2020-2021学年山东省济宁市高一（下）期末数学试卷（a卷）

这是一份2020-2021学年山东省济宁市高一（下）期末数学试卷（a卷），共23页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年山东省济宁市高一（下）期末数学试卷（A卷）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）（2021春•济宁期末）设复数为虚数单位），则　　
A． B． C． D．
2．（5分）（2021春•济宁期末）已知等腰梯形，现绕着它的较长底所在的直线旋转一周，所得的几何体为　　
A．一个圆台、两个圆锥 B．一个圆柱、两个圆锥
C．两个圆台、一个圆柱 D．两个圆柱、一个圆台
3．（5分）（2021春•济宁期末）如图，已知，用，表示，则等于　　

A． B． C． D．
4．（5分）（2015•湖北）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为　　
A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石
5．（5分）（2021•珠海一模）已知，是两个不同的平面，，，是三条不同的直线，下列条件中，可以得到的是　　
A．，，， B．，
C．， D．，
6．（5分）（2021春•济宁期末）一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，则该圆锥的体积为　　
A． B． C． D．
7．（5分）（2021•临川区校级模拟）“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数（素数）之和，也就是我们所谓的“”问题．它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中都做出了相当好的成绩．若将18拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为　　
A． B． C． D．
8．（5分）（2021春•济宁期末）购买商品房时，住户对商品房的户型结构越来越重视，因此某商品房调查机构随机抽取名市民，针对其居住的户型结构和满意度进行了调查，如图1调查的所有市民中四居室共200户，所占比例为，二居室住户占．如图2是用分层抽样的方法从所有被调查的市民中，抽取组成一个样本，根据其满意度调查结果绘制成的统计图，则下列说法正确的是　　

A．样本容量为70
B．样本中三居室住户共抽取了25户
C．样本中对三居室满意的有15户
D．根据样本可估计对四居室满意的住户有70户
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
9．（5分）（2021春•济宁期末）有一组样本数据，，，，由这组数据得到的新样本数据，，，，其中（其中，2，，，为非零常数），则　　
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本方差相同
C．两组样本数据的样本中位数相同
D．两组样本数据的样本极差相同
10．（5分）（2021春•济宁期末）设复数的共轭复数为，为虚数单位，则下列命题正确的是　　
A． B．是纯虚数
C．若，则 D．若，则的最大值为2
11．（5分）（2021•亭湖区校级模拟）从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是　　
A．2个球都是红球的概率为
B．2个球不都是红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为
D．2个球中恰有1个红球的概率为
12．（5分）（2021•海陵区校级四模）如图，在正方体中，是棱的中点，是线段（不含端点）上的一个动点，那么在点的运动过程中，下列说法中正确的有　　

A．存在某一位置，使得直线和直线相交
B．存在某一位置，使得平面
C．点与点到平面的距离总相等
D．三棱锥的体积不变
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）（2021春•济宁期末）为做好“新冠肺炎”疫情防控工作，济南市各学校坚持落实“双测温两报告”制度，以下是某宿舍6名同学某日上午的体温记录：36.3，36.1，36.4，36.7，36.5，36.6（单位：，则该组数据的第80百分位数为 　　．
14．（5分）（2021春•济宁期末）已知向量，写出一个与向量方向相反的向量　　．（用数字作答）
15．（5分）（2021•包河区校级模拟）某个微信群在某次进行的抢红包活动中，若某人所发红包的总金额为15元，被随机分配为3.50元，4.75元，5.37元，1.38元共4份，甲、乙、丙、丁4人参与抢红包，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于8元的概率为 　　．
16．（5分）（2021春•济宁期末）农历五月初五是中国的传统节日端午节，民间有吃粽子的习俗，粽子又称“粽粒”，故称“角黍”．同学们在劳动课上模拟制作“粽子”，如图（1）的平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形组成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图（2）的粽子形状的六面体，则该六面体的体积为 　　；若该六面体内有一球，则该球的体积的最大值为 　　．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）（2021•南昌三模）“自媒体”是指普通大众通过网络等途径向外发布他们本身的事实和新闻的传播方式．某“自媒体”作者2020年度在“自媒体”平台上发布了200条事实和新闻，现对其点击量进行统计，如表格所示：
点击量（万次）
，
，
，
，
条数
20
100
60
20
（Ⅰ）现从这200条事实和新闻中采用分层抽样的方式选出10条，求点击量超过50万次的条数；
（Ⅱ）为了鼓励作者，平台在2021年针对每条事实和新闻推出如下奖励措施：
点击量（万次）
，
，
，
，
奖金（元
0
200
500
1000
若该作者在2021年5月份发布了20条事实和新闻，请估计其可以获得的奖金数．
18．（12分）（2021春•济宁期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，．
（1）求的值；
（2）且，求正实数的值．
19．（12分）（2021春•济宁期末）如图，在三棱柱中，为中点．
（1）求证：平面．
（2）若此三棱柱为正三棱柱，且，求的大小；

20．（12分）（2021•庐阳区校级模拟）某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间，，，，，，，，．
（Ⅰ）求频率分布直方图中的值；
（Ⅱ）估计该中学学生对个性化作业评分不低于70的概率；
（Ⅲ）从评分在，的受访学生中，随机抽取2人，求此2人评分都在，的概率．

21．（12分）（2021•朝阳区校级模拟）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为的中点，为线段上的点，且．
（1）求证：平面平面；
（2）求点到平面的距离．

22．（12分）（2022•湖北模拟）某中学在2020年高考分数公布后对高三年级各班的成绩进行分析．经统计，某班有50名同学，总分都在区间，内，将得分区间平均分成5组，统计频数、频率后，得到了如图所示的“频率分布”折线图．

（1）请根据频率分布折线图，画出频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计该班级的平均分；
（2）经过相关部门的计算，本次高考总分大于等于680的同学可以获得高校的“强基计划”入围资格．高校的“强基计划”校考分为两轮．第一轮为笔试，所有入围同学都要参加，考试科目为数学和物理，每科的笔试成绩从高到低依次有，，，四个等级，两科中至少有一科得到，且两科均不低于，才能进入第二轮，第二轮得到“通过”的同学将被高校提前录取．
已知入围的同学参加第一轮笔试时，总分高于690分的同学在每科笔试中取得，，，的概率分别为；总分不超过690分的同学在每科笔试中取得，，，的概率分别为；进入第二轮的同学，若两科笔试成绩均为，则免面试，并被高校提前录取；若两科笔试成绩只有一个，则要参加面试，总分高于690分的同学面试“通过”的概率为，总分不超过690分的同学面试“通过”的概率为，面试“通过”的同学也将被高校提前录取．
若该班级考分前10名都已经报考了高校的“强基计划”，且恰有2人成绩高于690分．求
①总分高于690分的某位同学没有进入第二轮的概率；
②该班恰有两名同学通过“强基计划”被高校提前录取的概率．

2020-2021学年山东省济宁市高一（下）期末数学试卷（A卷）
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）（2021春•济宁期末）设复数为虚数单位），则　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
，
．
故选：．
2．（5分）（2021春•济宁期末）已知等腰梯形，现绕着它的较长底所在的直线旋转一周，所得的几何体为　　
A．一个圆台、两个圆锥 B．一个圆柱、两个圆锥
C．两个圆台、一个圆柱 D．两个圆柱、一个圆台
【解答】解：等腰梯形的底较长，绕其所在的直线旋转一周，
相当于两个全等的直角三角形分别绕它的一条直角边所在的直线旋转一周，形成两个圆锥，
还有一个矩形绕它的一边所在的直线旋转一周，形成一个圆柱，
所以所得的几何体为一个圆柱、两个圆锥．
故选：．
3．（5分）（2021春•济宁期末）如图，已知，用，表示，则等于　　

A． B． C． D．
【解答】解：，
，
故选：．
4．（5分）（2015•湖北）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为　　
A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石
【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为石，
故选：．
5．（5分）（2021•珠海一模）已知，是两个不同的平面，，，是三条不同的直线，下列条件中，可以得到的是　　
A．，，， B．，
C．， D．，
【解答】解：由，是两个不同的平面，，，是三条不同的直线，知：
对于，，，，，则与相交、平行或，故错误；
对于,，，则与相交、平行或，故错误；
对于，，，则与相交、平行或，故错误；
对于，，，则由线面垂直的判定定理得，故正确．
故选：．
6．（5分）（2021春•济宁期末）一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，则该圆锥的体积为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设圆锥的母线长为，底面半径为，
由弧长公式可得，解得，
又，解得，
所以圆锥的高，
则该圆锥的体积为．
故选：．
7．（5分）（2021•临川区校级模拟）“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数（素数）之和，也就是我们所谓的“”问题．它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中都做出了相当好的成绩．若将18拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：将18拆成两个正整数的和，所有的和式共有17个，
其中，事件“所拆成的和式中，加数全部为质数”所包含的基本事件有：
、、、，共4个，
因此所求概率为．
故选：．
8．（5分）（2021春•济宁期末）购买商品房时，住户对商品房的户型结构越来越重视，因此某商品房调查机构随机抽取名市民，针对其居住的户型结构和满意度进行了调查，如图1调查的所有市民中四居室共200户，所占比例为，二居室住户占．如图2是用分层抽样的方法从所有被调查的市民中，抽取组成一个样本，根据其满意度调查结果绘制成的统计图，则下列说法正确的是　　

A．样本容量为70
B．样本中三居室住户共抽取了25户
C．样本中对三居室满意的有15户
D．根据样本可估计对四居室满意的住户有70户
【解答】解：对于，图1调查的所有市民中四居室共200户，
所占比例为，市民共有600户，
用分层抽样的方法从所有被调查的市民中，抽取组成一个样本，
样本容量为，故错误；
对于，样本中三居室住户共抽取了：户，故错误；
对于，样本中对三居室满意的有：户，故正确；
对于，根据样本可估计对四居室满意的住户有：户，故错误．
故选：．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
9．（5分）（2021春•济宁期末）有一组样本数据，，，，由这组数据得到的新样本数据，，，，其中（其中，2，，，为非零常数），则　　
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本方差相同
C．两组样本数据的样本中位数相同
D．两组样本数据的样本极差相同
【解答】解：样本数据，，，，新样本数据，，，，其中；
对于，第一组数据的平均数为，则第二组数据的平均数为，平均数不同；
对于，第一组数据的方差为，则第二组数据的方差也是，方差相同；
对于，第一组数据的中位数是，则第二组数据的中位数是，中位数不同；
对于，第一组数据的极差为，第二组数据的样本极差是，极差相同．
故选：．
10．（5分）（2021春•济宁期末）设复数的共轭复数为，为虚数单位，则下列命题正确的是　　
A． B．是纯虚数
C．若，则 D．若，则的最大值为2
【解答】解：设，，，
则，，故选项正确，
当为实数，是实数，故选项错误，
若，
则，故选项错误，
若，设，，，
即，则表示圆上的点到原点的距离，其最大值为2，故选项正确．
故选：．
11．（5分）（2021•亭湖区校级模拟）从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是　　
A．2个球都是红球的概率为
B．2个球不都是红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为
D．2个球中恰有1个红球的概率为
【解答】解：设“从甲袋中摸出一个红球”为事件，从“乙袋中摸出一个红球”为事件，
则，，
对于选项，2个球都是红球为，其概率为，故选项正确，
对于选项，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为，故选项错误，
对于选项，2个球至少有一个红球的概率为，故选项正确，
对于选项，2个球中恰有1个红球的概率为，故选项正确．
故选：．
12．（5分）（2021•海陵区校级四模）如图，在正方体中，是棱的中点，是线段（不含端点）上的一个动点，那么在点的运动过程中，下列说法中正确的有　　

A．存在某一位置，使得直线和直线相交
B．存在某一位置，使得平面
C．点与点到平面的距离总相等
D．三棱锥的体积不变
【解答】解：选项是线段（不含端点）上的一个动点，平面，
而，由异面直线的判定定理可知与直线异面，
所以不存在某一位置，使得直线和直线相交，故选项不正确；
选项，连接交于点，面即为面，此时，
而平面，面，所以平面，即平面，故选项正确；
选项：如图过点与点作平面的垂线，垂足分别为，，有△△，
所以，即点与点到平面的距离总相等，故选项正确；
选项：因为，为定值，连接交于点，连接，
而，平面，平面，
所以平面，所以到平面的距离为定值，
所以三棱锥的体积不变，故选项正确．
故选：．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）（2021春•济宁期末）为做好“新冠肺炎”疫情防控工作，济南市各学校坚持落实“双测温两报告”制度，以下是某宿舍6名同学某日上午的体温记录：36.3，36.1，36.4，36.7，36.5，36.6（单位：，则该组数据的第80百分位数为 　　．
【解答】解：由题意知，6个数据按从小到大顺序排列为：
36.1，36.3，36.4，36.5，36.6，36.7；
且，
所以该组数据的第80百分位数是第5个数，为．
故答案为：．
14．（5分）（2021春•济宁期末）已知向量，写出一个与向量方向相反的向量　　．（用数字作答）
【解答】解：当向量时，则，
与向量方向相反的向量，
故答案为：．
15．（5分）（2021•包河区校级模拟）某个微信群在某次进行的抢红包活动中，若某人所发红包的总金额为15元，被随机分配为3.50元，4.75元，5.37元，1.38元共4份，甲、乙、丙、丁4人参与抢红包，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于8元的概率为 　　．
【解答】解：某人所发红包的总金额为15元，被随机分配为3.50元，4.75元，5.37元，1.38元共4份，
甲、乙、丙、丁4人参与抢红包，每人只能抢一次，
甲、乙两人抢到的金额之和包含的基本事件有个数，
甲、乙二人抢到的金额之和不低于8元包含的基本事件有：
，，，共3个，
甲、乙二人抢到的金额之和不低于8元的概率．
故答案为：．
16．（5分）（2021春•济宁期末）农历五月初五是中国的传统节日端午节，民间有吃粽子的习俗，粽子又称“粽粒”，故称“角黍”．同学们在劳动课上模拟制作“粽子”，如图（1）的平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形组成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图（2）的粽子形状的六面体，则该六面体的体积为 　　；若该六面体内有一球，则该球的体积的最大值为 　　．

【解答】解：由题意知，该六面体由两个棱长为1的正四面体组合而成．
如图，在正四面体中，是底面的外心，则平面，
所以．
所以，故六面体的体积为．
当球与六面体的各个侧面相切时，体积最大．
由对称轴性知球心为，取中点，连接，过点作，垂足为，则为球的半径．
因为，所以．
所以球的体积为．
故答案为：；．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）（2021•南昌三模）“自媒体”是指普通大众通过网络等途径向外发布他们本身的事实和新闻的传播方式．某“自媒体”作者2020年度在“自媒体”平台上发布了200条事实和新闻，现对其点击量进行统计，如表格所示：
点击量（万次）
，
，
，
，
条数
20
100
60
20
（Ⅰ）现从这200条事实和新闻中采用分层抽样的方式选出10条，求点击量超过50万次的条数；
（Ⅱ）为了鼓励作者，平台在2021年针对每条事实和新闻推出如下奖励措施：
点击量（万次）
，
，
，
，
奖金（元
0
200
500
1000
若该作者在2021年5月份发布了20条事实和新闻，请估计其可以获得的奖金数．
【解答】解：（Ⅰ）设被抽取的点击量（万次）在，，，，，，，的事实和新闻的条数分别为，，，，
则，
所以，，，，
则点击量超过50万次的条数为4条；
（Ⅱ）由题意知，根据2020年度的频率估计得出：
奖金（元
0
200
500
1000
条数
2
10
6
2
则，
所以估计该作者在2021年5月可以得到的奖金为7000元．
18．（12分）（2021春•济宁期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，．
（1）求的值；
（2）且，求正实数的值．
【解答】解：（1），，，
在中，由余弦定理知，，
，
由正弦定理知，．
（2），
，
又，
为直角三角形，，
又，，
．
19．（12分）（2021春•济宁期末）如图，在三棱柱中，为中点．
（1）求证：平面．
（2）若此三棱柱为正三棱柱，且，求的大小；

【解答】解：（1）证明：取中点，连接，，，
在三棱柱中，，是中点，则，
四边形是平行四边形，，
平面，平面，
平面，
，是中点，，四边形是平行四边形，，
平面，平面，平面，
，平面平面，
平面，平面．
（2）设，则，
在正中，，
在中，，，

．
的大小为．

20．（12分）（2021•庐阳区校级模拟）某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间，，，，，，，，．
（Ⅰ）求频率分布直方图中的值；
（Ⅱ）估计该中学学生对个性化作业评分不低于70的概率；
（Ⅲ）从评分在，的受访学生中，随机抽取2人，求此2人评分都在，的概率．

【解答】解：（Ⅰ）因为，
所以．
（Ⅱ）由所给频率分布直方图知，50名受访学生评分不低于70的频率为，
所以该中学学生对个性化作业评分不低于70的概率的估计值为0.68．
（Ⅲ）受访学生评分在，的有（人，即为，，；
受访学生评分在，的有：（人，即为，．
从这5名受访学生中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是：
，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，．
又因为所抽取2人的评分都在，的结果有3种，即，，，，，，
故所求的概率为．
21．（12分）（2021•朝阳区校级模拟）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为的中点，为线段上的点，且．
（1）求证：平面平面；
（2）求点到平面的距离．

【解答】（1）证明：平面，平面，
，又，，
平面，又面，，
，为中点，，又，
平面，又平面，
平面平面．
（2）解：，平面，平面，平面，
到平面的距离等于到平面的距离，
取的中点，连接，

平面，，
又，，
平面，，
，是的中点，，
又，平面，
，，，
，
点到平面的距离为，
，点到平面的距离为．
22．（12分）（2022•湖北模拟）某中学在2020年高考分数公布后对高三年级各班的成绩进行分析．经统计，某班有50名同学，总分都在区间，内，将得分区间平均分成5组，统计频数、频率后，得到了如图所示的“频率分布”折线图．

（1）请根据频率分布折线图，画出频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计该班级的平均分；
（2）经过相关部门的计算，本次高考总分大于等于680的同学可以获得高校的“强基计划”入围资格．高校的“强基计划”校考分为两轮．第一轮为笔试，所有入围同学都要参加，考试科目为数学和物理，每科的笔试成绩从高到低依次有，，，四个等级，两科中至少有一科得到，且两科均不低于，才能进入第二轮，第二轮得到“通过”的同学将被高校提前录取．
已知入围的同学参加第一轮笔试时，总分高于690分的同学在每科笔试中取得，，，的概率分别为；总分不超过690分的同学在每科笔试中取得，，，的概率分别为；进入第二轮的同学，若两科笔试成绩均为，则免面试，并被高校提前录取；若两科笔试成绩只有一个，则要参加面试，总分高于690分的同学面试“通过”的概率为，总分不超过690分的同学面试“通过”的概率为，面试“通过”的同学也将被高校提前录取．
若该班级考分前10名都已经报考了高校的“强基计划”，且恰有2人成绩高于690分．求
①总分高于690分的某位同学没有进入第二轮的概率；
②该班恰有两名同学通过“强基计划”被高校提前录取的概率．
【解答】解：（1）根据频率分布折线图，画出频率分布直方图如下：

平均分为：
；
（2）总分大于等于680分的同学有人，
由已知，其中有3人小于等于690分，2人大于690分，
①；
②设高于690分的同学被高校提前录取为事件，不超过690分的同学被高校提前录取为事件，
则，
，
该班恰有两名同学通过“强基计划”被高校提前录取的概率：
．
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