的体积为　　
A． B． C． D．
8．（5分）（2021春•怀仁市期末）在一次试验中，若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且（A），（B），则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9．（5分）（2021春•临沂期末）下面是关于复数的四个命题，其中真命题为　　
A． B．
C．的虚部为 D．的共轭复数为
10．（5分）（2021春•临湘市期末）下面结论正确的是　　
A．若（A）（B），则事件与是互为对立事件
B．若（A）（B），则事件与是相互独立事件
C．若事件与是互斥事件，则与也是互斥事件
D．若事件与是相互独立事件，则与也是相互独立事件
11．（5分）（2021春•临沂期末）如图，为圆的直径，，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点，重合的点，于点，于点，则下列选项正确的是　　

A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
12．（5分）（2021春•临沂期末）在中，，，分别是边，，中点，下列说法正确的是　　
A．
B．
C．若，则是在的投影向量
D．若点是线段上的动点，且满足，则的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）（2021春•临沂期末）总体由编号为1，2，，99，100的100个个体组成．现用随机数法选取60个个体，利用电子表格软件产生的若干个范围内的整数随机数的开始部分数据（如下），则选出来的第5个个体的编号为 　　．
8 44 2 17 8 31 57 4 55 6
88 77 74 47 7 21 76 33 50 63
14．（5分）（2019•郑州二模）已知为坐标原点，向量，，若，则　　．
15．（5分）（2021春•临沂期末）在中，角，，所对的边分别为，，，
①若，则；
②若，则一定为等腰三角形；
③若，则为直角三角形；
④若为锐角三角形，则．
以上结论中正确的有　　．（填正确结论的序号）
16．（5分）（2021春•临沂期末）已知一个高为的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为的等边三角形，则三棱锥的表面积为 　　，若三棱锥内有一个体积为的球，则的最大值为 　　．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）（2021春•临沂期末）已知平面向量，满足，，．
（1）求；
（2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
18．（12分）（2021春•临沂期末）如图，四边形是矩形，平面，平面，，．
（1）证明：平面平面．
（2）求三棱锥的体积．

19．（12分）（2021春•临沂期末）设，，分别为三个内角，，的对边，若．
（1）求角；
（2）若，的周长的为6，求的面积．
20．（12分）（2021春•临沂期末）甲、乙两人组队参加答题竞赛，每轮比赛由甲、乙各答一道题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为．在每轮比赛中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
求：（1）甲、乙在两轮比赛中分别答对1道题和2道题的概率；
（2）该队伍在两轮比赛中答对3道题的概率．
21．（12分）（2021春•临沂期末）如图所示，在树人中学高一年级学生中抽出40名参加环保知识竞赛，将其成绩（均为整数整理后画出的频率分布直方图如图，观察图形，回答下列问题：
（1）求成绩在这一组的频数；
（2）估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、40百分位数；
（3）从成绩是50分以下和90分以上（包括90分）这两个分数段的学生中选2人，求他们不在同一分数段的概率．

22．（12分）（2017•马鞍山三模）如图，四棱柱中，底面，四边形为梯形，，且，为的中点，过，，三点的平面记为．
（Ⅰ）证明：平面与平面的交线平行于直线；
（Ⅱ）若，，，求平面与底面所成二面角的大小．


2020-2021学年山东省临沂市兰山区、兰陵县高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）（2021春•临沂期末）用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体 “第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性分别是　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：在抽样过程中，个体每一次被抽中的概率是相等的，
总体容量为10，
故个体 “第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性均为，
故选：．
2．（5分）（2019•蚌埠一模）已知复数满足，其中是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：

则在复平面内对应的点的坐标为，，位于第一象限．
故选：．
3．（5分）（2021•上饶一模）如果数据，，，的平均数是，方差是，则，，，的平均数和方差分别是　　
A．与 B． 和
C． 和 D．和
【解答】解：由题意知，，，
所以，，，的平均数为．
，，，的方差为：．
故选：．
4．（5分）（2021秋•榆林期末）某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率如下：
排队人数
0
1
2
3
4

概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
则至少有两人排队的概率为　　
A．0.16 B．0.26 C．0.56 D．0.74
【解答】解：由某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率表，得：
至少有两人排队的概率为：


．
故选：．
5．（5分）（2010•深圳二模）如图，在中，为线段上的一点，，且，则　　

A． B． C． D．
【解答】解：由题意，，
，即，
，即
故选：．
6．（5分）（2021春•临沂期末）下列叙述不正确的是　　
A．已知，是空间中的两条直线，若，则直线与平行或异面
B．已知是空间中的一条直线，是空间中的一个平面，若，则或与只有一个公共点
C．已知，是空间两个不同的平面，若，则，必相交于一条直线
D．已知直线与平面相交，且垂直于平面内的无数条直线，则
【解答】解：对于，根据空间中直线的位置关系有：相交，平行，异面，由题意可知，，
说明直线与不相交，即直线与平行或异面，正确；
对于，根据直线与平面的位置关系有：直线与平面相交，直线与平面平行，直线在平面内，
因为，所以直线与平面不平行，即直线与平面相交或直线在平面内，
亦即或与只有一个公共点，正确；
对于，因为平面与平面的位置关系有：相交或平面，因为，是空间两个不同的平面，而，
所以平面与相交，即，必相交于一条直线，正确；
对于，当直线与平面相交，且垂直于平面内的无数条直线，若这些直线中没有相交直线，
则不一定垂直平面，不正确；
故选：．
7．（5分）（2021春•临沂期末）已知一个圆柱的侧面积等于其表面积的，且其轴截面的周长为24，则该圆柱的体积为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设圆柱的高为，底面圆半径为，
圆柱的侧面积等于其表面积的，且其轴截面的周长为24，
，解得，，
该圆柱的体积为．
故选：．
8．（5分）（2021春•怀仁市期末）在一次试验中，若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且（A），（B），则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且（A），（B），
所以，解得，
即的取值范围为，；
故选：．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9．（5分）（2021春•临沂期末）下面是关于复数的四个命题，其中真命题为　　
A． B．
C．的虚部为 D．的共轭复数为
【解答】解：，
，，的虚部为，的共轭复数为．
故选：．
10．（5分）（2021春•临湘市期末）下面结论正确的是　　
A．若（A）（B），则事件与是互为对立事件
B．若（A）（B），则事件与是相互独立事件
C．若事件与是互斥事件，则与也是互斥事件
D．若事件与是相互独立事件，则与也是相互独立事件
【解答】解：对于：例如，，，四个球，选中每个球的概率一样，（A）为选中、两个球的概率：0.5，（B）为选中，两个球的概率：0.5，（A）（B），但，不是对立事件．故错误；
对于，若（A）（B），则事件与是相互独立事件，故正确；
对于，假设一个随机事件由、、、这4个彼此互斥的基本事件构成，则事件中含有事件、、，事件中含有事件、、，则与不互斥，故错误；
对于，若与相互独立，则与，与，与都是相互独立事件，故正确，
故选：．
11．（5分）（2021春•临沂期末）如图，为圆的直径，，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点，重合的点，于点，于点，则下列选项正确的是　　

A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
【解答】解：为圆的直径，，垂直于圆所在的平面，
为圆周上不与点、重合的点，于，于，
在中，，，，
平面，平面，，
于，，平面，
平面，平面平面，故正确；
在中，，，，平面，
，与平面相交但不垂直，
，与平面相交但不垂直，
平面平面不成立，故错误．
在中，，，，
平面，平面，
平面平面，故正确；
在中，垂直于圆所在的平面，平面，
平面平面，故正确；
故选：．

12．（5分）（2021春•临沂期末）在中，，，分别是边，，中点，下列说法正确的是　　
A．
B．
C．若，则是在的投影向量
D．若点是线段上的动点，且满足，则的最大值为
【解答】解：如图所示：
对选项，故错误；
对选项，


，
故正确；
对选项 分别表示平行于， 的单位向量，
由平面向量加法可知： 为 的平分线表示的向量，
为，所以 为 的平分线，
又因为 为 的中线，所以，如图所示：

在 的投影为，
所以 是 在 的投影向量，故选项正确；
对选项，如图所示：

因为 在 上，即，， 三点共线，
设，
又因为，所以，
因为，则，，
令，
时， 取得最大值为．故选项正确．
故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）（2021春•临沂期末）总体由编号为1，2，，99，100的100个个体组成．现用随机数法选取60个个体，利用电子表格软件产生的若干个范围内的整数随机数的开始部分数据（如下），则选出来的第5个个体的编号为 　31　．
8 44 2 17 8 31 57 4 55 6
88 77 74 47 7 21 76 33 50 63
【解答】解：根据随机数法选取的规则是选出的样本编号为范围内的整数，且与前面重复的数据不再出现，
所以选出来的前5个个体编号为：8，44，2，17，31，；
所以第5个个体的编号为31．
故答案为：31．
14．（5分）（2019•郑州二模）已知为坐标原点，向量，，若，则　　．
【解答】解：，；
；
；
．
故答案为：．
15．（5分）（2021春•临沂期末）在中，角，，所对的边分别为，，，
①若，则；
②若，则一定为等腰三角形；
③若，则为直角三角形；
④若为锐角三角形，则．
以上结论中正确的有　①③　．（填正确结论的序号）
【解答】解：在中，角，，所对的边分别为，，，
对于①，由正弦函数的性质得：若，则，故①正确；
对于②，若，，则，
但不是等腰三角形，故②错误；
对于③，若，
则，
，，
为直角三角形；
④若为锐角三角形，
当，时，．故④错误．
故答案为：①③．
16．（5分）（2021春•临沂期末）已知一个高为的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为的等边三角形，则三棱锥的表面积为 　　，若三棱锥内有一个体积为的球，则的最大值为 　　．
【解答】解：如图，三棱锥的底面是边长为的等边三角形，

设为底面三角形的外心，连接，则底面，且．
连接交于，则，且．
连接，由底面，得，又，，
平面，则，即为正三棱锥的斜高．
．
则三棱锥的表面积为；
设三棱锥内切球的半径为，由等体积法可得：，
解得．
的最大值为．
故答案为：；．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）（2021春•临沂期末）已知平面向量，满足，，．
（1）求；
（2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）
得，
则，
得．
（2）由向量与的夹角为锐角，可得．即有．
而当向量与同向时，可知，
综上所述的取值范围为，，．
18．（12分）（2021春•临沂期末）如图，四边形是矩形，平面，平面，，．
（1）证明：平面平面．
（2）求三棱锥的体积．

【解答】（1）证明：平面，平面，
．
又平面．平面，
平面．
在矩形中，，且平面，平面，
平面．
又，平面平面；
（2）解：平面，平面，
．
在矩形中，．
又，平面．
由已知可得平面，
点到平面的距离为，
．

19．（12分）（2021春•临沂期末）设，，分别为三个内角，，的对边，若．
（1）求角；
（2）若，的周长的为6，求的面积．
【解答】解：（1）由，及正弦定理可得．
由代入上式，
整理得．
因为，
所以．
因为，
所以角．
（2）的周长为6，
得，
由．可得，
即．
解得，
．
所以的面积为．
20．（12分）（2021春•临沂期末）甲、乙两人组队参加答题竞赛，每轮比赛由甲、乙各答一道题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为．在每轮比赛中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
求：（1）甲、乙在两轮比赛中分别答对1道题和2道题的概率；
（2）该队伍在两轮比赛中答对3道题的概率．
【解答】解：（1）根据题意，用、分别表示甲在两轮比赛中答对1道题和2道题，用、分别表示乙在两轮比赛中答对1道题和2道题，
则，，
，，
（2）根据题意，该队伍在两轮比赛中答对3道题，即“甲答对2道乙答对1道”或者“甲答对1道乙答对2道”，
则，
，
故该队伍在两轮比赛中答对3道题的概率．
21．（12分）（2021春•临沂期末）如图所示，在树人中学高一年级学生中抽出40名参加环保知识竞赛，将其成绩（均为整数整理后画出的频率分布直方图如图，观察图形，回答下列问题：
（1）求成绩在这一组的频数；
（2）估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、40百分位数；
（3）从成绩是50分以下和90分以上（包括90分）这两个分数段的学生中选2人，求他们不在同一分数段的概率．

【解答】解：（1）由频率分布直方图的性质知，，
，
这一组的频率为，频数为．
（2）这次竞赛成绩的平均数为．
因为的频率为，这一组的频率为，
所以，40百分位数在这一组内，且在本组内需要找到频率为0.15的部分，
所以40百分位数为；
（3）记选出的2人不在同一分数段为事件，之间的人数为人，设为，，，；
之间有人，设为1，2．
从这6人中选出2人，有：
，，，，，，，，，
，，，，，共15个样本点，
其中事件包括：
，，，，，，，，共8个基本事件，
则．
22．（12分）（2017•马鞍山三模）如图，四棱柱中，底面，四边形为梯形，，且，为的中点，过，，三点的平面记为．
（Ⅰ）证明：平面与平面的交线平行于直线；
（Ⅱ）若，，，求平面与底面所成二面角的大小．

【解答】（Ⅰ）证明：如图，延长，交于点，
，且，，
又为的中点，
，，三点共线，此时平面与平面的交线为，
又平面平面，根据面面平行的性质定理可得，
平面与平面的交线平行于直线；（Ⅱ）解：在梯形中，，，
，，，得，，
说明梯形是等腰梯形，
，
可知为等边三角形，连接、，则，
又，平面，
此时就是平面与底面所成二面角的平面角，
在直角△中，，，
即平面与底面所成二面角的大小为．

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