2020-2021学年河北省邯郸市高一（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年河北省邯郸市高一（下）期末数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年河北省邯郸市高一（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）（2021春•邯郸期末）已知向量，，若，则　　
A． B． C． D．
2．（5分）（2021春•邯郸期末）在正四面体中，直线与直线所成的角的大小为　　
A． B． C． D．
3．（5分）（2021春•邯郸期末）已知某人射击每次击中目标的概率都是0.5，现在用随机模拟的方法估计此人3次射击至少2次击中目标的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示击中目标，5，6，7，8，9表示未击中目标．每3个随机数为一组，代表3次射击的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
926 446 072 021 392 077 663 817 325 615
405 858 776 631 700 259 305 311 589 258
据此估计，其3次射击至少2次击中目标的概率约为　　
A．0.45 B．0.5 C．0.55 D．0.6
4．（5分）（2021春•邯郸期末）设，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，下列命题正确的是　　
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，则 D．若，，，则
5．（5分）（2021春•邯郸期末）甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解出此问题的概率是0.8，乙解出此问题的概率是0.6，那么至少有一人解出此问题的概率是　　
A．0.98 B．0.92 C．0.9 D．0.88
6．（5分）（2021春•邯郸期末）在中，角，，所对应的边分别是，，，若，，则的面积为　　
A． B．1 C． D．2
7．（5分）（2021春•邯郸期末）为了解疫情防控延迟开学期间全区中小学线上教学的主要开展形式，某课题组面向各学校开展了一次随机调查，并绘制得到如图统计图，则采用“直播录播”方式进行线上教学的学校占比约为　　
A． B． C． D．
8．（5分）（2021春•邯郸期末）在中，，，分别为线段上的两个三等分点，若，则角为　　
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（5分）（2021春•邯郸期末）已知复数，其中是的共轭复数，则下列结论正确的是　　
A．的实部为
B．的虚部为
C．为纯虚数
D．在复平面内对应的点位于第四象限
10．（5分）（2021春•邯郸期末）已知甲罐中有2个大小、质地完全一样的小球，标号为1，2，乙罐中有4个大小、质地完全一样的小球，标号为1，2，3，4，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记样本空间为，事件为“抽取的两个小球标号之和大于4”，事件为“抽取的两个小球标号之积小于5”，则下列结论正确的是　　
A．与是互斥事件 B．与不是对立事件
C． D．
11．（5分）（2021春•邯郸期末）已知非零单位向量和，若，向量在向量上的投影向量为，向量在向量上的投影向量为，则下列结论正确的是　　
A． B． C． D．
12．（5分）（2021春•邯郸期末）已知正方体的棱长为2，点为的中点，若以为球心，为半径的球面与正方体的棱有四个交点，，，，则下列结论正确的是　　
A．平面平面 B．平面平面
C．四边形的面积为 D．四棱锥的体积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.
13．（5分）（2021春•邯郸期末）已知复数，则　　．
14．（5分）（2021春•邯郸期末）将边长为2的正方形，绕其一条对角线旋转，所围成的几何体的表面积为 　　．
15．（5分）（2021春•邯郸期末）已知正方体，则二面角的正弦值为 　　．
16．（5分）（2021春•邯郸期末）在中，角，，所对应的边分别是，，，已知，且为钝角，则　　，的取值范围是 　　．
四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18～22题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）（2021春•邯郸期末）在中，角，，所对应的边分别是，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，在下面三个条件中选一个，若存在，求的值，若不存在，说明理由．
①；②；③．
18．（12分）（2021春•邯郸期末）如图，已知为平面直角坐标系的原点，，．
（1）求的坐标；
（2）若四边形为平行四边形，求．

19．（12分）（2021春•邯郸期末）如图，在三棱锥中，，，，平面．
（1）求证：平面平面；
（2）若，是的中点，求与平面所成角的正切值．

20．（12分）（2021春•邯郸期末）甲、乙两人玩一个掷骰子游戏，规则如下：甲掷两次骰子，第一次掷出的数字作为十位数，第二次掷出的数字作为个位数，组成一个两位数，然后让乙猜．若乙猜出的结果与该两位数满足的数字特征相符，则乙获胜，否则甲获胜，一轮游戏结束，然后进行下一轮（每轮游戏都由甲掷两次骰子）．
所要猜的两位数的数字特征方案从以下两种猜法中选择一种；
猜法一：猜“两位数的十位大于个位”；
猜法二：猜“两位数的十位不大于个位”．
请回答：
（1）如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜法，并说明理由；
（2）假定每轮游戏结果相互独立，规定有人连续获胜两次则整个游戏停止．若乙按照（1）中的猜法进行游戏，求第三轮后游戏停止的概率．
21．（12分）（2021春•邯郸期末）如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形，点，分别是棱，上的点，点是线段上一点，．
（1）若为中点，证明：平面；
（2）若，求．

22．（12分）（2021春•邯郸期末）某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，，第二组：，，第三组：，，第四组：，，第五组：，，得到如图所示的频率分布直方图人．
（1）根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第80百分位数；
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者．
（ⅰ）若有甲（年龄，乙（年龄两人已确定人选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
（ⅱ）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这人中岁所有人的年龄的方差．


2020-2021学年河北省邯郸市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）（2021春•邯郸期末）已知向量，，若，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：向量，，，
，
解得．
故选：．
2．（5分）（2021春•邯郸期末）在正四面体中，直线与直线所成的角的大小为　　
A． B． C． D．
【解答】解：取中点，连接，，
则，，
，、平面，平面，
平面，，
直线与直线所成的角的大小为．
故选：．

3．（5分）（2021春•邯郸期末）已知某人射击每次击中目标的概率都是0.5，现在用随机模拟的方法估计此人3次射击至少2次击中目标的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示击中目标，5，6，7，8，9表示未击中目标．每3个随机数为一组，代表3次射击的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
926 446 072 021 392 077 663 817 325 615
405 858 776 631 700 259 305 311 589 258
据此估计，其3次射击至少2次击中目标的概率约为　　
A．0.45 B．0.5 C．0.55 D．0.6
【解答】解：根据题意，在20组随机数中，
能表示至少2次击中目标的有446、072、021、392、325、405、631、700、305、311，共10组，
则其3次射击至少2次击中目标的概率；
故选：．
4．（5分）（2021春•邯郸期末）设，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，下列命题正确的是　　
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，则 D．若，，，则
【解答】解：，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，
对于，若，，则与平行或异面，故错误；
对于，若，，，则与相交、平行或异面，故错误；
对于，若，，则由线面垂直的性质得，故正确；
对于，若，，，则与相交、平行或，故错误．
故选：．
5．（5分）（2021春•邯郸期末）甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解出此问题的概率是0.8，乙解出此问题的概率是0.6，那么至少有一人解出此问题的概率是　　
A．0.98 B．0.92 C．0.9 D．0.88
【解答】解：根据题意，记甲解出此问题为事件，乙解出此问题为事件，
则（A），（B），
则问题没有解决，即甲乙都没有解决问题的概率，
则至少有一人解出此问题的概率；
故选：．
6．（5分）（2021春•邯郸期末）在中，角，，所对应的边分别是，，，若，，则的面积为　　
A． B．1 C． D．2
【解答】解：因为，，
所以由正弦定理，可得，解得，
因为，可得，
所以，
所以．
故选：．
7．（5分）（2021春•邯郸期末）为了解疫情防控延迟开学期间全区中小学线上教学的主要开展形式，某课题组面向各学校开展了一次随机调查，并绘制得到如图统计图，则采用“直播录播”方式进行线上教学的学校占比约为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由条形统计图和扇形统计图得调查学校总数为：
，
直播学校占比为：，
采用“直播录播”方式进行线上教学的学校占比约为：
．
故选：．
8．（5分）（2021春•邯郸期末）在中，，，分别为线段上的两个三等分点，若，则角为　　
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，如图，中，，，分别为线段上的两个三等分点，
则，
，
则，
所以，
又，
所以．
故选：．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（5分）（2021春•邯郸期末）已知复数，其中是的共轭复数，则下列结论正确的是　　
A．的实部为
B．的虚部为
C．为纯虚数
D．在复平面内对应的点位于第四象限
【解答】解：，
的实部为，虚部为，故选项正确，选项错误，
，实部不为0，故选项错误，
，
，在复平面内对应的点位于第四象限，故选项正确．
故选：．
10．（5分）（2021春•邯郸期末）已知甲罐中有2个大小、质地完全一样的小球，标号为1，2，乙罐中有4个大小、质地完全一样的小球，标号为1，2，3，4，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记样本空间为，事件为“抽取的两个小球标号之和大于4”，事件为“抽取的两个小球标号之积小于5”，则下列结论正确的是　　
A．与是互斥事件 B．与不是对立事件
C． D．
【解答】解：现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记样本空间为，
则，，，，，，，，
事件为“抽取的两个小球标号之和大于4”，
则事件包含的基本事件有：，，，
事件为“抽取的两个小球标号之积小于5”，
则事件包含的基本事件有：，，，，，，
事件，能同时发生，故事件，不是互斥事件，不是对立事件，故错误，正确；
，故正确；
（A）（B），故正确．
故选：．
11．（5分）（2021春•邯郸期末）已知非零单位向量和，若，向量在向量上的投影向量为，向量在向量上的投影向量为，则下列结论正确的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：设向量和的夹角为，因为，，，
所以，
所以向量在向量上的投影向量，，
向量在向量上的投影向量，，
所以，故正确，错误；
，故正确；
，故正确．
故选：．
12．（5分）（2021春•邯郸期末）已知正方体的棱长为2，点为的中点，若以为球心，为半径的球面与正方体的棱有四个交点，，，，则下列结论正确的是　　
A．平面平面 B．平面平面
C．四边形的面积为 D．四棱锥的体积为
【解答】解：如图，正方体的棱长为2，点为的中点，
以为球心，为半径的球面与正方体的棱、、、交于中点．
对于，如图．有，，且．由，平面，平面，得平面，故正确；
对于，假设平面平面，平面平面，
平面平面，则有平面，显然不成立，故假设错误，即错误；
对于，四边形是边长分别为2、的矩形，故四边形的面积为，故正确；
对于，过作于，易得面，则四棱锥的体积，故正确．
故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.
13．（5分）（2021春•邯郸期末）已知复数，则　1　．
【解答】解：，
，
．
故答案为：1．
14．（5分）（2021春•邯郸期末）将边长为2的正方形，绕其一条对角线旋转，所围成的几何体的表面积为 　　．
【解答】解：边长为2的正方形，其对角线长为，
以正方形的对角线为轴，旋转，围成的几何体是两个相同的圆锥，
圆锥的底面半径为，高为，母线长为2，
所围成的几何体的表面积即为两个圆锥的侧面积，
所以几何体的表面积为．
故答案为：．
15．（5分）（2021春•邯郸期末）已知正方体，则二面角的正弦值为 　　．
【解答】解：设正方体的棱长为2，
则，
取中点，中点，连接，，，
则，，
是二面角的平面角，
，，
，
．
二面角的正弦值为．
故答案为：．

16．（5分）（2021春•邯郸期末）在中，角，，所对应的边分别是，，，已知，且为钝角，则　　，的取值范围是 　　．
【解答】解：因为，
所以由正弦定理可得，
因为，
所以，即，
因为为钝角，为锐角，为锐角，
所以，可得，
则，
由于为钝角，
所以，解得，
则：，
所以．
故答案为：，．
四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18～22题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）（2021春•邯郸期末）在中，角，，所对应的边分别是，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，在下面三个条件中选一个，若存在，求的值，若不存在，说明理由．
①；②；③．
【解答】解：（1）因为，
由正弦定理，得，即，
又因为，
所以，
又因为，
所以，
从而，
故．
（2）显然有，若存在，必有．
选①：此时有，故不存在．
选②：此时有，如图1，存在，且有唯一解．故有．
选③：此时有，如图2，存在，且有两解与．
由余弦定理，得，即，解得或．

18．（12分）（2021春•邯郸期末）如图，已知为平面直角坐标系的原点，，．
（1）求的坐标；
（2）若四边形为平行四边形，求．

【解答】解：（1）如图1所示，过点作轴，轴，，、分别为垂足．
显然，，．
故，．
所以，从而．

（2）如图2所示，设，
由平行四边形法则，，
由于，
所以．
19．（12分）（2021春•邯郸期末）如图，在三棱锥中，，，，平面．
（1）求证：平面平面；
（2）若，是的中点，求与平面所成角的正切值．

【解答】（1）证明：在中，，，，
由余弦定理得．
所以，从而，
由勾股定理得，．
又因为平面，平面，
所以，
由于平面，平面，，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面．
（2）解：取中点，连接，．
因为，所以．
又因为平面平面，平面平面，
所以平面，
故即为直线与平面所成的角，
因为，，
所以，，所以，
则，
所以与平面所成角的正切值为．

20．（12分）（2021春•邯郸期末）甲、乙两人玩一个掷骰子游戏，规则如下：甲掷两次骰子，第一次掷出的数字作为十位数，第二次掷出的数字作为个位数，组成一个两位数，然后让乙猜．若乙猜出的结果与该两位数满足的数字特征相符，则乙获胜，否则甲获胜，一轮游戏结束，然后进行下一轮（每轮游戏都由甲掷两次骰子）．
所要猜的两位数的数字特征方案从以下两种猜法中选择一种；
猜法一：猜“两位数的十位大于个位”；
猜法二：猜“两位数的十位不大于个位”．
请回答：
（1）如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜法，并说明理由；
（2）假定每轮游戏结果相互独立，规定有人连续获胜两次则整个游戏停止．若乙按照（1）中的猜法进行游戏，求第三轮后游戏停止的概率．
【解答】解：（1）两个骰子掷出的数字所构成的两位数组成样本空间：
，12，13，14，15，16，21，22，23，24，25，26，31，32，33，34，35，36，41，42，43，44，45，46，51，52，53，54，55，56，61，62，63，64，65，，
共36个样本点．
设事件为“两位数的十位大于个位”， 为“两位数的十位不大于个位”，
则，．
为了尽可能获胜，应该选择猜法二．
（2）设事件为“游戏结束时甲连续获胜两次”， 为“游戏结束时乙连续获胜两次”．
则，．
故第三轮后游戏停止的概率为．
21．（12分）（2021春•邯郸期末）如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形，点，分别是棱，上的点，点是线段上一点，．
（1）若为中点，证明：平面；
（2）若，求．

【解答】解：（1）证明：取中点，连接，，
则且，
又因为且，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
从而．
又平面，平面，
所以平面．
（2）作交于，则为中点．
所以平面，
因为是边长为2的正三角形，且．
所以．
则，
所以．
又因为，所以．

22．（12分）（2021春•邯郸期末）某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，，第二组：，，第三组：，，第四组：，，第五组：，，得到如图所示的频率分布直方图人．
（1）根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第80百分位数；
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者．
（ⅰ）若有甲（年龄，乙（年龄两人已确定人选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
（ⅱ）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这人中岁所有人的年龄的方差．

【解答】解：（1）设这人的平均年龄为，则（岁．
设第80百分位数为，
方法一：由，解得．
方法二：由，解得．
（2）由题意得，第四组应抽取4人，记为，，，甲，第五组抽取2人，记为，乙．
对应的样本空间为：
，，，甲），，乙），，，，甲），，乙），，，甲），，乙），，（甲，乙），（甲，，（乙，，共15个样本点．
设事件 “甲、乙两人至少一人被选上”，
则，甲），，乙），，甲），，乙），，甲），，乙），（甲，乙），（甲，，（乙，，共有9个样本点．
所以，．
设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，
则，，，，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为．
则，．
因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10．
据此，可估计这人中年龄在岁的所有人的年龄方差约为10．
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