2020-2021学年山东省日照市高一（下）期末数学试卷

2020-2021学年山东省日照市高一（下）期末数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）（2021秋•河北区期末）等于　　

A． B． C． D．

2．（5分）（2012•安溪县模拟）已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．（5分）（2021春•日照期末）已知圆柱底面半径为2，母线长为3，则其侧面积为　　

A．12 B．16 C． D．

4．（5分）（2021春•日照期末）的值为　　

A． B． C． D．

5．（5分）（2021春•日照期末）函数的部分图象如图所示，那么　　

A． B． C． D．

6．（5分）（2008•天津）把函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是　　

A．， B．， 

C．， D．，

7．（5分）（2021春•日照期末）已知在中，，，分别为内角，，的对边，，，且，则　　

A．10 B．6 C．12 D．16

8．（5分）（2021•南充模拟）在三棱锥中，平面，若，，，则此三棱锥的外接球的体积为　　

A． B． C． D．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。

9．（5分）（2021春•日照期末）若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是　　

A．的虚部为 B． 

C．为纯虚数 D．的共轭复数为

10．（5分）（2021春•日照期末）已知，是空间两个不同的平面，，是空间两条不同的直线，则　　

A．，，且，则 B．，，且，则 

C．，，且，则 D．，，且，则

11．（5分）（2021春•日照期末）下列结论正确的是　　

A．在中，若，则 

B．在锐角三角形中，不等式恒成立 

C．在中，若，则是直角三角形 

D．在中，若，，，则的外接圆半径为

12．（5分）（2021春•日照期末）如图，正方体的棱长为3，点，分别在，上，，．动点在侧面内（包含边界）运动，且满足直线平面，则　　

A．平面 

B．三棱锥的体积为定值 

C．动点所形成轨迹的长度为3 

D．过，，的平面截正方体所得截面为等腰梯形

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）（2021春•日照期末）若，则的值为　　．

14．（5分）（2021春•日照期末）若向量，，则在上的投影的数量为 　　．

15．（5分）（2021春•日照期末）圣索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑．1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点之一．其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为米，在它们之间的地面上的点，，三点共线）处测得楼顶．教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为 　　米．

16．（5分）（2021春•日照期末）已知函数的定义域为，，值域为，则的取值范围为 　　．

四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（10分）（2021春•日照期末）已知，．求：

（1）；

（2）的值．

18．（12分）（2021春•日照期末）已知向量，．

（1）若与垂直，求实数的值；

（2）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围．

19．（12分）（2021春•日照期末）如图，在几何体中，四边形是菱形，且，平面，，且．

（1）证明：平面平面；

（2）若二面角为，求几何体的体积．

20．（12分）（2021春•日照期末）已知函数，．

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围．

21．（12分）（2021春•日照期末）如图，四棱锥中，底面为矩形且，平面平面，为棱上一点．

（1）在平面内能否做一条过点的直线，使得，若能，请画出直线并加以证明；若不能，请说明理由．

（2）若为棱上靠近点的四等分点，求直线与平面所成角的正弦值．

22．（12分）（2021春•日照期末）为提升城市旅游景观面貌，城建部门拟对一公园进行改造，已知原公园是直径为200米的半圆，出入口在圆心处，点为一居民小区，距离为200米，按照设计要求，取圆弧上一点，并以线段为一边向圆外作等边三角形，使改造之后的公园成四边形，并将区域建成免费开放的植物园，如图所示．

（1）若时，点与出入口的距离为多少米？

（2）设计在什么位置时，免费开放的植物园区域面积最大？并求此最大面积．

2020-2021学年山东省日照市高一（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）（2021秋•河北区期末）等于　　

A． B． C． D．

【解答】解：

．

故选：．

2．（5分）（2012•安溪县模拟）已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【解答】解：

所以对应的点为

所以对应的点位于第二象限

故选：．

3．（5分）（2021春•日照期末）已知圆柱底面半径为2，母线长为3，则其侧面积为　　

A．12 B．16 C． D．

【解答】解：因为圆柱底面半径为2，母线长为3，

则其侧面积为．

故选：．

4．（5分）（2021春•日照期末）的值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：

．

故选：．

5．（5分）（2021春•日照期末）函数的部分图象如图所示，那么　　

A． B． C． D．

【解答】解：由函数的部分图象知，，

且，解得，所以；

又，是的五点法画图中的第一个点，

所以，解得；

所以，

所以．

故选：．

6．（5分）（2008•天津）把函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是　　

A．， B．， 

C．， D．，

【解答】解：由的图象向左平行移动个单位得到，

再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的得到

故选：．

7．（5分）（2021春•日照期末）已知在中，，，分别为内角，，的对边，，，且，则　　

A．10 B．6 C．12 D．16

【解答】解：由，可得，

由，且，化为，即，①

由可得，即，②

由①②解得，，

故选：．

8．（5分）（2021•南充模拟）在三棱锥中，平面，若，，，则此三棱锥的外接球的体积为　　

A． B． C． D．

【解答】解：如图

设底面三角形的外接圆的半径为，由正弦定理可得：，

即，．

平面，三棱锥的外接球的球心与外接圆圆心的连线与底面垂直，

且到与的距离相等，则球心到底面距离，

再设三棱锥的外接球的半径为，则．

此三棱锥的外接球的体积为．

故选：．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。

9．（5分）（2021春•日照期末）若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是　　

A．的虚部为 B． 

C．为纯虚数 D．的共轭复数为

【解答】解：，

的虚部为，，为纯虚数，的共轭复数为．

正确的选项为：．

故选：．

10．（5分）（2021春•日照期末）已知，是空间两个不同的平面，，是空间两条不同的直线，则　　

A．，，且，则 B．，，且，则 

C．，，且，则 D．，，且，则

【解答】解：若，，且，则或与相交，故错误；

若，，则或或与相交，又，所以或与相交，相交也不一定垂直，故错误；

若，，则，又，所以，故正确；

若，，则或，又，则，故正确．

故选：．

11．（5分）（2021春•日照期末）下列结论正确的是　　

A．在中，若，则 

B．在锐角三角形中，不等式恒成立 

C．在中，若，则是直角三角形 

D．在中，若，，，则的外接圆半径为

【解答】解：对于：在中，若，故，利用正弦定理：，故正确；

对于：在锐角中，，所以，故，所以恒成立，故正确；

对于：在中，若，整理得：，所以，由于，解得，则是直角三角形，故正确；

对于：在中，若，，三角形面积，所以，解得，

所以，所以，则，故错误；

故选：．

12．（5分）（2021春•日照期末）如图，正方体的棱长为3，点，分别在，上，，．动点在侧面内（包含边界）运动，且满足直线平面，则　　

A．平面 

B．三棱锥的体积为定值 

C．动点所形成轨迹的长度为3 

D．过，，的平面截正方体所得截面为等腰梯形

【解答】解：选项，因为平面平面，平面，所以平面，说法正确．

在线段上取，上取，连接，，．

在正方体中，因为，，所以，，

所以平面，平面，所以平面平面，故点的轨迹为线段．

选项，因为平面，所以到平面的距离不变，又△的面积不变，

所以定值，选项正确．

选项，，选项错误．

选项，取中点，中点，

因为为中点，为中点，所以，又，所以，

所以过，，的平面截正方体所得截面为梯形，又，选项错误．

故选：．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）（2021春•日照期末）若，则的值为　　．

【解答】解：因为，

则原式．

故答案为：．

14．（5分）（2021春•日照期末）若向量，，则在上的投影的数量为 　　．

【解答】解：在上的投影数量为．

故答案为：．

15．（5分）（2021春•日照期末）圣索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑．1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点之一．其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为米，在它们之间的地面上的点，，三点共线）处测得楼顶．教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为 　　米．

【解答】解：由题意知：， 所以，

在中，，

在中，由正弦定理得 所以，

在中，．

故答案为：．

16．（5分）（2021春•日照期末）已知函数的定义域为，，值域为，则的取值范围为 　，　．

【解答】解：

，值域为，，

，，

所以，，

故，，，

，

所以最大值为；

令，得，

令，得，

所以的最小值为，

所以的取值范围是，．

故答案为：，．

四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（10分）（2021春•日照期末）已知，．求：

（1）；

（2）的值．

【解答】解：（1）因为，，

所以，

所以；

（2）因为，

整理可得，

因为，

可得，

所以．

18．（12分）（2021春•日照期末）已知向量，．

（1）若与垂直，求实数的值；

（2）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）因为，

所以，

因为与垂直，

所以，解得．

（2），

因为与的夹角为钝角，

所以，即，解得．

当与的夹角为时，即与方向相反时，

即，解得．

所以的取值范围为．

19．（12分）（2021春•日照期末）如图，在几何体中，四边形是菱形，且，平面，，且．

（1）证明：平面平面；

（2）若二面角为，求几何体的体积．

【解答】（1）证明：四边形是菱形，，

平面，，

又，平面，

而平面，平面平面；

（2）解：由（1）知平面，

连接，则，又，

为二面角的平面角，为，

在中，，，则，

在菱形中，，可得，

．

几何体的体积．

20．（12分）（2021春•日照期末）已知函数，．

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）函数，

由于，

所以．

当时，函数单调递增，即，

当时，函数单调递减，即．

故函数的单调递增区间为：；函数的单调递减区间为：．

（2）函数在上有两个零点，

令，

整理得：，故，

所以或，

解得，，

由于，

故，

整理得，

故．

21．（12分）（2021春•日照期末）如图，四棱锥中，底面为矩形且，平面平面，为棱上一点．

（1）在平面内能否做一条过点的直线，使得，若能，请画出直线并加以证明；若不能，请说明理由．

（2）若为棱上靠近点的四等分点，求直线与平面所成角的正弦值．

【解答】解：（1）在平面内过点作的平行线交于点，下证．

因为平面平面，且平面平面，，平面，

所以面，又因为平面，所以，所以．

（2）如图，取的中点，因为，所以，

又因为平面平面，平面，所以平面．

连接，过点作的平行线交于点，则平面，

所以是直线与平面所成角．

因为，所以，，

在中，，，所以，所以，

则，即，

所以．

22．（12分）（2021春•日照期末）为提升城市旅游景观面貌，城建部门拟对一公园进行改造，已知原公园是直径为200米的半圆，出入口在圆心处，点为一居民小区，距离为200米，按照设计要求，取圆弧上一点，并以线段为一边向圆外作等边三角形，使改造之后的公园成四边形，并将区域建成免费开放的植物园，如图所示．

（1）若时，点与出入口的距离为多少米？

（2）设计在什么位置时，免费开放的植物园区域面积最大？并求此最大面积．

【解答】解：（1）设，，，

在中，由余弦定理可得

，

米．

（2）设，，，

在中，①，

②，

在中，由正弦定理得③，

将①②③代入下式可得

，

当时，．

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