2020-2021学年江苏省常州市高一（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省常州市高一（下）期末数学试卷，共23页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省常州市高一（下）期末数学试卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．（5分）（2021春•常州期末）已知复数是虚数单位），则的虚部为　　
A． B． C． D．
2．（5分）（2019•新课标Ⅱ）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是　　
A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差
3．（5分）（2021春•常州期末）在中，角、、所对的边分别为、、，若，且，则一定是　　
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
4．（5分）（2021春•常州期末）魔方又叫鲁比克方块，是由匈牙利建筑学教授暨雕塑家鲁比克艾尔内于1974年发明的机械益智玩具，与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议．三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开所得，现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块，2面有色的小正方体称为边缘方块，3面有色的小正方体称为边角方块，若从这些小正方体中任取一个，恰好抽到边角方块的概率为　　

A． B． C． D．
5．（5分）（2021春•常州期末）已知，，则的值为　　
A． B． C． D．
6．（5分）（2021春•常州期末）①垂直于同一直线的两条不同的直线平行；
②垂直于同一平面的两条不同的直线平行；
③平行于同一平面的两条不同的直线平行；
④平行于同一直线的两条不同的直线平行；
以上4个关于空间直线与平面的命题中真命题的个数是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（5分）（2021春•常州期末）如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，点为线段上一点，且，若记，，，则　　

A． B． C． D．
8．（5分）（2021春•常州期末）如图，在四棱锥中，已知底面，，，且，，则该四棱锥外接球的表面积为　　

A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．（5分）（2021春•常州期末）在复平面内，下列说法正确的是　　
A．若复数满足，则
B．若复数为虚数单位），则
C．若复数，则为纯虚数的充要条件是
D．若复数满足条件，则复数对应点的集合是以原点为圆心，分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，且包括圆环的边界
10．（5分）（2021春•常州期末）黄种人群中各种血型的人所占的比例见如表：
血型




该血型的人所占比例
0.28
0.29
0.08
0.35
已知同种血型的人可以输血，型血可以给任何一种血型的人输血，任何血型的人都可以给血型的人输血，其他不同血型的人不能互相输血．下列结论正确的是　　
A．任找一个人，其血可以输给型血的人的概率是0.64
B．任找一个人，型血的人能为其输血的概率是0.29
C．任找一个人，其血可以输给型血的人的概率为1
D．任找一个人，其血可以输给型血的人的概率为1
11．（5分）（2021春•常州期末）如图，正方体中，，分别为棱和的中点，则下列说法正确的是　　

A．平面
B．平面
C．异面直线与所成角为
D．平面截正方体所得截面为等腰梯形
12．（5分）（2021春•常州期末）如图，在等腰直角三角形中，，，，分别为，上的动点，设，，其中，，则下列说法正确的是　　

A．若，则
B．若，则与不共线
C．若，记三角形的面积为，则的最大值为
D．若，且，分别是，边的中点，则的最小值为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．（5分）（2021春•常州期末）已知样本数据，，，，的方差为2，则样本数据，，，，的方差为 　　．
14．（5分）（2021春•常州期末）　　．
15．（5分）（2021春•常州期末）甲、乙两队进行篮球决赛，采取三场二胜制（当一队赢得二场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队最终获胜的概率是 　　．
16．（5分）（2021春•常州期末）在中，角、、所对的边分别为、、，，，若点在边上，并且，为的外心，则之长为 　　．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）（2021春•常州期末）甲、乙两人玩一种猜数游戏，每次由甲、乙各出1到4中的一个数，若两个数的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
（1）若事件表示“两个数的和为5”，求（A）；
（2）现连玩三次，若事件表示“甲至少赢一次”，事件表示“乙至少赢两次”，试问与是不是互斥事件？为什么？
（3）这种游戏规则公平吗？试说明理由．
18．（12分）（2021春•常州期末）已知是坐标原点，向量，，．
（1）若，求实数的值；
（2）当取最小值时，求的面积．
19．（12分）（2021春•常州期末）如图，在中，角，，的对边分别为，，，已知，且．
（1）求角；
（2）若为边上的一点，且，，，求的长．

20．（12分）（2021春•常州期末）如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，垂直于圆所在的平面，且．
（1）若为线段的中点，求证：平面平面；
（2）若，点是线段上的动点，求的最小值．

21．（12分）（2021春•常州期末）螃蟹是金坛长荡湖的特产．小刘从事螃蟹养殖和批发多年，有着不少客户．小刘把去年采购螃蟹的数量（单位：箱）在，的客户称为“大客户”，并把他们去年采购的数量制成如表：
采购数
，
，
，
，
，
客户数
10
10
5
20
5
已知去年“大客户”们采购的螃蟹数量占小刘去年总的销售量的．
（1）根据表中的数据完善右边的频率分布直方图，并估计采购数在168箱以上（含168箱）的“大客户”人数；
（2）估算小刘去年总的销售量（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）小刘今年销售方案有两种：
①不在网上销售螃蟹，则按去年的价格销售，每箱利润为20元，预计销售量与去年持平；
②在网上销售螃蟹，则需把每箱售价下调元，销售量可增加箱．问哪一种方案利润最大？并求出今年利润（单位：元）的最大值．

22．（12分）（2021春•常州期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，为正三角形，点，分别在线段和上，且．设二面角为，且．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求三棱锥的体积．


2020-2021学年江苏省常州市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．（5分）（2021春•常州期末）已知复数是虚数单位），则的虚部为　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
，
故选：．
2．（5分）（2019•新课标Ⅱ）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是　　
A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差
【解答】解：根据题意，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分，
7个有效评分与9个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变，
故选：．
3．（5分）（2021春•常州期末）在中，角、、所对的边分别为、、，若，且，则一定是　　
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【解答】解：由，，可得，
由余弦定理可得，，
因为，所以，
故，
则，
综上所述，是等边三角形．
故选：．
4．（5分）（2021春•常州期末）魔方又叫鲁比克方块，是由匈牙利建筑学教授暨雕塑家鲁比克艾尔内于1974年发明的机械益智玩具，与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议．三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开所得，现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块，2面有色的小正方体称为边缘方块，3面有色的小正方体称为边角方块，若从这些小正方体中任取一个，恰好抽到边角方块的概率为　　

A． B． C． D．
【解答】解：一共有27个小正方体，其中边角方块共有8个，故恰好抽到边角方块的概率等于．
故选：．
5．（5分）（2021春•常州期末）已知，，则的值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：已知，，
所以，即，
所以．
所以，
所以
故选：．
6．（5分）（2021春•常州期末）①垂直于同一直线的两条不同的直线平行；
②垂直于同一平面的两条不同的直线平行；
③平行于同一平面的两条不同的直线平行；
④平行于同一直线的两条不同的直线平行；
以上4个关于空间直线与平面的命题中真命题的个数是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：对于①，垂直于同一直线的两条不同的直线相交、平行或异面，故①错误；
对于②，由线面垂直的性质得：垂直于同一平面的两条不同的直线平行，故②正确；
对于③，平行于同一平面的两条不同的直线相交、平行或异面，故③错误；
对于④，由平行公理得：平行于同一直线的两条不同的直线平行，故④正确．
故选：．
7．（5分）（2021春•常州期末）如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，点为线段上一点，且，若记，，，则　　

A． B． C． D．
【解答】解：因为



，
故选：．
8．（5分）（2021春•常州期末）如图，在四棱锥中，已知底面，，，且，，则该四棱锥外接球的表面积为　　

A． B． C． D．
【解答】解：取中点，过作的平行线，则球心在直线上，
如图所示：

已知底面，，，且，，
，
由于，
所以上的点到、、、的距离都相等，
作的中垂线交于点，
即为四棱锥体的外接球的球心，
且能满足，
利用勾股定理：
求得，
所以．
故选：．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．（5分）（2021春•常州期末）在复平面内，下列说法正确的是　　
A．若复数满足，则
B．若复数为虚数单位），则
C．若复数，则为纯虚数的充要条件是
D．若复数满足条件，则复数对应点的集合是以原点为圆心，分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，且包括圆环的边界
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于，若，此时，错误；
对于，若复数，则，则有，正确；
对于，若复数，则为纯虚数的充要条件是，且，故错误．
对于，设复数，若复数满足条件，
则有，故复数对应点的集合是以原点为圆心，分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，且包括圆环的边界，正确；
故选：．
10．（5分）（2021春•常州期末）黄种人群中各种血型的人所占的比例见如表：
血型




该血型的人所占比例
0.28
0.29
0.08
0.35
已知同种血型的人可以输血，型血可以给任何一种血型的人输血，任何血型的人都可以给血型的人输血，其他不同血型的人不能互相输血．下列结论正确的是　　
A．任找一个人，其血可以输给型血的人的概率是0.64
B．任找一个人，型血的人能为其输血的概率是0.29
C．任找一个人，其血可以输给型血的人的概率为1
D．任找一个人，其血可以输给型血的人的概率为1
【解答】解：任找一个人，其血可以输给型血的人的概率是，故选项正确；
任找一个人，型血的人能为其输血的概率是0.37，故选项错误；
任找一个人，其血可以输给型血的人的概率为0.35，故错误；
任找一个人，其血可以输给型血的人的概率为1，故选项正确．
故选：．
11．（5分）（2021春•常州期末）如图，正方体中，，分别为棱和的中点，则下列说法正确的是　　

A．平面
B．平面
C．异面直线与所成角为
D．平面截正方体所得截面为等腰梯形
【解答】解：对于，假设，又，且与相交，可得平面，
而平面，与过一点有且只有一条直线与一个平面垂直矛盾，故与不垂直，
则与平面不垂直，故错误；
，分别为棱和的中点，，
平面，平面，平面，故正确；
，可得，而是在平面上的射影，可得，
即异面直线与所成角为，故正确；
连接，，可得，即四边形为平面截正方体所得截面，
由正方体的结构特征求得，则平面截正方体所得截面为等腰梯形，故正确．
故选：．
12．（5分）（2021春•常州期末）如图，在等腰直角三角形中，，，，分别为，上的动点，设，，其中，，则下列说法正确的是　　

A．若，则
B．若，则与不共线
C．若，记三角形的面积为，则的最大值为
D．若，且，分别是，边的中点，则的最小值为
【解答】解：选项，因为，，所以，所以，故正确；
选项，若，则，所以，所以，共线，故错误；
选项，若，则，所以，
当且仅当时取得等号．即，所以的最大值为，故正确；
选项，以为坐标原点，，所在的直线分别为，轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
因为，，，
所以，，，，
因为，分别是，的中点，
所以，，
因为，
所以在单位圆上，，
所以，
当且仅当，，三点共线时取得等号，
所以的最小值为．故正确．
故选：．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．（5分）（2021春•常州期末）已知样本数据，，，，的方差为2，则样本数据，，，，的方差为 　18　．
【解答】解：样本数据，，，，的方差为2，
样本数据，，，，的方差是原来的倍，即，
故答案为：18．
14．（5分）（2021春•常州期末）　　．
【解答】解：原式


，
，
．
故答案为：．
15．（5分）（2021春•常州期末）甲、乙两队进行篮球决赛，采取三场二胜制（当一队赢得二场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队最终获胜的概率是 　0.6　．
【解答】解：甲队最终获胜包含3种情况：
①前两场甲均胜，概率为，
②第一场甲胜，第二场甲负，第三场甲胜，概率为，
③第一场甲负，第二场甲胜，第三场甲胜，概率为，
甲队最终获胜的概率是．
故答案为：0.6．
16．（5分）（2021春•常州期末）在中，角、、所对的边分别为、、，，，若点在边上，并且，为的外心，则之长为 　1　．
【解答】解：，
根据正弦定理可得，，
，
，
，
又，
，，
，
，
由正弦定理可得，为三角形外接圆的半径），
，
，，
，
中，根据余弦定理可得，，
，解得．
故答案为：1．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）（2021春•常州期末）甲、乙两人玩一种猜数游戏，每次由甲、乙各出1到4中的一个数，若两个数的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
（1）若事件表示“两个数的和为5”，求（A）；
（2）现连玩三次，若事件表示“甲至少赢一次”，事件表示“乙至少赢两次”，试问与是不是互斥事件？为什么？
（3）这种游戏规则公平吗？试说明理由．
【解答】解：（1）易知样本点总数，且每个样本点出现的可能性相等．
事件包含的样本点共4个：，，，，
所以（A）．
（2）与不是互斥事件．
理由：因为事件与可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次．
（3）这种游戏规则公平．理由如下：
和为偶数的样本点有：，，，
，，，，，共8个，
所以甲赢的概率为0.5，乙赢的概率为0.5，
所以这种游戏规则公平．
18．（12分）（2021春•常州期末）已知是坐标原点，向量，，．
（1）若，求实数的值；
（2）当取最小值时，求的面积．
【解答】解：（1）因为，，，
所以，，
又因为，所以，即，
也即，解得或，则所求实数的值为3或5．
（2）由（1）知，
当时，取最小值，
此时，，
则，
又在中，，则，
的面积为．
19．（12分）（2021春•常州期末）如图，在中，角，，的对边分别为，，，已知，且．
（1）求角；
（2）若为边上的一点，且，，，求的长．

【解答】解：（1）因为，
所以
即，
由两角和与差的余弦公式得，，
又因为在中，，所以，
又因为，所以．
（2）在中，
由余弦定理得，
又因为，则，即，
在中，由正弦定理得，，
即．
20．（12分）（2021春•常州期末）如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，垂直于圆所在的平面，且．
（1）若为线段的中点，求证：平面平面；
（2）若，点是线段上的动点，求的最小值．

【解答】解：（1）在中，因为，为的中点，
所以．
又垂直于圆所在的平面，因为圆所在的平面，所以．
因为，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
（2）在中，，，所以．
同理，所以．
在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，
如图所示．当，，共线时，取得最小值．
又因为，，所以垂直平分，即为中点．
从而，
亦即的最小值为．
21．（12分）（2021春•常州期末）螃蟹是金坛长荡湖的特产．小刘从事螃蟹养殖和批发多年，有着不少客户．小刘把去年采购螃蟹的数量（单位：箱）在，的客户称为“大客户”，并把他们去年采购的数量制成如表：
采购数
，
，
，
，
，
客户数
10
10
5
20
5
已知去年“大客户”们采购的螃蟹数量占小刘去年总的销售量的．
（1）根据表中的数据完善右边的频率分布直方图，并估计采购数在168箱以上（含168箱）的“大客户”人数；
（2）估算小刘去年总的销售量（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）小刘今年销售方案有两种：
①不在网上销售螃蟹，则按去年的价格销售，每箱利润为20元，预计销售量与去年持平；
②在网上销售螃蟹，则需把每箱售价下调元，销售量可增加箱．问哪一种方案利润最大？并求出今年利润（单位：元）的最大值．

【解答】解：（1）作出频率分布直方图如图，

根据上图，可知采购量在168箱以上（含168箱）的“大客户”人数为．
（2）去年“大客户”所采购的螃蟹总数大约为（箱
小刘去年总的销售量为（箱．
（3）若不在网上销售螃蟹，则今年底小刘的收入为（元
若在网上销售螃蟹，则今年年底的销售量为箱，每箱的利润，
则今年年底小刘的收入为
当时，取得最大值256000，
，
小刘今年年底收入的最大值为256000元．
22．（12分）（2021春•常州期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，为正三角形，点，分别在线段和上，且．设二面角为，且．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求三棱锥的体积．

【解答】解：（1）证明：连接，交于，
因为，，所以，，
因为，所以
可得，
所以，
因为平面，平面，所以平面．
（2）解：取中点，连接、，
因为为正三角形，所以，，
因为为直角梯形，，，，所以四边形为矩形，所以，
因为，所以平面，所以平面平面，
因为，所以平面，
所以，，所以，
设，由余弦定理得，
于是，
整理得，解得或（舍去），
取中点，连接，因为，所以，
又因为平面平面，所以平面，
所以直线与平面所成角为．而，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
（3）因为，平面，平面，
所以平面，所以的长也是点到平面的距离，
，
．

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