2020-2021学年湖北省十堰市东风国际学校高一（下）期末数学模拟练习试卷（1）

这是一份2020-2021学年湖北省十堰市东风国际学校高一（下）期末数学模拟练习试卷（1），共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年湖北省十堰市东风国际学校高一（下）期末数学模拟练习试卷（1）
一、单选题（每题5分）
1．（5分）（2021•翠屏区校级模拟）设全集，2，3，4，5，6，7，，集合，集合，3，5，，则　　
A．，3，4，5， B．，6， C．，4， D．，2，6，7，
2．（5分）（2021•临汾模拟）若复数满足，则复数的虚部是　　
A． B． C． D．
3．（5分）（2021•临汾模拟）若实数，，满足，则　　
A． B． C． D．
4．（5分）（2022•碑林区校级一模）为达成“碳达峰、碳中和”的目标，我们需坚持绿色低碳可持续发展道路，可再生能源将会有一个快速发展的阶段．太阳能是一种可再生能源，光伏是太阳能光伏发电系统的简称，主要有分布式与集中式两种方式．下面的图表是近年来中国光伏市场发展情况表，则下列结论中正确的是　　

A．年，年光伏新增装机规模同比（与上年相比）增幅逐年递减
B．年，年光伏发电量与年份成负相关
C．年，年新增装机规模中，分布式的平均值大于集中式的平均值
D．年，每年光伏发电量占全国发电总量的比重与年份成正相关
5．（5分）（2021•湖南模拟）已知直线，和平面，，则下列命题正确的是　　
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
6．（5分）（2021•全国Ⅰ卷模拟）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即．若对同一“表高”两次测量，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍（所成角记，，则　　
A． B． C． D．
7．（5分）（2022•石嘴山校级一模）在中，角，，所以对的边分别为，，，若，的面积为，，则　　
A． B． C．或 D．或3
8．（5分）（2021春•十堰期末）如图，在等腰中，已知，，，分别是边，的点，且，，其中，且，若线段，的中点分别为，，则的最小值是　　

A． B． C． D．
二、多选题（每题5分，部分正确2分）
9．（5分）（2021•山东模拟）已知实数，，满足且，则下列不等关系一定正确的是　　
A． B． C． D．
10．（5分）（2021•新沂市校级模拟）下列命题中，正确的是　　
A．在中，，则
B．在锐角中，不等式恒成立
C．在中，若，则必是等腰直角三角形
D．在中，若，，则必是等边三角形
11．（5分）（2021春•十堰期末）将曲线上每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，则下列说法正确的是　　
A．
B．在，上的值域为
C．的图象关于点对称
D．的图象可由的图象向右平移等个单位长度得到
12．（5分）（2021•山东模拟）如图，在正方体中，，分别是，的中点，为线段上的动点（不含端点），则下列结论中正确的是　　

A．平面
B．存在点使得
C．存在点使得异面直线与所成的角为
D．三棱锥的体积为定值
三、填空题（每题5分）
13．（5分）（2021春•十堰期末）如图，已知用斜二测画法画出的的直观图是边长为的正三角形，原的面积为 　　．

14．（5分）（2021•连云港模拟）如图，在梯形中，，，，点是的中点．则　　．

15．（5分）（2021•浦东新区校级三模）已知，若，则　　．
16．（5分）（2021春•十堰期末）任意一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面．像这样，表面连续变形，可变为球面的多面体称为简单多面体．多面体欧拉定理是指对于简单多面体，其各维对象数总满足一定的数量关系，在三维空间中，多面体欧拉定理可表示为：顶点数面数棱数．正多面体的每个面都是正边形，顶点数是，棱数为，面数是，每个顶点连的棱数是，则下面对于正多面体的描述正确的是 　　．
①在正十二面体中，满足等式：；
②在正多面体中，满足等式：；
③在三维空间中，正多面体有且仅有4种；
④以正六面体各面中心为顶点作一个正八面体，正六面体与正八面体的体积之比为；
⑤以正六面体各面中心为顶点作一个正八面体，正六面体与正八面体的表面积之比为．
四、解答题（共70分，其中17题10分，18-22题每题12分）
17．（10分）（2021春•十堰期末）（1）已知平面向量、，其中．若，且，求向量的坐标表示；
（2）已知平面向量、满足，，与的夹角为，且，求的值．
18．（12分）（2021春•十堰期末）某科研课题组通过一款手机软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量（简称“周跑量” ，得到如表的频数分布表：
周跑量
，
，
，
，
，
，
，
，
，
人数
100
120
130
180
220
150
60
30
10
（1）补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图；
（2）根据以如图表数据，试求样本的中位数及众数（保留一位小数）；
周跑量
小于20公里
20公里到40公里
不小于40公里
类别
休闲跑者
核心跑者
精英跑者
装备价格（单位：元）
2500
4000
4500
（3）根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成以下三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样（如表），根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费多少元？

19．（12分）（2021•上虞区模拟）已知函数，，在一个周期内的图象如图所示．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，求在，上的单调递增区间．

20．（12分）（2020•新课标Ⅰ）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，．
（1）证明：平面平面；
（2）设，圆锥的侧面积为，求三棱锥的体积．

21．（12分）（2021•汕头三模）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答问题．在中，内角，，的对边长分别为，，，且____．
（1）求角的大小；
（2）若是锐角三角形，且，求边长的取值范围．
22．（12分）（2021•虹口区二模）设且，，已知函数，．
（1）当时，求不等式的解；
（2）若函数在区间，上有零点，求的取值范围．

2020-2021学年湖北省十堰市东风国际学校高一（下）期末数学模拟练习试卷（1）
参考答案与试题解析
一、单选题（每题5分）
1．（5分）（2021•翠屏区校级模拟）设全集，2，3，4，5，6，7，，集合，集合，3，5，，则　　
A．，3，4，5， B．，6， C．，4， D．，2，6，7，
【解答】解：，4，，
，3，4，5，，，6，．
故选：．
2．（5分）（2021•临汾模拟）若复数满足，则复数的虚部是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由，得，
得的虚部为．
则复数的虚部是．
故选：．
3．（5分）（2021•临汾模拟）若实数，，满足，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：令，
解得，，，
故，
故选：．
4．（5分）（2022•碑林区校级一模）为达成“碳达峰、碳中和”的目标，我们需坚持绿色低碳可持续发展道路，可再生能源将会有一个快速发展的阶段．太阳能是一种可再生能源，光伏是太阳能光伏发电系统的简称，主要有分布式与集中式两种方式．下面的图表是近年来中国光伏市场发展情况表，则下列结论中正确的是　　

A．年，年光伏新增装机规模同比（与上年相比）增幅逐年递减
B．年，年光伏发电量与年份成负相关
C．年，年新增装机规模中，分布式的平均值大于集中式的平均值
D．年，每年光伏发电量占全国发电总量的比重与年份成正相关
【解答】解：，年，年光伏新增装机规模同比（与上年相比）增幅逐年递减，前几年递增，后面递减，故错误；
，年，年光伏发电量与年份成正相关，故错误；
，由图表可以看出，每一年装机规模，集中式都比分布式大，因此分布式的平均值小于集中式的平均值，故错误；
，根据图表可知，年，每年光伏发电量占全国发电总量的比重随年份逐年增加，
故每年光伏发电量占全国发电总量的比重与年份成正相关，故正确．
故选：．
5．（5分）（2021•湖南模拟）已知直线，和平面，，则下列命题正确的是　　
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【解答】解：对于，若，，则或，故错误；
对于，若，，则或或与相交，相交也不一定垂直，故错误；
对于，若，则与无公共点，又，与无公共点，则，故正确；
对于，若，，则或或与相交，相交也不一定垂直，故错误．
故选：．
6．（5分）（2021•全国Ⅰ卷模拟）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即．若对同一“表高”两次测量，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍（所成角记，，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意知，，
所以．
故选：．
7．（5分）（2022•石嘴山校级一模）在中，角，，所以对的边分别为，，，若，的面积为，，则　　
A． B． C．或 D．或3
【解答】解：因为：，，
所以：，
又的面积为，解得，
又，
所以，，可得，
所以由余弦定理，可得，或．
故选：．
8．（5分）（2021春•十堰期末）如图，在等腰中，已知，，，分别是边，的点，且，，其中，且，若线段，的中点分别为，，则的最小值是　　

A． B． C． D．
【解答】解：在等腰中，已知，，
所以：；
，分别是边，的点，
所以：，，
而，
两边平方得：，
且，
所以，
其中，，即，
当时，的最小值为，
所以：的最小值是．
故选：．
二、多选题（每题5分，部分正确2分）
9．（5分）（2021•山东模拟）已知实数，，满足且，则下列不等关系一定正确的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：对于，且，
或，
，
，即，故错误，
对于，，，，
，即，故正确，
对于，由题意知，，故正确，
当，，时，，故错误．
故选：．
10．（5分）（2021•新沂市校级模拟）下列命题中，正确的是　　
A．在中，，则
B．在锐角中，不等式恒成立
C．在中，若，则必是等腰直角三角形
D．在中，若，，则必是等边三角形
【解答】解：对于，由，可得：，利用正弦定理可得：，正确；
对于，在锐角中，，，，，，因此不等式恒成立，正确
对于，在中，由，利用正弦定理可得：，
，
，，
或，
或，
是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，错误．
对于，由于，，由余弦定理可得：，可得，解得，可得，故正确．
故选：．
11．（5分）（2021春•十堰期末）将曲线上每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，则下列说法正确的是　　
A．
B．在，上的值域为
C．的图象关于点对称
D．的图象可由的图象向右平移等个单位长度得到
【解答】解：，
将曲线上每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到．
则，故错误；
由，，得，，可得，，故正确；
由，可得的图象关于点，对称，故错误；
对于，由的图象向右平移个单位长度，
得到的图象，故正确．
故选：．
12．（5分）（2021•山东模拟）如图，在正方体中，，分别是，的中点，为线段上的动点（不含端点），则下列结论中正确的是　　

A．平面
B．存在点使得
C．存在点使得异面直线与所成的角为
D．三棱锥的体积为定值
【解答】解：如图，由三角形中位线定理可得，再由正方体的结构特征得，则，
平面，平面，平面，故正确；
设的中点为，若为的中点，则有，，
，平面，则，
，，故正确；
设正方体的棱长为2，取的中点，连接，由，得异面直线与所成角为，
在直角三角形中，，即，故错误；
由图可知到平面的距离为定值，则三棱锥的体积为定值，故正确．
故选：．

三、填空题（每题5分）
13．（5分）（2021春•十堰期末）如图，已知用斜二测画法画出的的直观图是边长为的正三角形，原的面积为 　　．

【解答】解：过点作轴，且交轴于点，
过点作轴，且交轴于点，
则，
所以，
则，
所以原三角形的高，底边长为，
其面积为．
故答案为：．

14．（5分）（2021•连云港模拟）如图，在梯形中，，，，点是的中点．则　　．

【解答】解：设，则，，
为的中点，，，为等边三角形，
，，
在中，由余弦定理得，，
在中，由正弦定理得，，
，
故答案为：．
15．（5分）（2021•浦东新区校级三模）已知，若，则　　．
【解答】解：，，
，，


，
所以
．
故答案为：．
16．（5分）（2021春•十堰期末）任意一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面．像这样，表面连续变形，可变为球面的多面体称为简单多面体．多面体欧拉定理是指对于简单多面体，其各维对象数总满足一定的数量关系，在三维空间中，多面体欧拉定理可表示为：顶点数面数棱数．正多面体的每个面都是正边形，顶点数是，棱数为，面数是，每个顶点连的棱数是，则下面对于正多面体的描述正确的是 　①⑤　．
①在正十二面体中，满足等式：；
②在正多面体中，满足等式：；
③在三维空间中，正多面体有且仅有4种；
④以正六面体各面中心为顶点作一个正八面体，正六面体与正八面体的体积之比为；
⑤以正六面体各面中心为顶点作一个正八面体，正六面体与正八面体的表面积之比为．
【解答】解：①由欧拉定理：顶点数面数棱数，得，所以①正确；
②举反例，在正六面体（正方体）中，，，，，，则，，，故②错误；
③在三维空间中，正多面体有且仅有5种，分别为正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体，正二十面体，如图所示，所以③错误；

④⑤如图所示，

不妨设正六面体（正方体）的棱长为2，
正八面体可以看成为两个全等正四棱锥的组合体，
则正四棱锥的高为1，棱长为，
所以正六面体的体积为，正八面体的体积为，
所以正六面体与正八面体的体积之比为，
正方体的表面积为，正八面体的表面积为，
所以正六面体与正八面体的表面积之比为，故④错误，⑤正确．
故答案为：①⑤．


四、解答题（共70分，其中17题10分，18-22题每题12分）
17．（10分）（2021春•十堰期末）（1）已知平面向量、，其中．若，且，求向量的坐标表示；
（2）已知平面向量、满足，，与的夹角为，且，求的值．
【解答】解：（1），，
设，且，
，解得，
或；
（2），，
，
又，
，解得．
18．（12分）（2021春•十堰期末）某科研课题组通过一款手机软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量（简称“周跑量” ，得到如表的频数分布表：
周跑量
，
，
，
，
，
，
，
，
，
人数
100
120
130
180
220
150
60
30
10
（1）补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图；
（2）根据以如图表数据，试求样本的中位数及众数（保留一位小数）；
周跑量
小于20公里
20公里到40公里
不小于40公里
类别
休闲跑者
核心跑者
精英跑者
装备价格（单位：元）
2500
4000
4500
（3）根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成以下三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样（如表），根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费多少元？

【解答】解：（1）补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图如下：

（2）由频率分布直方图得样本的众数为，
由频率分布直方图得，的频率为，
，的频率为，
设样本的中位数为，则，解得，
样本的中位数约为29.2．
（3）依题意知休闲跑者共有：人，
核心跑者共有人，
精英跑者共有人，
估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费：
（元．
19．（12分）（2021•上虞区模拟）已知函数，，在一个周期内的图象如图所示．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，求在，上的单调递增区间．

【解答】解：（Ⅰ）函数，，在一个周期内的图象，
，．
根据五点法作图可得，．
再根据图象经过，可得，，．
（Ⅱ）将函数的图象向右平移个单位长度后，
得到函数的图象．
令，求得，
可得的增区间为，，．
结合，，可得在，上的单调递增区间为，和，．
20．（12分）（2020•新课标Ⅰ）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，．
（1）证明：平面平面；
（2）设，圆锥的侧面积为，求三棱锥的体积．

【解答】解：（1）连接，，，是底面的内接正三角形，
所以．
是圆锥底面的圆心，所以：，
所以，
所以，
由于，
所以，
所以，，
由于，
所以平面，
由于平面，
所以：平面平面．
（2）设圆锥的底面半径为，圆锥的母线长为，
所以．
由于圆锥的侧面积为，
所以，整理得，
解得．
所以．
由于，解得
则：．

21．（12分）（2021•汕头三模）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答问题．在中，内角，，的对边长分别为，，，且____．
（1）求角的大小；
（2）若是锐角三角形，且，求边长的取值范围．
【解答】解：（1）选条件①．
因为，
所以，
根据正弦定理得，，
由余弦定理得，，
因为是的内角，
所以
选条件②，
因为，由余弦定理，
整理得，
由余弦定理得，，
因为是的内角，
所以．
选条件③，
因为，
．
，即
因为，．
，
；
（2）因为，为锐角三角形，
所以，解得
在中，，
所以，
即．
由可得，，
所以，所以．
22．（12分）（2021•虹口区二模）设且，，已知函数，．
（1）当时，求不等式的解；
（2）若函数在区间，上有零点，求的取值范围．
【解答】解：（1）当时，不等式可化为，
当时，则有，解得，
所以不等式的解集为；
当时，则有，解得，
所以不等式的解集为．
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，所以不等式的解集为．
（2）函数，
令，即，
因为，，所以，，
所以，，
故，
设，，则有，
故或，
解得或，
故的取值范围为或．
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