2020-2021学年江苏省南京二十九中高一（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省南京二十九中高一（下）期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省南京二十九中高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）已知，是虚数单位，若，且，则　　A．或1 B．或 C．或2 D．或2．（5分）（2014秋•武汉校级期末）已知是边长为2的正三角形，则的值为　　A．2 B． C． D．3．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）若复数满足是虚数单位），则在复平面内对应的点在　　A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）在直四棱柱中，底面为矩形，点为的中点，，且，则异面直线与所成角的余弦值为　　A． B． C． D．5．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该圆锥的体积为　　A． B． C． D．6．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）《九章算术》是我国古代著名数学经典，其对勾股定理的论述比西方早一千多年．其中有这样一个问题：“今有勾三步，股四步，间勾中容方几何？”其意思为：今有直角三角形，勾（短直角边）长3步，股（长直角边）长为4步，问该直角三角形能容纳的正方形，，分别在边，，上）边长为多少？在求得正方形的边后，可进一步求得的正切值为　　A． B． C． D．7．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）在边长为3的正方形中，点在线段上，且，则　　A． B． C．3 D．48．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）已知，，，则的最大值为　　A． B． C．1 D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分，在每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，每题全选对得5分，部分选对得2分，其他情况不得分．9．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）已知复数，在复平面内对应的点关于轴对称，且，为的共轭复数，若复数，则下列结论正确的是　　A．在复平面内对应的点位于第二象限 B． C．的实部为 D．的虚部为10．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）欧拉公式（其中是虚数单位，是由瑞典著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的　　A．复数对应的点位于第一象限 B．复数模长等于 C．为纯虚数 D．11．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）下列说法中正确的是　　A．在中，若，则为钝角三角形 B．已知非零向量，，若，则与反向共线且 C．若，则存在唯一实数使得 D．若，，分别表示，的面积，则12．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）如图，在棱长为2的正方体中，为线段上一动点（包括端点），则以下结论正确的是　　A．三棱锥的体积为定值 B．当点为中点时，直线与平面所成角的正弦值为 C．当点与重合时，三棱锥的外接球的体积为 D．过点平行于平面的平面被正方体截得的多边形的面积为三、填空题：本大题共4小题5个空，每题5分，共计20分，请把答案填写在答题卡相应位置上．13．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）平面向量，，若，则　　．14．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）已知向量，，且，则　　．15．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）如图，为中边上一点，若，，，若使的个数有且仅有两个，则线段的值可以为 　　．16．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）已知边长为2的正三角形，现沿高线翻折而形成四面体，且使得二面角的平面角为，则点到面的距离为 　　；此时四面体外接球的表面积为 　　．四、解答题：本大题共6小题，共计70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）（2021春•鼓楼区校级期末）已知直线平面，直线平面，求证：．18．（12分）（2021春•鼓楼区校级期末）已知函数．（1）若，，求函数的值域；（2）设，，若，求的值．19．（12分）（2021春•鼓楼区校级期末）已知在四棱锥中，底面为矩形，侧面平面，，且，点为的中点．（1）若点在棱上，直线平面，证明：点为的中点；（2）证明：直线平面．20．（12分）（2021春•鼓楼区校级期末）已知函数．（1）若，，若函数有两个零点，求实数的取值范围；（2）若在圆内接四边形中，，，，求的值．21．（12分）（2021春•鼓楼区校级期末）在①，②，③，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决问题．在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足_____．（1）求的值；（2）若点在上，且，，，求．22．（12分）（2021春•鼓楼区校级期末）如图在三棱柱中，侧面为菱形，平面平面，直线与平面所成线面角为，且，，．（1）求证：平面平面；（2）设为线段上一点，求三棱锥的体积．
2020-2021学年江苏省南京二十九中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）已知，是虚数单位，若，且，则　　A．或1 B．或 C．或2 D．或【解答】解：由，且，得，解得．故选：．2．（5分）（2014秋•武汉校级期末）已知是边长为2的正三角形，则的值为　　A．2 B． C． D．【解答】解：由于是边长为2的正三角形，则．故选：．3．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）若复数满足是虚数单位），则在复平面内对应的点在　　A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：．复数对应点坐标为，，在第二象限，故选：．4．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）在直四棱柱中，底面为矩形，点为的中点，，且，则异面直线与所成角的余弦值为　　A． B． C． D．【解答】解：直四棱柱中，底面为矩形，，，为的中点，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，2，，，1，，，2，，，0，，，1，，，0，，设异面直线与所成角为，则，异面直线与所成角的余弦值为．故选：．5．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该圆锥的体积为　　A． B． C． D．【解答】解：设圆锥的底面半径为，母线为，高为，因为圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，所以，解得，，故，所以该圆锥的体积为．故选：．6．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）《九章算术》是我国古代著名数学经典，其对勾股定理的论述比西方早一千多年．其中有这样一个问题：“今有勾三步，股四步，间勾中容方几何？”其意思为：今有直角三角形，勾（短直角边）长3步，股（长直角边）长为4步，问该直角三角形能容纳的正方形，，分别在边，，上）边长为多少？在求得正方形的边后，可进一步求得的正切值为　　A． B． C． D．【解答】解：设正方形的边长为，则，．由三角形相似得，即，解得．因为，，所以．故选：．7．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）在边长为3的正方形中，点在线段上，且，则　　A． B． C．3 D．4【解答】解：如图：建立平面直角坐标系，在边长为3的正方形中，点在线段上，且，可得，，，，，则，，，，．故选：．8．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）已知，，，则的最大值为　　A． B． C．1 D．【解答】解：，，，，，即，，即，化简整理，可得，当且，即，等号成立，取得最大值．故选：．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分，在每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，每题全选对得5分，部分选对得2分，其他情况不得分．9．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）已知复数，在复平面内对应的点关于轴对称，且，为的共轭复数，若复数，则下列结论正确的是　　A．在复平面内对应的点位于第二象限 B． C．的实部为 D．的虚部为【解答】解：由，在复平面内对应的点关于轴对称，且，得，，所以，所以在复平面内对应的点位于第四象限，所以选项错误；，所以选项正确；的实部为，所以选项正确；的虚部为，所以不正确．故选：．10．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）欧拉公式（其中是虚数单位，是由瑞典著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的　　A．复数对应的点位于第一象限 B．复数模长等于 C．为纯虚数 D．【解答】解：复数，由，可得3为第二象限的角，则，，所以复数对应的点位于第二象限，故错误；复数模长为，故正确；是实数，故错误；，故正确．故选：．11．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）下列说法中正确的是　　A．在中，若，则为钝角三角形 B．已知非零向量，，若，则与反向共线且 C．若，则存在唯一实数使得 D．若，，分别表示，的面积，则【解答】解：，，为钝角，故选项正确，非零向量，，，可得与反向共线且，故选项正确，若，且时，则有无数个，使得，故选项错误，设，，可得为的重心，设，，，，，，，，，故选项正确． 故选：．12．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）如图，在棱长为2的正方体中，为线段上一动点（包括端点），则以下结论正确的是　　A．三棱锥的体积为定值 B．当点为中点时，直线与平面所成角的正弦值为 C．当点与重合时，三棱锥的外接球的体积为 D．过点平行于平面的平面被正方体截得的多边形的面积为【解答】解：对于到面的距离，，故正确；对于：设到平面的距离，，又，所以，解得，当为的中点时，也为中点，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为，故不正确；对于：由长方体几何特征可得平面，所以，所以三棱锥的外接球的球心为的中点，所以半径为，所以三棱锥的外接球的体积为，故正确；对于：过点平行于平面的平面被正方体截得的多边形为，所以，故正确．故选：．三、填空题：本大题共4小题5个空，每题5分，共计20分，请把答案填写在答题卡相应位置上．13．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）平面向量，，若，则　　．【解答】解：，且，，解得．故答案为：．14．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）已知向量，，且，则　　．【解答】解：由于，，且，故有：，化简得，则．故答案为：．15．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）如图，为中边上一点，若，，，若使的个数有且仅有两个，则线段的值可以为 　3.5　．【解答】解：在中，利用余弦定理，代入数据，解得．如图，过作，垂足为，则，所以．故答案为：3.5．16．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）已知边长为2的正三角形，现沿高线翻折而形成四面体，且使得二面角的平面角为，则点到面的距离为 　　；此时四面体外接球的表面积为 　　．【解答】解：在四面体中，，，所以．所以为等边三角形，且面积为；因为平面，所以四面体的体积为；在四面体中，的三边分别为，，所以面积为；设点到面的距离为，则，解得；由正弦定理可得的外接圆半径满足，；因为平面，所以四面体的顶点都在底面半径为，高为的圆柱上．所以外接球半径满足，表面积为．故答案为：．四、解答题：本大题共6小题，共计70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）（2021春•鼓楼区校级期末）已知直线平面，直线平面，求证：．【解答】证明：设为过的平面，且．，．直线平面，，，．故．18．（12分）（2021春•鼓楼区校级期末）已知函数．（1）若，，求函数的值域；（2）设，，若，求的值．【解答】解：（1），，，，，，，的值域为．（2），，，，，，．19．（12分）（2021春•鼓楼区校级期末）已知在四棱锥中，底面为矩形，侧面平面，，且，点为的中点．（1）若点在棱上，直线平面，证明：点为的中点；（2）证明：直线平面．【解答】证明：（1）平面，面，面面，，而在中，为的中点，在棱上，为的中点，即得证．（2）底面为矩形，，侧面平面，侧面平面，面，面，又面，则，，，面，面，，在中，，点为的中点，，，面．20．（12分）（2021春•鼓楼区校级期末）已知函数．（1）若，，若函数有两个零点，求实数的取值范围；（2）若在圆内接四边形中，，，，求的值．【解答】解：（1）函数．由于，所以，当时，故时，函数有两个零点，即有两个交点，则的取值范围为：．（2）由于（A），整理得，解得或舍去），故．如图所示： 在中，，，利用余弦定理：，解得．在中，，，，设，利用余弦定理：，整理得：，解得或（负值舍去），故．21．（12分）（2021春•鼓楼区校级期末）在①，②，③，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决问题．在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足_____．（1）求的值；（2）若点在上，且，，，求．【解答】解：（1）若选①：因为，由正弦定理可得，因为，所以，联立，解得，，故．若选②：因为，所以，即，联立，可得．若选③：因为，由正弦定理可得，所以，因为，所以．（2）由余弦定理可得，因为，所以，即，则，①同时，即，②联立①②可得，解得，则，故，则．22．（12分）（2021春•鼓楼区校级期末）如图在三棱柱中，侧面为菱形，平面平面，直线与平面所成线面角为，且，，．（1）求证：平面平面；（2）设为线段上一点，求三棱锥的体积．【解答】（1）证明：连接，与相交于点，在中，由余弦定理知，，化简得，，，，即，又平面平面，平面平面，平面，，菱形，，又，、平面，平面，平面，平面平面． （2）解：由三棱柱的性质知，，平面，平面，平面，点到平面的距离等于点到平面的距离，平面平面，直线与平面所成线面角为，且，点到平面的距离，三棱锥的体积．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/6/13 19:07:41；用户：13159259195；邮箱：13159259195；学号：39016604